弹性力学的变分原理
弹性力学的变分解法
七、弹性力学参量的下标表示法前面给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示方法。
下标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
1. 下标符号具有相同性质的一组物理量，可用一个带下标的字母表示：如：位移分量u, v, w 表示为u 1, u 2, u 3，缩写为u i （i =1,2,3）坐标x, y, z 表示为x 1, x 2, x 3，缩写为x i （i =1,2,3）单位矢量i, j, k 表示e i （i =1,2,3）。
体力分量X, Y, Z 表示为X 1, X 2, X 3，缩写为X i （i =1,2,3）应力分量：z zy zx yz y yxxz xy x 可表示为：333231232221131211 缩写为：)3,2,1;3,2,1( j i ij4. 克罗内克(Kroneker)符号具有如下性质 )cos(j i ij e ej i e eji ji ij 01 100010001333231232221131211 ij ij (1)3ii j i ij A A ij 也称换名算子同理:ijkj ik A a (2)选取可能位移：十、利用位移变分原理的近似解法m mm m mm mm m w C w w v B v v u A u u 000其中系数是完全任意的m m m C B A 、、1、瑞雷—里兹法（1）是在边界上满足位移边界条件的设定函数000w v u 、、（2）是在边界上为零的设定函数m m m w v u 、、可见，由（1）、（2）选取出来的是可能位移w v u 、、。
弹性力学的变分原理
(
f y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足旳边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习要点：建立力学概念
本章包括了非常多旳力学概念，这些概念是有限 元及其他力学分支中普遍用到旳，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式旳推导、证明过程了解思绪即可
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数旳变分等于变分旳导数，或变分
记号与求导记号能够互换。
三、泛函旳变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 旳增 量能够写成
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ijij
允 许 位 移
允 许 应 变
允 许 应 力
虚 位 移
虚 应 变
虚 应 力
§11-3 广义虚功原理
虚
虚
功
位
应
互
移
力
等
原
原
原
理
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
j
u
k j ,i
)
uik ui
x V x Su
k ij
变分原理-3_2007
3 弹性静力学变分原理一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij j i f σ+= 在域V 内(3.1),,()/2ij i j j i u u ε=+ (3.2) ij ijkl kl c σε= 或 ij ijkl kl s εσ= (3.3a ,b )式中ijkl ijlk jikl klij c c c c ===(3.4)边界条件：在域V 的边界B 上，12B B B =⋃，有i i u u =， 在1B 上(3.5) ij ij i p n p σ==， 在2B 上(3.6)补注1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标i X 来衡量，称为Lagrange 应变或者Green 应变，另一类则是以变形后坐标i x 来衡量，称为Euler 应变或者Almansi 应变，分别为12j i k k ij j i i j u uu u L X X X X ⎛⎫∂∂∂∂=++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (s-3.1)补注2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力作用，自然有三个分量。
但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。
也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。
如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat 理论，相应的介质称为Cosserat 介质。
事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. V oigt ，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。
E. Cosserat 和F. Cosserat 兄弟俩于1909年完善了Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。
弹性力学的变分原理和应用
弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。
•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。
1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。
•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。
•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。
1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。
•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。
1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。
•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。
