2-1-算法的基本思想(北师大版)
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1、往壶内注水； 2、点火加热； 3、观察：如果水开，则停止烧火，否则继续烧火； 4、如果水未开，重复过程 “3”，直至水开.
小结： 1、其实大部分事情都是按照一定的程序执行的，因此 要理清事情的每一步. 2、判断水是否烧开与是否继续烧火的过程是一个反馈 与判断的过程，因此有必要不断重复过程“3”.
算法不同于求解一个具体问题的方法，是这种方法 的高度概括.一个好的算法有如下要求：
1、写出的算法，必须能解决一类问题（如一元二次方 程求根公式），并且能重复使用.
2、算法过程要能一步一步执行，每步执行的操作，必 须确切，不能含混不清，而且在有限步能得出结果. 3、算法要简洁，要清晰可读，不能繁杂，易程序化.
算法的特征
有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤而不应是无限的; 确定性：算法中每一个步骤应当是确定的，而不应当是含 糊的、模棱两可的; 输入:有零个或多个输入; 输出:有一个或多个输出;
有效性：算法中每一个步骤应当能有效地执行，并得到确 定的结果.
一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，船可以
容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量
不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算
法． 解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回； S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
1、算法：算法是解决某类问题的一系列步骤或程序； 2、算法的基本思想：程序化思想； 3、算法的特征:
有穷性 确定性 输入 输出 有效性
世间没有一种具有真正价值的东西，可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到.
第二章 算法初步
§1 算法的基本思想
1.了解算法的含义，形成算法的初步印象，体会算法是 解决问题的“机械”程序，并能在有限步内解决问题； 2.能够用自然语言叙述算法； 3.掌握正确的算法应满足的条件； 4.会写出简单问题的算法.
作为家里的一员，在平时分担一些力所能及的事是我们 应尽的义务，你每天都帮家里做家务吗？你会烧开水吗？请 写出你在家中烧开水的过程.
低了!
参与者
……
主持人
如果你是参与者，你接下来会怎么猜？
实际上，可以把过程概括如下：
例2 在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解 成素因数的乘积.(4000以内的素数表见课本附录1) 解:算法步骤如下： 1.判断936是否为素数：否. 2.确定936的最小素因数：2. 936=2×468 3.判断468是否为素数：否. 4.确定468的最小素因数：2. 936=2×2×234 5.判断234是否为素数：否. 6.确定234的最小素因数：2. 936=2×2×2×117
算法是什么？
算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的 完整的解题步骤，或看按要求设计好的、有限的、确 切的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题.
现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决 的某一类问题的程序或步骤.
说明：
1、算法实际上就是解决某一类问题的步骤和方法，在解 决问题时形成的规律性的东西，按照算法描述的规则与 步骤，一步一步地去做，最终便能解决问题.
7.判断117是否为素数：否. 8.确定117的最小素因数：3. 936=2×2×2×3×39 9.判断39是否为素数：否. 10.确定39的最小素因数：3. 936=2×2×2×3×3×13 判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束. 分解结果是： 936=2×2×2×3×3×13
例3 设计一个算法，求840与1764的最大公因数. 解：算法步骤如下： 1.先将840进行素因数分解：8 4 0 2 3 3 ； 5 7 2.然后将1764进行素因数分解：1 7 6 4 2 2 3 ；2 7 2 3.确定他们的公共素因数2,3,7； 4.确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为 2,1,1; 5.最大公约数为: 223 1 .7184
所以，区间[0.75,0.8125]中的任一数值，都可以 作为方程的近似解.
简化写法: 第一步:令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)f(1)<0,所以设x1=0,x2=1.
第三步:若f(x1)f(m)>0,则令x1= m;否则,令x2= m. 第四步:判断|x1-x2|<0.1是否成立?若是,则x1,x2之间的中 间值为满足条件的近似解;若否,则返回第二步.
3.计算f(0.5)=-0.625;
6.计算f(0.75)=-0.015625;
9.计算f(0.875)=0.435 546 875; 10.由于f(0.75)f(0.875)<0,可得新的有解区间 [0.75,0.875],0.875-0.75=0.125>0.1;
12.计算f(0.8125)=0.196533203125; 13.
区间分为两个小区间,然后判断解在
哪个小区间;继续把有解的区间一分
a
为二进行判断,如此周而复始,直到 O 求出满足精度要求的近似解.
x* b x
其算法步骤如下
5.判断新的有解区间长度是否大于精确度: (1)如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解区间 的基础上重复上述步骤; (2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则这个有解 区间中的任意一个数均为方程的满足精度的近似解.
