上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试卷数学理科

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟检测试
卷数学理科
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =
A ．}1,21{
B ．)1,1(-
C ．]21,1[-
D ．)1,2
1
(
2．复数i
i i z )
1)(1(-+=
在复平面上所对应的点Z 位于
A ．实轴上
B ．虚轴上
C ．第一象限
D ．第二象限 3．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则=7S
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63 4．执行右边的程序框图，则输出的S 值等于
A ． 91817161+++
B ． 9181716151++++
C ． 101
91817161++++
D ． 10
1
9181716151+++++
5.
正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= A ．
2
21
B ．215
C ．213
D ．29
6
A ． 3
B ． 34
C ． 1
D ． 32
7．同时具有性质“①最小正周期是π，②图像关于3
π
=x 对称，③在]3
,6[π
π-上
左视图
视图
俯视图
A
P
B C O
是增函数”的一个函数是
A ．)6
2sin(π
+=x y B ．
)32cos(π+=x y C ． )6
2sin(π
-
=x y D ． )6
2cos(π
-
=x y
8． 对于函数x e x f ax ln )(-=，（a 是实常数），下列结论正确的一个是
A ． 1=a 时， )(x f 有极大值，且极大值点)1,2
1(0∈x B ． 2=a 时， )(x f 有极小值，且极小值点)4
1,0(0∈x C ． 2
1=a 时， )(x f 有极小值，且极小值点)2,1(0∈x D ． 0<a 时， )(x f 有极大值，且极大值点)0,(0-∞∈x 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．设m 是常数，若点)5,0(F 是双曲线
22
19
y x m -=的一个焦点，则m =．
10．圆O 的半径为3，P 是圆O 外一点，5=PO ，PC 是圆O 的切线，C 是切点，
则=PC ．
11．甲从点O 出发先向东行走了km 3，又向北行走了km 1到达点P ，乙从点O
出发向北偏西︒60方向行走了km 4到达点Q ，则Q P ,两点间的距离为． 12．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项
目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．
13． 若A 为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则A 的面积为；当a 的值从
2-连续变化到1时，动直线a y x l =+:扫过的A 中的那部分区域的面积
为．
14． 已知条件:p ABC ∆不是等边三角形，给出下列条件：
①ABC ∆的三个内角不全是︒60②ABC ∆的三个内角全不是︒60 ③ABC ∆至多有一个内角为︒60④ABC ∆至少有两个内角不为︒60
则其中是p 的充要条件的是．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15． （本小题满分13分）
在三角形
ABC 中，角C
B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2
=a ，4
π
=
C ，
5
3cos =
B ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）求AB
C ∆的面积． 16．（本小题满分14分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且
2==AD PA ，F E ，分别是棱PC AD ,的中点．
（Ⅰ）求证：//EF 平面PAB ； （Ⅱ）求证：⊥EF 平面PBC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小． 17． （本小题满分13分）
对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，列出乙的得分统计表如下：
（Ⅰ
）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；
（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明） （Ⅲ）在乙所进行的100场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场作进一步分析，记这2场比赛中得分不低于30分的场数为ξ，求ξ的分布列． 18． （本小题满分13分）
已知函数b ax x x f +-=3)(3，),(R b a ∈． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为023=-+a y ax ，且)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点，求a 的取值范围． 19． （本小题满分14分）
D
已知直线
022=+-y x 经过椭圆)
0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左顶点A 和上顶点
D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的
动点，直线AS ，BS 与直线4:=x l
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值． 20． （本小题满分13分）
对于项数为m 的有穷数列}{n a ，记21k k b =k k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的“控制数列”，如5,5,2,3,1的控制数列为
5,5,3,3,1．
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为5,5,4,3,2，写出所有的
}{n a ；
（Ⅱ）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C C b a k m k (1=++-为常数m k ,,2,1 =）， 求证：k k a b =；
（Ⅲ）设100=m ，常数)1,2
1
(∈a ，若n an a n n n ⋅--=+2)1(2)1(，}{n b 是}{n a 的控制数
列，
求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 的值．
答案
一、选择题：)0485('=⨯'
D B C C B A C C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．16 10．4 11．72 12．3
2
13．2 ；4
7
14．①③④
三、解答题：)0365('=⨯' 15． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 5
3cos =
B ，
∴54
sin =B ……………………1分
∴)sin(sin C B A += (2)
分
C B C B sin cos cos sin += ……………………4分
10
2722532254=⨯+⨯= ……………………6分
（Ⅱ）
A a
B b sin sin = ……………………8分 1027254=