2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。
•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。
2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。
•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。
•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。
2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。
•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。
•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。
3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。
3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。
•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。
3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学的基本方程和变分原理
3
0.1.3 平面问题中的变形表达 从图 0.1.3 可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的 长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。 (1) 定义 x 方向的相对伸长量为
P′A′ − PA PA′ − PP′ − PA = PA PA ∂u dx + u + dx − u − dx PA + AA′ − PP′ − PA ∂u ∂x = = = ∂x PA dx = εx
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x ∂ ∂z 0
0 0 ∂ ∂z T = [ A] 0 ∂ ∂y ∂ ∂x
(0.1.9)
对于各向同性的线弹性材料，用应力表示的本构方程
εx =
1 σ x − µ (σ y + σ z ) E
εy =
εz =
(0.1.11)
称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量 E 和泊桑比ν 。 表征弹性体的弹性，也可以采用剪切弹性模量 G 和拉梅(Lam'e)常数 λ ：
G=
注意到
E ， 2 (1 + µ )
λ=
Eµ (1 + µ )(1 − 2µ )
E (1 − µ ) (1 + µ )(1 − 2µ )
σ x σ y σ z T σ σ σ τ τ τ {σ } = = x y z xy yz zx τ xy τ yz τ zx
(0.1.1)
弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。 弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的 3 个位移分量 u , v , w 来表示。它的矩阵形式是
第9章---弹性力学变分原理
§9-2 应变能与余应变能 热力学定律——导出应变能的表达式
物体在外荷载作用下的功能转换：
弹性力学的 变分原理
可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的
动能和物体因变形引起的应变能(内能)。
不可逆过程——外荷载对物体所做的功, 一部分转化为
物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。
y y ( x) y( x) x [a, b]
(9-4)
§9-1 变分法的预备知识 二、函数的变分
弹性力学的 变分原理
通常函数要满足一定的边界条件, 函数的变分应满足齐 次边界条件
y(a) ya , y(b) yb
y(a) 0, y(b) 0
导数的变分
( y) y ( x) y( x) (y ) y ( x) y( x) ( y) (y)
应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位 置 x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。
泛函的一般形式
I [ y( x)] f ( x, y, y)dx
a
b
§9-1 变分法的预备Hale Waihona Puke 识 二、函数的变分函数的微分
弹性力学的 变分原理
dy y( x)dx
是增量的一阶小量！
函数的变分
热力学定律——导出应变能的表达式
弹性力学的变分原理
(σ u) il,iul il il ( σ ) u σ : ε
代(11-12a)
V ( σ f ) udv σ : εdv
V V
σ : εdv
若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度
§9-1 变分法的预备知识 一、函数与泛函
弹性力学变分原理培训课件
弹性力学的基本方程
描述物体的物理性质与外 力的关系。
描述物体在变形过程中形 状的变化。
描述物体在力系作用下的 平衡状态。
平衡方程
几何方程
物理方程
02
变分原理概述
变分法的概念
最小作用量原理
在给定的约束条件下，物理系统的真实运动是使得作用量取极值的路径。
极值条件
在最小作用量原理中，物理系统的真实运动应满足欧拉方程和边界条件。
泛函与变分问题
泛函
泛函是一个函数，其值是另一个函数 在某个特定点上的值。
变分问题
变分问题是指求泛函的极值问题，即 在给定约束条件下，求泛函的极值。
欧拉方程与极值条件
欧拉方程
欧拉方程是变分问题的基本方程，它 描述了物理系统的运动规律。
极值条件
在求解欧拉方程时，需要满足极值条 件，即物理系统的运动应使得泛函取 极值。
实例解析
以有限元软件ANSYS为例，介绍如何使用有限元方法对弹 性问题进行建模、分析和求解。通过具体的实例操作，展 示如何将实际问题转化为有限元模型，并进行求解得到结 构的位移和应力分布。
THANKS
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弹性力学变分原理培训课 件