事实上，我们完成任何事，都要有步骤，合理安排步 骤，会达到事半功倍的效果.从我们数学的意义来讲，在解 决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤， 通过实施这些步骤来解决问题，我们通常把这些步骤称为 解决问题的一种算法.这种描述不是算法的定义，但反映了 算法的基本思想.
随着计算科学和信息技术的飞速发展，算法的思想 已经渗透到社会的方方面面.在以前的学习中，虽然没有 出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了 大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤 等等.完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是 算法的思想.
例5、写出以下问题的算法：
一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元.你能 用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？
解: 1.把银元分成3组，每组3枚.
2．先将两组分别放在天平的两边.如果天平不平衡，那 边假银元就放在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假 银元就在末称的第3组里.
3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平 的两边.如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如 果天平两边平衡，则末称的那一枚就是假银元.
例1 在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品的价格. 主持人出示某件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答 高了、低了或者正确.在某次节目中，主持人出示了一台价值在1000元 以内的随身听，并开始了竞猜.下面是主持人和参与者的一段对话：
800元！ 400元！ 600元！
高了! 低了!
例4 “韩信点兵”问题.韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战， 智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳.据说他在点兵的时候，为了 保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，采用下述点兵的方 法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5 报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个 士兵报4.这样，韩信很快就算出了自己部队的总人数.请设计一个算 法，求出士兵至少有多少人?
解：具体算法步骤如下：
（1）首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2. （2）依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2，5，8， 11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 44，47，50，53，56…… （3）在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8. （4）然后依次加上15，得到8，23，38，53……，显然 这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3. （5）在第4步得到的一列数中，找出满足除以7余4的最小 数：53.这就是我们要求的数.
2、算法的基本思想就是我们分析问题时的想法.由于想法 不同、思考的角度不同，着手点不一样，同一问题存在不 同的算法，算法有优劣之分.
3、从熟悉的问题出发，体会算法的程序化思想，学会用 自然语言来描述算法.
例6
分析：在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程f(x)=0
的近似解.如图所示
y 二分法的基本思想是:将方程的有解
分析：从报数情况分析，总人数除以3余2；总人数除以5余3；总人数 除以7余4.算法的第一步是将所有的除以3余2的正整数找出来，按从小 到大排成一列.第二步是从第一步的数列中找出除以5余3的一列数，按 从小到大排成一列.最后在满足前两个条件的第二步数列中再找出除以 7余4的一列数，这列数中最小的数，即为我们所求的数.
小结： 1、其实大部分事情都是按照一定的程序执行的，因此 要理清事情的每一步. 2、判断水是否烧开与是否继续烧火的过程是一个反馈 与判断的过程，因此有必要不断重复过程“3”.
算法不同于求解一个具体问题的方法，是这种方法 的高度概括.一个好的算法有如下要求：
1、写出的算法，必须能解决一类问题（如一元二次方 程求根公式），并且能重复使用.
2、算法过程要能一步一步执行，每步执行的操作，必 须确切，不能含混不清，而且在有限步能得出结果. 3、算法要简洁，要清晰可读，不能繁杂，易程序化.
算法的特征
有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤而不应是无限的; 确定性：算法中每一个步骤应当是确定的，而不应当是含 糊的、模棱两可的; 输入:有零个或多个输入; 输出:有一个或多个输出;
有效性：算法中每一个步骤应当能有效地执行，并得到确 定的结果.
一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，船可以
容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量
不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算
法． 解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回； S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
1、算法：算法是解决某类问题的一系列步骤或程序； 2、算法的基本思想：程序化思想； 3、算法的特征:
有穷性 确定性 输入 输出 有效性
世间没有一种具有真正价值的东西，可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到.
第二章 算法初步
§1 算法的基本思想
1.了解算法的含义，形成算法的初步印象，体会算法是 解决问题的“机械”程序，并能在有限步内解决问题； 2.能够用自然语言叙述算法； 3.掌握正确的算法应满足的条件； 4.会写出简单问题的算法.
作为家里的一员，在平时分担一些力所能及的事是我们 应尽的义务，你每天都帮家里做家务吗？你会烧开水吗？请 写出你在家中烧开水的过程.
低了!
参与者
……
主持人
如果你是参与者，你接下来会怎么猜？
实际上，可以把过程概括如下：
例2 在给定素数表的条件下，设计算法，将936分解 成素因数的乘积.(4000以内的素数表见课本附录1) 解:算法步骤如下： 1.判断936是否为素数：否. 2.确定936的最小素因数：2. 936=2×468 3.判断468是否为素数：否. 4.确定468的最小素因数：2. 936=2×2×234 5.判断234是否为素数：否. 6.确定234的最小素因数：2. 936=2×2×2×117
算法是什么？
算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的 完整的解题步骤，或看按要求设计好的、有限的、确 切的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题.