∴b ， 7
2
8=
∴b ……………………10分
C ab S ABC sin 2
1
=∴∆， ……………………11分
7
8
= ………………………………13分 16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：设G 是PB 的中点，连接GF AG ,
∵F E ,分别是PC AD ,的中点， ∴BC GF 2
1//， BC AE 2
1//
∴AE GF //，∴AEFG 是平行四边形，∴AG EF // (2)
分
∵⊄EF 平面PAB ⊂AG 平面PAB ， ∴
//
EF 平
面PAB ………………3分
（
Ⅱ
）
∵
AB
PA =，
∴
PB AG ⊥， ………………4分
∵ABCD PA ⊥， ∴BC PA ⊥， 又∵AB BC ⊥， ∴⊥BC 平面PAB ， ∴
AG BC ⊥， ………………6分
∵PB 与BC 相交， ∴⊥AG 平面PBC ，
∴⊥EF 平面PBC ． ………………7分 （Ⅲ）以AP AD AB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -， ………………8分
∵2==AD PA ， ∴)0,1,0(E ，)0,2,2(C ，)2,0,0(P ，)1,1,1(F 设H 是PD 的中点，连接AH ∵⊥AG 平面PBC ， ∴同理可证⊥AH 平面PCD ，∴是平面PCD 的法向量，
)1,1,0(=AH ………………9分
)0,1,2(=，)2,1,0(-=
设平面PEC 的法向量),,(z y x m = ，则0,0=⋅=⋅m
∴02,02=+-=+z y y x 令2=y ，则1,1=-=z x
∴)1,2,1(-=m
………………12分
∴23
263|
|||,cos =⋅=>=<AH m m
． ………………13分
∴二面角D PC E --的大小为︒30 ………………14分 17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）72.0
………………2分 （Ⅱ）甲更稳定，
………………5分
（Ⅲ）按照分层抽样法，在),10,0[),20,10[),30,20[),40,30[
内抽出的比赛场数分别 为3,4,2,1， ………………6分
ξ的取值为2,1,0，
………………7分
15
7
4521)0(2102
7====C C P ξ， ………………9分
157
4521)1(2
10
1317==⋅==C C C P ξ， ………………10分 15
1
453)2(21023====C C P ξ ， ………………11分
ξ的分布列为：
………………13分
18． （本小题满分13分）
解
：
（
Ⅰ
）
a x x f 33)(2-='， ………………1分
（1）当0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，此时)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，……2分
（2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x ±=；
令0)(>'x f ，得a x -<或a x > 令0)(<'x f ，得a x a <<-
∴)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 上是增函数， 在
]
,[a a -上是减函
数． ………………5 分 （Ⅱ）∵a f 3)0(-='， b f =)0(，
∴曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为ax b y 3-=-， 即03=-+b y ax ，
∴a b 2=， ∴
a ax x x f 23)(3+-= ………………7 分
由（Ⅰ）知，
（1）当0≤a 时，)(x f 在区间),(+∞-∞单调递增，所以题设成立………………8 分
（2）当0>a 时，)(x f 在a x -=处达到极大值，在a x =处达到极小值，
此时题设成立等价条件是0)(<-a f 或0)(>a f ， 即：02)(3)(3<+---a a a a 或02)(3)(3>+-a a a a
即：023<++-a a a a a 或023>+-a a a a a ………………11 分 解得：
10<<a ………………12 分
由
（
1
）
（
2
）
可知
a
的
取
值
范
围
是
)1,(-∞． ………………13分
19． （本小题满分14分） 解
：
（
Ⅰ
）
．
椭
圆
C
的方程为
14
22
=+y x ． ………………3分 （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，
故可设直线AS
的方程为)2(+=x k y ， ………………4分
从
而
)6,4(k M ………………5分
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
)2(2
2y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k ， ………………7分
设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-， 得2
2
14182k k x +-=
， ………………8分
从而21
414k k
y +=，即)414,4182(222k
k
k k S ++-， ………………9分
又
)
0,2(B ，故直线
BS
的方程为
)2(41
--
=x k
y ………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩
⎪
⎨
⎧-==k y x 214∴)21
,4(k
N -
， ………………11分
故
k
k MN 216||+
=， ………………12分
又∵0>k ， ∴322162216||=⨯≥+
=k
k k k MN ， ………………13分
当且仅当k k 216=，即6
3
=k 时等号成立， ∴6
3
=
k 时，线段MN 的长度取得最小值为
32． (14)
分
20． （本小题满分13分）
（1）数列}{n a 为：2， 3， 4， 5， 1；2， 3， 4， 5， 2；2， 3， 4， 5， 3；
2， 3， 4， 5， 4；2， 3， 4， 5， 5． …………3分
（2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所
以
k k b b ≥+1． …………4分
因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，
所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1． …………6分
因
此
，
k k a b =． …………8分
（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；
)24()24(224-+-=-k k a a k ；
)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=．
比较大小，可得3424-->k k a a ．
因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a ．
又k k a a 414>+，
从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=．
因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-
=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+---
=∑=---25
1
1424)(k k k a a =∑=--25
1
)38()1(k k a =)1(2525a -． ………………13分。