• 弹性力学基础 • 变分原理概述 • 弹性力学中的变分原理 • 变分原理的应用 • 弹性力学变分原理的实例解析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用下变形和内力的 学科。
弹性力学的重要性
为工程结构的设计、分析和优化提供理论基础。
弹性力学的发展历程
04
变分原理的应用
弹性力学问题的变分形式
弹性力学中的应力、应变和位移等物理量可以通过变分原理转换为对应的泛函极值 问题。
第二章、变分原理及应用
(2.1.4)
因为 ij 是任意的，所以(2.1.4)成立的充要条件是
0 ij
i (1, 2,...., n), j (1, 2,...., m)
(2.1.5)
(2.1.5)式的方程数量与待定参数 α 的数量相等，用于求解 α 各元素。这种方法称里兹(Litz)法。里兹 法和迦辽金法是连续介质问题中最经典、最常用、最著名的两种数值方法。 如果泛函 中 E 和 F 微分算子对 u 和它导数的最高次方为二次， 则称泛函 为二次泛函， 大量 工程与物理问题泛函都属于二次泛函。对于二次泛函(2.1.1)的近似解是参数 α 的二次多项式，可写成 1 (2.1.6) αT Kα Pα 2 其驻值 其中
利用虚应变
Ω
fi ui dΩ
Γ
pi ui dΓ ij ij dΩ
Ω
(2.3.4)
ij ( ui ' j u j 'i ) / 2
1
(2.3.5)
以及应力张量的对称性、散度定理（Green 公式）和分部积分，对(2.3.4)式的右边积分作如下变换
Ω
而对于非线弹性材料，两者并不相等，只是对全功 W ij ij 是互余关系。
(2.3.3)
3.2 虚位移（虚功）原理
虚功原理或虚位移原理： 外力在虚位移所做的功 （虚功） 等于物体内部应力在虚应变上所做的功， 其中虚位移指的是在物体几何约束所允许位移的任意微小量 ui 。 把虚功原理应用到固体力学中可得
4
所以余应力原理或最小余能原理与几何协调条件和位移边界条件等效。 在以上推导中应用了小变 形假定，从而得出的是小变形条件下的几何方程。如果采用虚应力原理作为数值解法中的等效积分形 式，则平衡方程和应力边界条件是它的约束条件，而几何方程和位移边界条件是近似得到满足。
弹性力学广义变分原理中的一个悖论
弹性力学广义变分原理中的一个悖论弹性力学广义变分原理中的一个悖论在弹性力学中，广义变分原理是非常重要的一个概念，它描述了物体的力学行为可以通过极小化能量或其他类似的量来计算。
然而，这个原理在某些情况下却会导致一个悖论，即所得到的方程组与实际的物理行为不符合。
一、弹性力学广义变分原理的基本概念弹性力学广义变分原理是描述弹性物体力学行为的基本概念。
它的主要思想是，将物体的位移场看作一个无限维度的函数空间，从中找到一个合适的位移函数，使得物体的总能量达到最小值。
在弹性力学中，物体的总能量可以表示为弹性能量和势能两部分之和。
其中，弹性能量是由物体内部的应变产生的能量，而势能则是物体在外力作用下所获得的能量。
为了得到物体的最小能量，我们可以采用变分法的思想，通过对位移场的微小改变来求得位移函数的变化。
这里的变分法指的是将原问题转化为一个最小化函数的问题，通过对函数进行微小改变来找到最小值。
二、弹性力学广义变分原理中的悖论虽然弹性力学广义变分原理在很多情况下都可以准确地描述物体的力学行为，但在某些情况下，所得到的方程组却会与实际物理行为不符合。
这种情况被称为“悖论”。
一个著名的例子就是薄板弯曲问题。
当我们试图用广义变分原理来求解薄板的弯曲问题时，所得到的方程组与实际物理行为不符。
这是因为广义变分原理假设物体的形变是小量，而在薄板弯曲问题中，物体的形变可以非常大。
为了解决这个问题，研究者们提出了不同的方法，例如使用非线性广义变分原理或是采用更加精细的数学模型。
但这些方法也存在一定的局限性，无法完全解决所有的悖论问题。
三、如何解决弹性力学广义变分原理中的悖论为了解决弹性力学广义变分原理中的悖论，我们可以采用以下几种方法：1. 采用更加精细的数学模型如上文所述，一弹性力学广义变分原理是描述弹性体运动的基本原理之一，它是建立在能量原理基础之上的。
广义变分原理的核心是作用量原理，其基本思想是运动的轨迹使得作用量取极值。
第3章_弹性力学经典变分原理
第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础3.1.1 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。
在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。
如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。
图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。
为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。
我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即123(,,),(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)称之为Lagrange 描述。
如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)称之为Euler 描述。
我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为3201d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为321d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)根据变形前后的坐标关系有3311d d ,d d i ii j j j j jjxX x X X x i X x ==∂∂==∂∂∑∑从而有33220,11d d ()d d ij i j i j i jx x s s X X X X αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.8)或者33220,11d d ()d d ij i j i j i jX X s s x x x x αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.9)如果定义3121ij ij i j x x E X X αααδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.10)及3121ij ij i j X X x x αααεδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.11) 则有 220d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号3311,i j ==∑∑，称为Einstein 约定。
