2020届高三数学下学期适应性考试试题6理

四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试
试题（6）理
第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}260A x x x =--<，{}
10B x x =-<，则A B ⋂的值是
A ．()-,1∞
B ．()-2,1
C ．()-3,-1
D ．()3,+∞ 2．若复数312a i z i +=
-（a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 的虚部为 A ．3- B ．3i C ．3 D ．3i -
3．已知向量1(8,
)2a x =，(,1)b x =，0x >，若2a b -与2a b +共线，则x 的值为 A ．4 B ．8 C ．0 D ．2
4．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是
A ．这10天中，12月5日的空气质量超标
B ．这10天中有5天空气质量为二级
C ．从5日到10日，PM 2.5日均值逐渐降低
D ．这10天的PM 2.5日均值的中位数是47
5．在ABC 中，D 在BC 边上，且2BD DC =，E 为AD 的中点，则BE =
A ．1136AC A
B - B ．1536A
C AB -+ C ．1136AC AB -+
D ．1536
AC AB - 6．已知随机变量()~2,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为 附：若随机变量()2~N ,εμσ，则()0.6826P μσεμσ-<≤+=，()220.9544P μσεμσ-<≤+=.
A ．4772
B ．5228
C ．1359
D ．3413
7．已知0.22018a =，20180.2b =，2018log 0.2c =，则
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
8．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是
A ．若,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂，则l α⊥
B ．若,//,l m ααββ⊥⊂，则l m ⊥
C ．若//,l m m α⊂，则//l α
D ．若,,l m ααββ⊥⊥⊂，则//l m
9．已知F 是抛物线x y C 4:2=的焦点，A ，B 为抛物线C 上两点，且6AF BF +=．则线
段AB 的中点到y 轴的距离为
A ．3
B ．2
C ．25
D ．2
3 10．在ABC △中，)sin(3)2sin(3A A -=-ππ
，)cos(3cos B A --=π则ABC △为
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
11．已知抛物线1C ：2y tx =(0,0)y t >>在点4
(,2)M t
处的切线与曲线2C ：x y e =相切，若动直线y a =分别与曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为
A ．ln 313+
B ．ln 313
- C ．1ln 22+ D ．1ln 22- 12．过点(1,0)P -的直线与圆22
:(3)4E x y -+=相切于M ，N 两点，且这两点恰好在椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为
A B C ．35 D
二、填空题第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________ 14．经过点()()1002，、，
且圆心在直线2y x =上的圆的方程是____. 15．已知直线10kx y k -+-=恒过定点A ，且点A 在直线()200,0mx ny m n +-=>>上，则mn 的最大值为_____________
16．定义11222n n n a a a H n
-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均
值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin a b A B =. （Ⅰ）求A ；
（II ）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.
18．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布 2.5PM 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量.
（Ⅰ）若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170,180)内.
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.
19．（12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．
（Ⅰ）证明： MN PC ⊥；
（II ）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所
成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．
20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，直线:24l x y +=与椭圆有且只有一个交点T .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和点T 的坐标；
（II ）设O 为坐标原点，与OT 平行的直线l '与椭圆C 交于不同的两点A B ，，直线l '与直线l 交于点P ，试判断2
PT PA PB ⨯是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.
21．e 是自然对数的底数，0a >，已知函数()x a f x x e
=+
，x ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； （II ）对于()x
g x e =，证明:当2a e ≥时，()()()111x f x g x g e ≥≥+. （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩
（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22sin cos θρθ=
． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（II ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数()f x x a x b =-++
（Ⅰ）若1a =，2b =，求不等式()5f x ≤的解集；
（Ⅱ）若0a >，0b >，且42a b ab +=，求证：()92
f x ≥
．
理科数学参考答案
1．B
2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B 10．B 11．D 12．D
13．10 14．()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 15．1 16．16773
k ≤≤
17．（1）∵cos sin sin b a A B A ==，∴tan 3
A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）
∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=-∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =.∵6A π=，∴23
B π=.∵2a =，∴2a c ==.
∴11sin 22222
ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=. 18．（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ，则742114521189x ⨯+⨯+=⨯，解得172x =. 即重度污染区AQI 平均值为172.
