数学建模城市道路扫雪模型

数学建模城市道路扫雪模型
城市道路扫雪模型摘要：雪灾是重要的⾃然灾害之⼀，会导致道路交通受阻甚⾄瘫痪，从⽽造成严重经济损失和不良社
会影响。

本论⽂希望通过研究，构造出清除城市道路降雪、保证道路畅通的数学模型，并对城市主⼲道路的降雪清除进⾏规划，为政府抗击降雪、保证交通安全做好基础⼯作。

长春市被⼤雪覆盖，有两辆扫雪车清除积雪，需要为它们设计两条最短路径，可以最⼤限度地减少空驶（即驶在已经作业过的街道或⾼速公路）的时间。

这是⼀个关于路径选择的问题，本模型以扫雪车在规定时间内清除的雪量作为测定其效率的标准。

⼀条路只能同时存在有限的车辆，车辆密度越⼤，车距越⼩，车速越慢，扫雪效率越低。

因此最⼤流量向正常⽔平恢复的速度越快，道路的流量需求越⼤，则扫雪的成效越显著。

在⼀段时间内，道路上扫雪的总成效的变量只有最⼤车流量。

⽽最⼤车流量在模型中只有三种状态：打扫前、打扫中、打扫后。

因此只需要知道在某个时间点，该路段处于什么样的状态就可以计算出此时最⼤车流量，即可得出最优路径。

关键词：最⼤车流量路径选择扫雪状态扫雪成效
1
城市道路扫雪模型
⼀、引⾔
2008年，⼀场罕见的特⼤雪灾袭击了我国南⽅地区。

这场雪灾造成了我国近⼗个省区严重受灾，给⼴⼤⼈民⽣命财产带来巨⼤损失。

仅交通⽅⾯就使这些地区的民航、铁路、⾼速公路全线受阻，数以千万计的旅客被迫滞留⽕车站、汽车站和机场，⽣产、⽣活资料均⽆法正常输送。

如今灾害已过，在我们安居乐业之时，更需要认真思考有关问题，提⾼抗击⾃然灾害的
本论⽂题⽬改编⾃1990年美国数学建模⼤赛B 题
数学建模作业
城市道路扫雪模型 2015
姓名：李瑶
乐享科技公司
2015/10/24
能⼒。

本论⽂以冰雪灾害为中⼼，以清除道路降雪为切⼊点，通过数学语⾔，建⽴道路扫雪模型，希望能为政府抗击风雪尽⼀点微薄之⼒。

⼆、提出问题：
1、提出问题：上图是长春的地图，长春市的⼀场⼤雪过后，政府从⼀个车库安排两辆扫雪车
分别到A、B两地，找出这两辆车扫清马路积雪的有效⽅法，扫雪车可以利⽤⾼速公路进出马路上的扫雪区，假设扫雪车既不会发⽣故障也不停顿，在交叉路⼝不需要特别的扫雪技术。

2、问题分析：这是⼀个关于路径选择的问题，该模型以扫雪车在规定时间内清除的雪量作为测定其效率的标准。

时间会受空驶影响，若空驶时间多，效率就低。

因模型不限制车速，当作业时间与完成整个地区作业花费的时间总量之⽐获最⼤值时，效率最⾼。

因此该模型可取得⾼效率的条件是两车所花费时间均为作业时间。

如果扫雪车没有重复⾛某⼀条路，或者扫雪车重复⾛的路径最少，就认为是⼯作所花的时间最少。

为使交通尽快恢复正常，应把⽤时最少放在最重要的位置考虑。

则
这个问题的有效解法应具有以下特点：
1、这两辆扫雪车应将规定区域内的道路遍历⼀次，并且尽可能使重复的道路最少；
2、扫完全部地⾯所花费的时间应尽量少；
3、⼯作完成后，两辆车应尽可能快的回到起点；
4、两车⼯作时间应⼤致相等；
5、扫雪车既不会发⽣故障也不停顿；
6、在交叉路⼝不需要特别的扫雪技术。

三、模型假设：
对模型做出如下基本假设：
1、两辆扫雪车性能相同；
2、两辆扫雪车司机驾驶技术相同，并且作业速度相同；
3、两辆车出发的时间相同；
4、每条道路积雪的厚度，范围相同；
5、在所有交叉路⼝，扫雪车可以不减速的转弯。