【弹塑性力学】变分原理及有限元
dw 任意，则
dx
d 2w dx2
0
支承点上弯矩为零的力边界条件
例题7-3:用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度 解： （1）设位移函数为
w(x) = c1x(lx) 显然，该挠度函数满足位移边界w(0) = 0，w(l) = 0。
（2）求总势能
U V
l 1 EI w2 dx
s yz
s z
Z
0
x y z
ji, j Fi 0
• 在静力边界上满足静力边界条件
s z
l
syx m
s zx
n
X
szy l
s y
m
s zy
n
Y
ji n j Ti
sxz l
s yz
m
s z
n
Z
• 在位移边界上，其反力由上式给出
变形可能状态
•在物体内位移与应变满足几何方程
dx
ud x
d xy
l
qwdx
02
0
l 0
1 2
EI
2c1
2
c1qxl
xdx
2EIc12l
c1q
l
1 2
x2
l
0
1 3
x3
l
0
2EIc12l
1 6
c1ql 3
（3）求总势能的极值
c1
0 4EIc1l
1 ql3 6
c1
ql2 24EI
7.5 有限元法
变分法近似求解： 整个物体（求解区域）构造近似位移函数， 对于复杂的几何形状，这往往比较困难。
l 0
d 2w dx 2
d 2w dx 2
弹性力学-第十一章 弹性力学的变分原理
邹祖军 第十一章 弹性力学的变分原理
第十一章 弹性力学的变分原理
§11-1 最小势能原理
§11-2
§11-3 §11-4 §11-5
应用最小势能原理求近似解的方法
应用最小势能原理求近似解的例子 最小余能原理 用最小余能原理求近似解
第十一章 弹性力学的变分原理 §11-1 最小势能原理
(
V
ij , j
f i )ui dV (Ti ij n j )ui dS 0
ST
(a)
位移仍然假设为(11.8)
则
ui uimAim , (对i不求和)
m
(b)
将上式代入(a),因变分的独立性.f i )uim dV (Ti ij n j )uim dS 0, (i 1,2,3; m 1,2,)
yz ( x) y
1 1 2 2 U GL ( xz yz )dA GL 2 [( y )2 ( y)2 ]dA 2 2 x y A A
总势能为 1 GL 2 [( y)2 ( y)2 ]dA LM 2 x y A 令(11.5)变分 为零,并利用 格林公式得
V V ST
ui ui ui 1 2 (ui ) (ui ) 2
(e) (f) (g) (h)
2 Eijkl ij kl dV 2 W ( ij )dV
(ui ) 取极小值的充要条件 0 2 0
由应变能的正定,(g)自然满足
最小势能原理的主要作用:
推导平衡微分方程和边界条件 求解近似解答 基于最小势能原理的两种近似解法： 瑞利-李兹法（Rayleigh-Ritz) 伽辽金法（Гал ёрқин)
弹性力学05变分原理及其应用
U 0
xy
y
U 0
y
yz
U 0
yz
z
U 0
z
xzLeabharlann U 0xz线弹性问题的变形能
U0
1 2
( x x
y y
z z
xy
xy
yz
yz
xz
xz )
U0
1 2
ij
ij
注意：变形能为 U U0d
V
弹性体体积 ，表面积为S。
位移给定表面Su 面力给定表面S
位移边界 面力边界
S =Su+ S
虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在
对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。
2、功的互等定理
Fb1iui2d Fs1iui2dS
Fb2iui1d Fsi2ui1dS
V
S
V
S
作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力 和面力，在第二种状态对应的位移上所做的 功等于第二种状态的外力在第一种状态对应 的位移上所做的功。
u u0 Amum
m
v v0 Bmvm
m
w w0 Cm wm
m
其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边界上的值等于 边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的
设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的
变分由它们的变分来实现。
δu umδAm
m
δv vm δBm
m
δw wmδCm
m
应变能的变分为
δU
U
(
Am
δAm
U Bm
δBm
U Cm
δCm )
外力势能的变分为
δV
弹性力学的变分原理及其应用pdf
弹性力学的变分原理及其应用弹性力学的基本概念•弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的力学学科。
•弹性力学主要关注物体的弹性变形，即物体在受到外力作用后可以恢复到原始形状的能力。
•弹性力学可以用数学模型来描述物体的变形行为，其中变分原理是一种重要的分析工具。
变分原理的概念•变分原理是数学中的一种重要方法，可以用来求解函数的极值问题。
•在弹性力学中，变分原理是用来求解物体的形变问题的一种方法。
•变分原理通过将弹性力学问题转化为一个变分问题，通过对变分方程进行求解，可以得到物体的形变情况。
弹性力学的变分原理•弹性力学的变分原理基于能量最小化的原理。
•变分原理假设物体的形变状态是能量最小的状态，通过对能量进行变分求解，可以求得物体的形变情况。
•变分原理可以用来推导出弹性力学中的重要方程，如弹性能量密度函数和应力-应变关系等。
变分原理的应用•变分原理在弹性力学中有着广泛的应用。
•变分原理可以用来推导出弹性力学中的基本方程，如胡克定律、拉梅定律和势能函数等。
•变分原理还可以用来求解复杂的边界值问题，如弹性体的静力平衡问题和弹性体的振动问题等。
弹性力学的变分原理应用案例•弹性体的静力平衡问题：通过变分原理可以求解弹性体在给定外力作用下的形变情况，并得到物体的位移场和应力场等信息。
•弹性体的振动问题：通过变分原理可以推导出物体的振动方程，并得到物体的共振频率和振动模态等信息。
•弹性体的材料参数求解：通过变分原理可以推导出物体材料的一些参数，如弹性模量和泊松比等。