现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决 的某一类问题的程序或步骤.
说明：
1、算法实际上就是解决某一类问题的步骤和方法，在解 决问题时形成的规律性的东西，按照算法描述的规则与 步骤，一步一步地去做，最终便能解决问题.
7.判断117是否为素数：否. 8.确定117的最小素因数：3. 936=2×2×2×3×39 9.判断39是否为素数：否. 10.确定39的最小素因数：3. 936=2×2×2×3×3×13 判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束. 分解结果是： 936=2×2×2×3×3×13
例3 设计一个算法，求840与1764的最大公因数. 解：算法步骤如下： 1.先将840进行素因数分解：8 4 0 2 3 3 ； 5 7 2.然后将1764进行素因数分解：1 7 6 4 2 2 3 ；2 7 2 3.确定他们的公共素因数2,3,7； 4.确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为 2,1,1; 5.最大公约数为: 223 1 .7184
所以，区间[0.75,0.8125]中的任一数值，都可以 作为方程的近似解.
简化写法: 第一步:令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)f(1)<0,所以设x1=0,x2=1.
第三步:若f(x1)f(m)>0,则令x1= m;否则,令x2= m. 第四步:判断|x1-x2|<0.1是否成立?若是,则x1,x2之间的中 间值为满足条件的近似解;若否,则返回第二步.
3.计算f(0.5)=-0.625;
6.计算f(0.75)=-0.015625;
9.计算f(0.875)=0.435 546 875; 10.由于f(0.75)f(0.875)<0,可得新的有解区间 [0.75,0.875],0.875-0.75=0.125>0.1;
12.计算f(0.8125)=0.196533203125; 13.
区间分为两个小区间,然后判断解在
哪个小区间;继续把有解的区间一分
a
为二进行判断,如此周而复始,直到 O 求出满足精度要求的近似解.
x* b x
其算法步骤如下
5.判断新的有解区间长度是否大于精确度: (1)如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解区间 的基础上重复上述步骤; (2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则这个有解 区间中的任意一个数均为方程的满足精度的近似解.
事实上，我们完成任何事，都要有步骤，合理安排步 骤，会达到事半功倍的效果.从我们数学的意义来讲，在解 决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤， 通过实施这些步骤来解决问题，我们通常把这些步骤称为 解决问题的一种算法.这种描述不是算法的定义，但反映了 算法的基本思想.
随着计算科学和信息技术的飞速发展，算法的思想 已经渗透到社会的方方面面.在以前的学习中，虽然没有 出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了 大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤 等等.完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是 算法的思想.
例5、写出以下问题的算法：
一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元.你能 用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？
解: 1.把银元分成3组，每组3枚.
2．先将两组分别放在天平的两边.如果天平不平衡，那 边假银元就放在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假 银元就在末称的第3组里.
3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平 的两边.如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如 果天平两边平衡，则末称的那一枚就是假银元.
例1 在电视台的某个娱乐节目中，要求参与者快速猜出物品的价格. 主持人出示某件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答 高了、低了或者正确.在某次节目中，主持人出示了一台价值在1000元 以内的随身听，并开始了竞猜.下面是主持人和参与者的一段对话：
800元！ 400元！ 600元！
高了! 低了!
例4 “韩信点兵”问题.韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战， 智谋超群，为建立汉朝立下了汗马功劳.据说他在点兵的时候，为了 保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，采用下述点兵的方 法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5 报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个 士兵报4.这样，韩信很快就算出了自己部队的总人数.请设计一个算 法，求出士兵至少有多少人?
解：具体算法步骤如下：
（1）首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2. （2）依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2，5，8， 11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41， 44，47，50，53，56…… （3）在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8. （4）然后依次加上15，得到8，23，38，53……，显然 这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3. （5）在第4步得到的一列数中，找出满足除以7余4的最小 数：53.这就是我们要求的数.
2、算法的基本思想就是我们分析问题时的想法.由于想法 不同、思考的角度不同，着手点不一样，同一问题存在不 同的算法，算法有优劣之分.
3、从熟悉的问题出发，体会算法的程序化思想，学会用 自然语言来描述算法.
例6
分析：在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程f(x)=0
的近似解.如图所示
y 二分法的基本思想是:将方程的有解
分析：从报数情况分析，总人数除以3余2；总人数除以5余3；总人数 除以7余4.算法的第一步是将所有的除以3余2的正整数找出来，按从小 到大排成一列.第二步是从第一步的数列中找出除以5余3的一列数，按 从小到大排成一列.最后在满足前两个条件的第二步数列中再找出除以 7余4的一列数，这列数中最小的数，即为我们所求的数.