2007年山东课标版高考预测(数学文)

2007年高考预测试卷 课标版(山东)数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）
1．
()()=+-8
10
212i i
（ ）
A ．i 43+
B ．i 43-
C ．i 34+
D ．i 34-
2．若集合{}
Z x x y y M ∈==,|2，{}
R x x x N ∈≥-=,63|，全集R U =，P 是N 的 补集，则P M 的真子集个数是 （ ）
A ．15
B ．7
C ．16
D ．8 3．设α是锐角，2234tan +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ，则αcos 的值为
（ ） A ．
22
B ．
2
3 C ．
3
3
D ．
3
6 4．设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥-=2 1212 1log 2x x x x f x
，若()10>x f ，则0x 的取值范围是
（ ）
A ．()()+∞∞-,20,
B ．()2,0
C ．()()+∞-∞-,31,
D ．()3,1-
5．对于实数b a 、，“()0≤-a b b ”是“1≥b
a
”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．在R 上定义运算⊗：()y x y x -=⊗1，若不等式()()11<+⊗-x a x 对任意实数x 都成
立，则有
（ ） A ．11<<-a
B ．20<<a
C ．02<<-a
D ．22<<-a
7．设n m l 、、表示三条直线，γβα、、表示三个平面，则下列命题中不成立．．．的是（ ） A ．若α⊥l ，α⊥m ，则m l //
B ．若β⊂m ，n 是l 在β内的射影,l m ⊥，则n m ⊥
C ．若α⊂m ，α⊄n ，n m //，则α//n
D ．若γα⊥，γβ⊥，则βα//
8．已知ABC ∆的三个顶点C B A 、、及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则 点P 与ABC ∆的关系是
（ ）
A ．P 在ABC ∆内部
B ．P 在AB
C ∆外部
C ．P 在直线AB 上
D ．P 在ABC ∆的AC 边的一个三等分点上
9．y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥0
20k y x x y x (k 为常数)，能使y x z 3+=的最大值为12的k 的
值
为
（ ）
A ．-9
B ．9
C ．-12
D ．12
10．设双曲线()0122
22>>=-b a b
y a x 的半焦距为c ，直线l 过()()b a ,00,、两点，已知原点
到直线l 的距离为
c 4
3
，则此双曲线的离心率为 （ ）
A ．2
B ．2
或
3
C
D
11．已知数列{n a }的首项11=a ，)1(31≥=+n S a n n ，则下列结论正确的是 （ ） A ．数列{n a }是等差数列
B ．数列{n a }是等比数列
C ．数列 ,,,,32n a a a 是等差数列
D ．数列 ,,,,32n a a a 是等比数列
12．若函数()()1,0≠>-=-a a a ka x f x
x
既是奇函数，又是增函数，那么
()()k x x g a +=l o g
的图象是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（共4 题，请将答案写在横线上，每题 4分，共 16 分） 13．如右图，大正方形的面积为13，四个全等的直角
三角形围成中间的小正方形，较短的直角边长为 2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在中间小正 方形内的概率是________ 14．已知⊙08:222=+-++k y kx y x C ，过点)1,2(-P 可作两条直线与圆⊙C 相切，则k 的取值范围是_______ 15．
____ _ 16．有如下图的程序框图
则程序输出的结果为_______
三、解答题（本题共6小题74分，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设向量⎪⎭⎫ ⎝
⎛=2sin
,2
cos x x ，向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x 23cos ,23sin ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx .
（1）求b a ⋅+；
（2）若函数()x f +⋅=，求()x f 的最小值、最大值.
18．如图，已知四棱锥
ABCD
P -的底面是直角梯形，
2
π
=
∠=∠BCD ABC ,22=====CD PC PB BC AB ，侧面PBC ⊥底面
A B C D ，O 是BC 的中点，AO 交BD 于点E . （1）求证：PA ⊥BD ;
（2）求证：平面PAD ⊥平面PAB .