总结弹性力学的变分原理是研究物体形变问题的重要方法，并且在弹性力学中有着广泛的应用。
通过对能量的变分求解，可以得到物体的形变情况和应力分布等重要信息。
变分原理不仅可以用来求解弹性体的静态问题，还可以用来求解弹性体的动态问题和材料参数等。
因此，掌握弹性力学的变分原理对于深入理解和应用弹性力学有着重要的意义。
弹性力学 第十一章 弹性力学的变分原理
第十一章弹性力学的变分原理知识点静力可能的应力弹性体的功能关系功的互等定理弹性体的总势能虚应力应变余能函数应力变分方程最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法伽辽金(Гапёркин）法最小余能原理平面问题最小余能近似解基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析一、内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。
一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。
变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。
变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。
本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。
最后，将介绍有限元方法的基本概念。
本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。
二、重点1、几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。
§11.1 弹性变形体的功能原理学习思路:本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。
弹性力学广义变分原理
E ( ) f 0 E (n) p
内 B2 上
(2) 自变函数为位移 u 和应变 ，但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成约束条件。这样，把原问题 视为在约束条件(4.1.1) 、(4.1.2) 下，使得下列总势能
( u) U ( )d f T ud pT udB
B1
R 3 ， R 3 ，
来构造一个新的泛函
*
内 B2 上
* ( , , ) V ( )d [ E (n) ]T udB
B1
[ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
B2
在新泛函中 , , 都是独立的自变函数。新泛函的变分为
B2
[ E (n) ]T dB [ E (n) ]T dB [ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
T B2 B1 B1
在恒等式(3.2.1)中取 A ， u u 得到
T
AE T ( ) ud [ E (n) A ]T udB [ E ( ) A ]T ud
B T
因此有
T * 2 E ( ) u A d E ( ) A f ud
(u - u ) E (n) A dB [ E (n) A p]T udB
B1 B2
U ( ) T ( A )T * 0 2 令 ,根据变分引理得到(用应变表示的应力 )
E T ( )u
E ( ) A f E ( ) f 0 u=u E (n) A E (n)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ p
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V ijij dv
V
定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能 密度)为
有：
与前式 得
比较
由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定， 它是状态函数，与变形过程无关，故有
比较:
此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材 料，不局限于线弹性材料。
在状态 的应变能密度为
积分代表增量不断累积的过程
容许位移和应变不一定是真实的位移和应 变。但反之，真实的位移和应变必然是容许 的。
3、容许应力
比较
与容许应力对应的应变与位移不一定满足协 调方程和位移边界条件，不保证物体内部存 在单值连续的位移场，但真实应力对应于单 值连续的位移场。 容许应力不一定是真实的应力。但反之，真 实的应力必然是容许的。
拉伸试样发热、与周 围环境热交换
声子振动、声波传播
在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静 力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功 全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹 性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出 全部的应变能，并恢复其未受载时的初始 状态。
弹簧
准静态加载
分析：从A状态到B状态 外荷载做功的增量： 弹性体应变能增量:
虚应力原理 几何方程＋位移边界条件
由 ij, j 0, 可知
0 ij, juidv
V
分部积分
ij n juids ijui, jdv
S
V
拆分边界
ij n juids ij n juids ijui, jdv
S
Su
V
tiuids ij
Su
V
1 2
ui, j
u j,i
• 变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变 分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
问题的引入
弹性力学问题的两种基本解法 1、建立偏微分方程边值问题（直接法）
精确，但往往求解困难，有解答的问题有限
问题的引入
弹性力学问题的两种基本解法
2、建立变分方程：泛函极值问题，近似解法
优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化 为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是 数值方法的理论基础。