（Ⅱ）①由题意知，AQI 在[
)170,180内的天数为1， 由图可知，AQI 在[
)50,170内的天数为17天，故11月份AQI 小于180的天数为11718+=， 又183305=，则该学校去进行社会实践活动的概率为35
. ②由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且
()30181233020401015C C P X C ===，()21181233045911015
C C P X C ===， ()12181233029721015C C P X C ===，()031812330113203
C C P X C ===， 则X 的分布列为
数学期望EX = 204459297110123101510151015203⨯+⨯+⨯+⨯ 65
=. 19．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，
因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，
因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．
因为//
BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =
， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥
．
（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，
所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以1,2AO PA PO ==，因为PA =，所以BO PA =． 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则
()()()()33130,0,0,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,,0,0,0,3,,0,3322O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以()
233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111123033022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩
，
令10x =，则110,3y z ==，所以()
11,0,3n =， 记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222
2230330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，
令21x =，则2233,y z ==，所以231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
， 记二面角P AM N --的大小为θ，则12
121239cos cos<,13
n n n n n n θ⋅=>==⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为3913
．
20．（I ）由椭圆的离心率e=c a =221b a -=12
，则b 2=34a 2， 则222224413x y x y a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，消去x ，整理得：163y 2﹣16y+16﹣a 2=0，①由△=0，解得：a 2=4，b 2=3，
所以椭圆的标准方程为：24x +2
3
y =1；所以T y =32，则T （1，32），
（Ⅱ）设直线l′的方程为y=32x+t ，由32
24
y x t
x y ⎧
=+⎪⎨⎪+=⎩，解得P 的坐标为（1﹣2t ，32+4t ）， 所以|PT|2=516t 2，设设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2232
3412
y x t x y ⎧
=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y 整理得x 2
+tx+23t ﹣1=0，
则x 1+x 2=﹣t ，x 1x 2=233t -，△=t 2﹣4（23
t ﹣1）＞0，t 2
＜12，
y 1=32x 1+t ，y 2=32x 2+t ，
|22t -﹣x 1|， 同理
22t -﹣x 2|，|PA|•|PB|=134|（22t -﹣x 1）（22t -﹣x 2）|=134|2
22t -⎛⎫ ⎪⎝⎭
﹣22t -（x 1+x 2）+x 1x 2|，134|2
22t -⎛⎫ ⎪⎝⎭﹣22t -（﹣t ）+233t -|=1348t 2，所以2
||PT PA PB ⋅=2
25161348
t t =1513， 所以2||PT PA PB ⋅=1513
为定值．
21．（1）由函数()f x 有零点知，方程()0x a
f x x e
=+
=有实数解，因为0x a xe =->，所以0x <．设()x g x xe =-，(,0)x ∈-∞，
则a 的取值范围转化为函数()x g x xe =-在(,0)x ∈-∞上的值域．
因为()(1)x g x x e '=-+，所以当(x ∈-∞，1)-时()0g x '>，函数()g x 在(,1)-∞-上单调递增，当x ∈(1,0)-时()0g x '<，函数()g x 在(1,0)-上单调递减，
故函数()g x 在1x =-时，取得最大值11
(1)(1)g e e
-=--=，
又(,1)x ∈-∞-上，()0x g x xe =->，所以函数()x g x xe =-在(,1)x ∈-∞-上的值域为(0，1
]e ．当x ∈(1,0)-时，()0x g x xe =->，所以函数()x g x xe =-在(,0)x ∈-∞上的值域为(0，1]e
. 从而函数()x
a
f x x e =+
有零点时，实数a 的取值范围为(0，
1]e （2）11()
(1)
()x f x g x g e +可以转化为证明两个不等式1
1x x a
x e e
++⇔10x
xe a e +-①，110(1)()(1)
()x x g x g e g x g e <+⇔
+②.设1()x
F x xe a e
=+-，所以()(1)x F x x e '=+， 当(,1)x ∈-∞-时，()0F x '<，函数()F x 在(,1)-∞-上单调递减，当(1,)x ∈-+∞时，
()0F x '>，函数()F x 在(1,)-+∞上单调递增．故函数()F x 在1x =-时，取得最小值
112
(1)(1)0F a a e e e
-=-+-=-，所以()(1)0F x F -．得证1
11
()
(1)
x
x a x f x e e g x ++⇔+①
设()=1x G x e x --，有()1x G x e '=-，当0x <时，()0G x '<．函数()G x 在(,0)-∞上单调递减；当0x >时，函数()0G x '>，()G x 在(0,)+∞上单调递增．故函数()G x 在0x =时，取得最小值0(0)010G e =--=．
所以()(0)0G x G =，得1x x e +．（仅当0x =时取等号）
又由()x
g x e =为增函数，得11
0(1)()(1)()
x x g x g e g x g e <+⇒
+②.合并①②得证11
()
(1)()
x f x g x g e +． 22．（1）由曲线C 的极坐标方程为2
2sin cos θρθ
=，得22
cos 2sin ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程是2
2x y =．
由直线l 的参数方程为21x t
y t
=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），得直线l 的普通方程10x y +-=
（2）由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t
为参数），得212
x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
（t 为参数）， 代入2
2x y =，
得2120t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，
则12t t +=1212t t ⋅=，
所以
12AB t t =-=
=
=
因为原点到直线10x y +-=
的距离2
d =
=
，所以11·222
AOB
S
AB d =
=⨯= 23．（Ⅰ）12a b ==，时，()25125215x f x x x x ≤-⎧≤⇔-++≤⇔⎨
--≤⎩或21
35x -<<⎧⎨≥⎩或1
215x x ≥⎧⎨
+≤⎩
， 解得32x -≤≤，故不等式5f x ≤（
）的解集为[]
32-，； （Ⅱ）00a b ＞，＞时f x x a x b x b x a a b =-++≥+--=+（
）（）（），当且仅当b x a -≤≤时，取等. ∵42a b ab +=，∴
12
12b a
+=， ()122a b a b a a ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭
1259
22222
a b b a +++≥+=当且仅当4233a b ==
，时取等．
故()92
f x ≥．。