材料力学-压杆稳定

176 .2
查表9 1，得： 0.234
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例：厂房钢柱长7m,由两根16b号Q235槽钢组成.端部截面 上有四个直径为30mm的螺栓孔.μ=1.3,F=195KN，nst=2.4， [σ]=170MPa， σp=200MPa, E＝206GPa。 （1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。
i1
F F
F
l1 0.25m, d 1 20mm,
1 l1 I d1 5.0mm, 1 104 A 4 i1 d1
l 2 0.5m, d 2 40mm,
d2
l1
l2
d3 l3
杆2， 2 1,
d2 2l2 i2 10mm, 2 50 4 i2
cr
Fcr 2 EI A A( l ) 2
i
I A
(惯 性 半 径 )

l
i
(柔度或长细比)
cr
2E 2
cr
2E 2 p
2E p p
p
二、非细长压杆的临界载荷
SOUTHEAST UNIVERSITY 当 p时（即非细长压杆），由经验公 式确定临界应力：
w x 0 kA 0 (2)
x l , w 0, w 0
w
x l
A sin kl B cos kl
m 0 ( 3) F
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w x l Ak coskl Bk sinkl 0 (4)
由(1)、(2)、(3)、(4)得：
Fcr
Q
挠曲线微分方程为：
d w dx
2 2
l
x w

2
M ( x) 1 [ Fw Q(l x )] EI EI
d 2w Qk 2 k w (l x ) 2 F dx
2
F 令：k EI
w A sin kx B cos kx
Q (l x ) F
边界条件：
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例：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截面 上有四个直径为30mm的螺栓孔。μ=1.3，F=195KN， n s t =2.4，[σ]=170MPa， σ p =200MPa, E＝206GPa。 （1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。
d 2w dx
2
x
F m
l
F 令：k EI
2

M ( x) Fw m EI EI EI
2
w
F
m
d 2w
m k w 2 EI dx
m w A sin kx B cos kx F
边界条件：
w
x 0
x 0, w 0, w 0
(1)
m B 0 F
杆3， 3 0.5,
l 3 1m, d 3 50mm,
d3 3l3 i3 12.5mm, 3 40 4 i3
2. 计算各杆的临界应力
对于Q275钢，K=96
SOUTHEAST UNIVERSITY 杆1， 1 > K，应选用欧拉公式
cr 2 E 2 ( 200 10 9 ) 183 MPa 2 2 104 1
2 EI
l2
w C 1 sin

l
x
F Fcr
w
不同杆端约束下压杆的临界载荷
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
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l
l
l
l
Fcr
2 EI
l
2
Fcr
2 EI
( 2l )
2
Fcr
2 EI
( 0.7 l )
2
Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
查型钢表选28a工字钢， l 160 .3 200 i
F A 42.87cm 2 [ ]
查型钢表选22b工字钢，
45 1MPa [ ] 与 0..5仍相差较大。
46.92MPa
得：表，得2760.186 查8 1 0. ， ，
SOUTHEAST UNIVERSITY 两端铰支压杆的临界载荷
EI d 2w dx
2
x F B Fcr M(x) l w Fcr
w
M ( x ) Fcr w
d w dx 2
2
x
k2
Fcr EI

k 2w 0
x w A
w C1 sinkx C 2 coskx x 0, w 0, C 2 0
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例：一压缩机连杆，材料为Q275钢，两端为柱形 铰支承，力学简图如图所示，承受最大轴向压力 为Fmax=60kN。若规定的稳定安全系数nst=3.5， 试校核连杆的稳定性。 F F
上面是关于A、B及Q/F的齐次线性方程组，要使 A、B及Q/F 不全为零，系数行列式应等于零：
0 k sinkl 1 0 cos kl l 1 0 0
展开上式有：
tgkl kl
tgkl kl
用图解法解上面方程： SOUTHEAST UNIVERSITY
y
作直线y=kl和y=tgkl，
coskl 1, sinkl 0
上面两式的最小正根为：
2 kl 2 k l 4 2 EI 2 EI Fcr EIk 2 2 l l ( 2 )2
例：由挠曲线微分方程导出一端固定，一端 铰支压杆的欧拉公式。
x
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解：压杆失稳后，计算简图如图 所示，
F > k l ，不稳定平衡态；
F < k l ，稳定平衡态；
F B B
B` k
F
F = k l ，临界状态。
临界状态时， F称为临界载 荷（临界力），记为Fcr。 Fcr=kl
l
A
A
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19世纪末，一列客车通过一座铁路桥时，桥桁 架压杆失稳，致使桥梁发生灾难性坍塌，大约 200人遇难；
sinkl 0 x l , w 0, C1 0 或 sinkl 0 n n 2 2 EI 2 kl n , k Fcr k EI l l2
Fcr
n 2 2 EI l
2
, n 0, 1, 2,
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Fcr
x 0, w 0, w 0 x l, w 0
Q w A sin kx B cos kx ( l x ) F
把边界条件代入通解表达式有：
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B Q l0 F Q Ak 0 F A si nkl B cos kl 0
Fcr 利用 F , nst
Fcr n nst F
Fcr Fst
st
2、折减因数法
st
F A
n 称为工作安全因数
－稳定因数
例：桁架上弦杆AB为Q235工字钢，截面类型为b 类，[σ]=170MPa，受轴向压力F=250kN。试选择工 字钢的型号。 4m B
1
2
2 EI Fcr ( l ) 2
0.7
0.5
欧拉公式
例：试由挠曲线近似微分方程导出两端固定压杆 的欧拉公式。 SOUTHEAST UNIVERSITY 解：两端固定的压杆失稳后，变形 Fcr 关于中点对称。上下两端的反力偶 矩同为m，水平反力都等于零。 挠曲线的微分方程为：
1983年10月4号，北京中国社会科学院科研楼工地 的钢管脚手架在距地面5~6米处突然外弓，刹那间， 高达54.2m、长17.25m、重达56.5吨的大型脚手架 轰然坍塌。造成5人死亡、7人受伤；脚手架所用 建筑材料几乎全部报废，经济损失惨重。
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§9.2-3 细长压杆的临界载荷
解：（2）
l
i 149.2
d
z0
p
2E 100 P
h
z