6、扫雪前后，马路对汽车的速度要求相同；
7、⼀次⾏驶即完成⼀次单向⾏车道的作业。

8、扫雪车不会抛锚或受阻停滞；
9、扫雪车必须遵守交通规则；
四、符号说明：
⾸先⽤点描述交叉路⼝，⽤以边描述马路。

这些边，是以点作为端点，并且具有有向性。

符号变量：
●起点P0和终点P1：⼀条边的正⽅向可以⽤表⽰。

●长度l:只考虑路的长度。

●车道数w:给定马路上同⽅向可以并排⾏驶⼏辆汽车。

●平均车速v:某个时刻该边上所有汽车速度的平均值v=.平均车速关于时间的函数为
v=v(t).
●车流量需求J：在某⼀时刻有多少车需要以多少速度通过这条边，关于时间的函数为J=J(t).
●最⼤车流量J：⼀条路只能同时存在有限的车辆，车辆密度越⼤，车距越⼩，车速越慢.
●车道数w.
●扫雪后的最⼤车流量J bf
.
.
五、模型建⽴
流量取决于数量和速度，以及其他的⼀些量，对于⼀条路⽽⾔，路上的任意位置，它的流量取决于该位置上所经过的车辆密度和速度
J=v 1.
假设在同⼀条路上，车的速度相等且分布均匀，则式1.可化为
J=.
在这个假设下，⼀条路上任意⼀个位置的流量是相等的。

如果在分叉的道路上没有车辆停下或者加⼊，则车流量还应满⾜
Ji=ij
扫雪过程中，该路段的最⼤车流量取决于扫雪车⼯作时的⾏驶速度v wk、扫雪前的最⼤车流量以及该⽅向的车道数。

如果每两点之间只有⼀条通路，那么路径可以⽤⼀个向量来表⽰：
,
其中对任意的⾮负整数j有
.
⼀条路径可以⽤边的向量表⽰，
R=
由于扫雪车在该模型中，只有清扫中和⾮清扫中两种⼯作的模式，因此只需要⼀个变量表⽰车的状态。

不妨记b值为：扫雪车是否在清扫积雪，若是，则为真（值为1）；若否，则为假（值为0）。

在本论⽂中，我们需要按照时间和位置，来记录扫雪车的⼯作。

则有
b=
来描述⼯作状态。

联合⼯作路径和扫雪车的⼯作状态，就可以正确的模型中的扫雪⽅案：
●因为最⼤流量向正常⽔平恢复的速度越快，则扫雪的成效越显著，我们可以规定在⼀个时
间点上，成效增长的速度正⽐于扫雪车扫雪的速度和道路最⼤车流量同扫雪前最⼤车流量的差的乘积
=k1v wk(J J bf)
●道路的流量需求越⼤，越应该尽早清理。

因此，道路的流量需求越⼤，则清扫的成效越⼤，
规定其有正⽐例关系，则有
= v wk(J J bf).
由于扫雪车在⼀条道路上⼯作的速度不变，则它在⼀条道路上的成效是
Y=lJ (J J bf).
在⼀段时间内，道路上扫雪的总成效为
Y=i dt
得出总成效为Y=i dt.
在该公式中，变量只有最⼤车流量。

最⼤车流量在模型中只有三种状态：打扫前、打扫中、打扫后。

因此只需要知道在某个时间点，该路段处于什么样的状态就可以计算出此时最⼤车流量。

计算⽅法如下：
1.初始化道路信息；
2.记录两辆扫雪车初始位置；
3.计算按照⽅案扫雪车到达下⼀个位置的时刻，形成⼀组时段并记录；
4.将这⼀组时段中，扫雪车处于扫雪状态的路的状态置为打扫中，计算最⼤车流量，然后将
该路之后的状态置为打扫后，计算最⼤的车流量；
5.在本组到达时刻当中，选取最⼩值记为t,若其对应的扫雪车的⼯作⽅案中存在下⼀步计划，
就按⽅案继续进⾏，并将该车所对应的运⾏时段出列，使其下⼀步所占⽤的时段⼊列；
6.若上⼀时段中该扫雪车状态为扫雪中，则该时段车所在路的状态置为打扫中，计算最⼤车
流量，并将该路在此后的状态置为打扫后，计算最⼤车流量；
7.若时段记录⾮空，则返回第5步；否则记录⽅案完成时间为
t end=t.
算法完成后，我们便获得了各条道路的最⼤车辆随时间变换情况，从⽽完成从⽅案到成效的对应关系。

当路径所对应的⽅案成效最⼤时，便是该题⽬的解。

六、⽅案成效
1.对于两种不同的⽅案，只有当衡量的时间相同，才有⽐较的意义；
2.⽅案越快使得交通畅通，它的成效越⼤；
3.⽅案完成的时间越短，它的总成效越⼤。

4.本模型为扫雪作业提供了最短路径；
5.本模型对长春市不同的划分有⽅便可⾏的调整⽅案，能够适应于原问题的各种变化。

七、思考题
现实情况中，在交叉路⼝，必然存在车道的交叉，车道之间会存在相互的⼲扰，还有红绿灯、积雪的厚度分布等
⼀、如何在模型中引⼊现实情况？
⼆、本论⽂中改进的模型与原本模型的实际差异有多⼤？
参考⽂献
1．⽹络资源：
2．《数学建模思路解析》。