真题第一课极限与连续专题配套答案 (1)

极限与连续专题答案
1.
2.1
()sin
, (), f x A f x x CD x
==举反例：令排除，令排除。

3. 【分析】 ∞
1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞
=)()1)(lim(x g x f e -进行计
算求极限均可.
【详解1】 )
1ln(1
2
)
(cos lim x x x +→=x
x x e
cos ln )
1ln(1
lim
20+→,
而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim
02
020-=-==+→→→x x x
x x x x x x x ， 故 原式=.12
1
e
e
=
-
【详解2】 因为 2121lim )1ln(1
)1(cos lim 2
20
2
-=-
=+⋅
-→→x
x
x x x x ， 所以 原式=.12
1e
e
=
-
4. 0cos 2tan lim cos tan lim lim 2
20
02=⋅==+
+
+
→→→⎰
⎰
x
x
x dt
t dt t x x
x x x αβ，可排除(C),(D)选项，
又 x
x x
x dt
t dt
t x x
x
x x tan 221
sin lim tan sin lim lim 2
30
03
02
⋅==+
+
+
→→→⎰
⎰
βγ
=
∞=+→20lim 41x
x
x ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 5. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞
→n n
n x x f ；
当1=x 时，111lim )(=+=∞
→n n x f ；
当1>x 时，.)11(
lim )(3
133
x x
x x f n
n
n =+=∞
→
即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).
6.直接等价无穷小，等于2
7.
lim ,sin ,0,lim =0n n x x l x l l l x →∞
→∞
===令则所以
8.
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10.
11.()n n x f x B 若单调，则单调有界，所以收敛，选 12.
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43. 【详解】因为1lim(1)x x e x
→∞
+=
lim(
)x x x c x c →∞
+-2lim()x
x x c c x c
→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)
222lim()x c cx c x c
x x c c x c
-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x c
x c
c
x c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦
(利用幂函数的性质()mn
m n a
a =)
222ln (1)lim cx
x c x c
c c x c x e
--⎡⎤⎢⎥
+-⎢⎥⎣⎦
→∞
= (利用对数性质ln ()
()f x e
f x =)
222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e
-⎡⎤
⎢⎥+--⎢⎥
⎣⎦
→∞
= (利用对数性质()
ln ()
()ln ()g x f x g x f x =)
222lim ln (1)x c
c x cx c x c x c e
-→∞⎡⎤
⎢⎥
+--⎢⎥
⎣⎦
= (利用x y e =函数的连续性，lim ()
()
lim x f x f x x e
e
→∞
→∞
=)
222lim
lim ln (1)x c c x x cx c x c x c e
-→∞→∞⎡⎤⎢⎥
⋅+--⎢⎥
⎣⎦
=(当各部分极限均存在时，
lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞
→∞
→∞
⋅=⋅)
222lim
ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e
-→∞→∞⎡⎤⎢⎥
⋅+--⎢⎥
⎣⎦
= (利用ln y x =函数的连续性，
lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞
→∞
=)
2ln c e e ⋅= (利用1
lim(1)x x e x →∞+=)
2c e = (ln 1e =)
又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有
()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<
左右两边同时求极限，于是
lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞
→∞
--==，
因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大
由题意，lim(
)lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞
→∞+=--- 从而2c e e =，故1
2
c =
44. 【详解】ln “”
里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1
(12)12211
limln limln 1(12)(12)n
n a a
n n n na n a n a -⋅
-→∞
→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
(12)
11
lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦
11
ln 1212e a a
=
=
-- 45. 【详解】
2
2
000003arctan(1)arctan(1)lim
lim 1(1cos )2
x
u x u x x t dt du t dt du x x x
→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰
⎰⎰⎰等
2
2
arctan(1)lim
32
x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346
ππ=⋅=
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50. 【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +
→与)(lim x f b x -
→存在，则函数f (x )
在(a , b )内有界.
【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim
1-
=+
-→x f x ，42
sin )(lim 0
-=-→x f x ，
4
2
sin )(lim 0=
+
→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数
f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -
→存在，则函数f (x )在开区间(a ,
b )内有界.
51. 【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x
u 1=)，又g (0) = 0，所以， 当a = 0时，)0()(lim 0
g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时， )0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性
与a 的取值有关，故选(D).
52. 【详解】x
x x x x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x
x x x x x x x x x x x x x 53. 【详解】 12sin lim 2+∞→x x x x =.21
2lim 2=+∞→x x x x 54. 【详解】 )
1(1lim )111(lim 200x x
x x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2
201lim x e x x x
x -→+-+ =x
e x x
x 221lim 0-→-+ =.2
322lim 0=+-→x x e 55. 【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e e n n n n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，
而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1n n n n -→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭.
56.抓大头，0×有界所以等于0
57. 【详解】 ()()0000
()lim ()lim lim 0x x x x f t dt g x f x f x →→→===⎰， 所以0x =是函数()g x 的可去间断点．
58. 【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩
因为 ()22lim lim(1)1x c x c f x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x c f x x c
++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续
所以 ()()lim lim ()x c x c f x f x f c +-→→==，即2211c c c
+=⇒=. 59. 【详解】
方法一：22001sin 1sin lim ln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 32000sin cos 1sin 1lim
lim lim 366
x x x x x x x x x x →→→--===-=- 方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x x x x x x x
→→→--=洛必达法则 20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则 60. 【解析】
()3
sin x x f x x
π-= 则当x 取任何整数时，()f x 均无意义
故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3
0x x -=的解1,2,30,1x =±
320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππ
ππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±
61. 【解析】2
()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则 222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx
→→→→→---==-⋅---洛洛
23
0sin lim 166x a ax a b b ax a
→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外201cos lim 3x a ax bx
→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D). 所以本题选(A).
62.
【解析】cos cos 1
00x x x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x →-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =.。