y
p
故为细长杆。
2 EI Fcr 458.9kN 2 （l）
n Fcr 2.35 F
y0
σ= F / A' = 70.5 MPa＜ [σ] 故满足强度条件.
因没超过5％，仍认 为满足稳定性要求。
解：（1）求 h
∵钢柱各方向的约束均相同。 ∴合理的设计应使 Iy = Iz。 查单根16b号槽钢，得：
d
z0
z
h

y
y0
A = 25.15cm2， Iz = 934.5cm4。Iy0 = 83.4cm4
z0=1.75cm，δ = 10mm
由平行移轴公式 Iy=2[Iy0+A(z0+h/2)2]=2Iz h = 8.23cm
一、压杆的稳定条件 SOUTHEAST UNIVERSITY 稳定失效准则： F Fcr 稳定设计准则：
Fcr F F st nst
nst－稳定安全系数；[Fst]－稳定容许压力。
F cr st A nst
[st]－稳定容许应力。
二、压杆的稳定计算 稳定校核； SOUTHEAST UNIVERSITY 截面设计； 求容许荷载。 1、安全因数法
2 EI
l 2 sin2
当AB杆和CB杆的承受能力都同时达到临界值时F为 最大： 2 EI
F cos 2 2 l cos 2 EI F sin l 2 sin2
tg ctg2
arctgctg 2
§9.5 压杆的稳定计算
第九章：压杆稳定
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构件保持原有平衡状态的能力，称为 稳定性。 本章主要研究压杆的临界载荷、临界 应力的求解方法以及工程结构稳定性 设计的方法。
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承受轴向压力的工程构件
桁架中的压杆
压杆
§9.1 稳定性概念
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cr a b
临界载荷为：
2
a、b为材料常数。
Fcr cr A
三、 临界应力总图
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cr
s p
2 A cr a b
P K
2E cr 2 B
k
p K

例：材料为Q275的三根圆压杆，长度分别为0.25m， 0.5m和1m，直径分别为20mm，40mm和50mm，各 杆支承如图所示。试求各杆的临界应力。 SOUTHEAST UNIVERSITY 解：1. 计算各杆的柔度 杆1，1 2,
A
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解：1°设 = 0.5
F A第三次试算： cm 2 3° 29.41
查型钢表选 号工字钢， 18 A .6 cm2，i 2 2.0 cm 50.89cm A 30 min
设 0.289
2°第二次试算：
0.186 0.5 设 0.343 2
杆2， 2 < K，应选用经验公式
cr 280 0.00872 2 2 258MPa
杆3， 3 < K，应选用经验公式
cr 280 0.00872 3 266MPa
2
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例：有一销接桁架ABC由两根具有相同截面和同 样材料的细长杆所组成。假设由于杆的失稳引起 破坏，试确定使载荷F为最大的角（假设0< </2）。 F 解：根据平衡条件, B
o
4.49
kl
第一个正的交点的横 坐标为：kl=4.49
4.49 2 20.16EI 2 EI Fcr k 2 EI ( ) EI 2 l l (0.7l ) 2
§9.4 欧拉公式的用于范围
一、临界应力
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2 EI Fcr ( l ) 2
N AB F cos , N BC F sin
2 EI
2 l AB
N 由欧拉公式： AB
N CB
2 EI
2 l CB
A

C
设支座A、C之间距离为l：
l AB l cos l CB l sin , N AB
2 EI
2
l cos
2
N CB