本章包含了非常多的力学概念，这些概念是有限 元及其它力学分支中普遍用到的，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式的推导、证明过程理解思路即可
§11 — 2 应变能与余应变能
1.应变能---物体因变形而储存的能量。
功和能的关系-热力学定律：
外力做功
动能、应变能 热能、声能
可逆过程
耗散
不可逆过程
极值必是驻值，但驻值不一定是极值。
取极值的必要条件为 由二阶导数来判定
，其充分条件
2、泛函的驻值和极值
其中：
五、欧拉方程与自然边界条件
因为取驻值，所以
为欧拉微分方程，可见上述泛函的驻值问题等 同于欧拉微分方程边值问题的解。
如果问题是：
自变函数事先满足的边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习重点：建立力学概念
由广义虚功原理：
fiuidv
tiuids
(ti
ti
)ui
ds 边条合并
V
S
Su
再考虑广义虚功原理
( ij ij )ijdv
V
tiuids ij ij dv
Su
V
外余虚功=内余虚功
表明
在已知位移的边界上，虚面力在真实位移 上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真 实应变上作的功。即虚应力原理。
V
S
ij (ij ij )dv
V 再考虑广义虚功原理
fi uidv ti uids ij ijdv
V
S
V
即为：
虚位移原理
或称： 外力虚功=内力虚功
虚位移原理 平衡方程＋应力边界条件
虚位移原理右端项
ijij dv ij
V
V
1 2
ui, j
u j,i
dv ijui, j dv
V
S
虚位移是任意的，可得
ij, j fi 0 V内
ij n j fi 0 S 上
8、虚应力原理-发生虚应力
由广义虚功原理：
fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
设：uik 真实位移
s ij
ij
ij
真实应力 虚应力
则： ij, j 0(V ) ijnj 0(s ) 另：在su上： ijnj 泛的应用 ”热量与机械能的交换-蒸汽机 有趣的发展历史：迈尔(医生)、赫姆霍兹、焦耳
微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
其中，ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得： 高斯公式
考虑到应力张量的对称性，有
ijui, j
1 2
证明 因为广义虚功原理
fiuikdv
tiuik ds
' ij
k ij
dv
V
S
V
tiuik ds
' ij
uik,
j
dv
S
V
几何条件 分部积分
tiuik ds
' ij
n
j
uik
ds
' ij
,
juik
dv
S
S
V
(
' ij
,
j
fi )uik dv
(
' ij
n
j
ti
)uik
弹性力学的变分原理
• 变分原理--- f泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。 物理学的一条基本原理：力学中的虚功原理、最小势 能原理、最小余能原理、哈密顿原理等，电磁理论，几 何光学中的费马原理，量子力学等；
ds
0
V
S
' ij
' ij
,j
n
fi j t
i
0
x V x S
表示内外力平衡
由（a）、（c)
(b) 类似可证明。
表述为：若有一组位移和应变，对于任
意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组
位移和应变是可能的。
关系：
平衡条件
几何条件
广义虚功原理
几何条件
平衡条件
7、虚位移原理-发生虚位移
设：ui 真实位移
* ij
、
* ij
为 0~
ij 、 ij
的某个中间状态。
弹性体应变能是状态函数，故上式积分与 路径无关。
对于线性问题，可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题 应变能密度为
引入另一标量函数：
反转自变、因变关系
即余应变能密度 余应变能
一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系 对于线弹性体
1 2
ilui,l
ilul,i
1 2
il
ui,l
ul,i
ilil
σ u il,iul ilul,i il,iul ilil σu σ :ε
V f udv σ udv
V
V
σ f udv σ :εdv σ :εdv
V
V
V
σ : ε ij eie j : klek el ij kl ik jl ij ij
V 分部积分
ij n jui ds ij, jui dv
拆分边界 S
V
ij n jui ds ij n jui ds ij, jui dv
S
Su
V
ij n jui ds ij, jui dv
S
V
代回到虚位移原理，即得 ij, j fi uidv ij n j fi uids 0
ij
ui, j
ui, j
1 2
ijui, j
ijui, j
1 2
ijui, j
jiui, j
1 2
ijui, j
iju j,i
1 2
ij
ui, j
u j,i
ijij
V f udv t uds f udv n σ uds
V
V
V
V
f udv σ udv 广义高斯公式
1、自变量的微分dx 2、函数的微分-因变量增量 3、函数的变分-与微分对应，仍为函数
注意到：
与(*)式比较，可见： 即：
结论：导数的变分等于变分的导数，或变分
记号与求导记号可以互换。
三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增 量可以写成
上式中右边的前两项是f 的增量的主部，定 义为 f 的一阶变分，表示为
2、再考察 定义泛函I 的变分
与上式比较，可得：
结论：变分运算和积分运算可以交换次序
* 导数的变分等于变分的导数
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值---对比理解 如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0)，即
y(x)－y(x0)≤０或≥０（峰、谷）
则称函数y(x)在x＝x０处达到极大值或极小 值。极值的必要条件为
证明： isj是静力容许的
fiuik dv
s ij,
juik
dv
V
V
s ij
n
juik
d
s
isjuik, jdv
uw,idv uwnids wu,idv S
V
V
S
V
tiuik ds
isj
k ij
dv
移项后
S
V