19．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P , 且在点))1(,1(--f M 处的切
线方程为076=+-y x . （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的单调区间
20．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商
订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为y 元，写出函数)(x f y =的表达式； （3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，
利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
21.直线1+=kx y 与双曲线132
2=-y x 相交于不同的两点B A 、.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求该圆的直径.
22．已知数列{}n a 中，()1,01≠≠=t t t a ，2
2t a =，且当t x =时，函数
()()()()22
1
121≥---=
+-n x a a x a a x f n n n n 取得极值 （1）求证：数列{}n n a a -+1是等比数列； （2）若(
)*
ln N n a a b n n n ∈=，求数列{}n
b 的前n 项和n
S
；
（3）当10
7
-
=t 时，数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，说明是第几项；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．D 9．A 10．D 11．D 12．D 二、填空题
13．
131 14．)33
8,3()1,338( -- 15．三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥全面积的乘积的3
1
16．13
三、解答题
17．解：（1）x x x x x x x b a 2sin )2
23sin(23cos 2sin 23sin 2cos =+=+=⋅…………………2分
x b a b a 2sin 222)(2
+=⋅++=+=+
)cos (sin 2)cos (sin 22sin 222x x x x x +=+=+= ])2
,0[(π
∈x
……6分
（2）由（1）得：)cos (sin 2cos sin 2)cos (sin 22sin )(x x x x x x x x f ++=++=
令t x x =+cos sin ]2,1[],2
,0[∈∴∈t x π
(8)
分
,1cos sin 22-=⋅∴t x x ………………………………………………………………9分
],2,1[,2)1(21)(22∈-+=+-=∴t t t t x f
所以当1=t 时，2)(min =x f ；当2=
t 时221)(max +=x f …………………12分
18.解：（1）∵PC PB =,∴BC PO ⊥.
∵面PBC ⊥面ABCD , 面PBC 面ABCD BC =，
∴PO ⊥平面ABCD …………………………………………………………………3分 在梯形ABCD 中，可得ABO Rt ∆≌BCD Rt ∆,
∵2
π
=
∠+∠=∠DBA OAB BEO ,即BD AO ⊥．
∵PA 在平面ABCD 内的射影为AO ，∴PA ⊥BD . ……………………………6分 （2）取PB 中点N ，连结CN ∴BC PC =∴PB CN ⊥①
∵BC AB ⊥,平面PBC ⊥平面ABCD ∴AB ⊥平面PBC ∵AB ⊂面PAB ∴平面PBC ⊥平面PAB ②
由①②知CN ⊥平面PAB .………………………………………………………9分
连结DM 、MN ，则由CD AB MN ////,CD AB MN ==2
1
,得四边形MNCD 为平行
四边形
∴DM CN //
∴DM ⊥平面PAB ,又DM ⊂平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB ………12分 19．解：（1） 由)(x f 的图象经过)2,0(P ,知2=d …………………………………………1分
所以,2)(2
3
+++=cx bx x x f c bx x x f ++='23)(2
由已知得1)1(,6)1(=-=-'f f
即⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧=+-+-=+-3
3
121623c b c b c b
……………………………………………………5分 所以233)(2
3
+--=x x x x f ………………………………………………………6分 （2） 363)(2
--='x x x f
令,03632
=--x x 即0122
=--x x
解得 21,2121+=-=x x ………………………………………………………8分 当21-<x 或21+>x 时，0)(>'x f
当0)(,2121<'+<<-x f x 时…………………………………………………10分
故233)(23+--=x x x x f 在)2,(--∞内是增函数, 在)21,21(+-内是减函数,
在),21(+∞+内是增函数. …………………………………………………………12分 20．解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则 x 01006051
002
550=+
-=.……………………………………………………………2分 （2）当0100<≤x 时，60=y
当100550<<x 时，50
62)100(02.060x x y -=--= 当x ≥550时，51=y
所以⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≥∈<<-≤<==55051
)(5501005062100060
)(x N x x x x x f y …………………………8分
（3）
)(550115501005022100020)40(2N x x x
x x x x x
x y z ∈⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎨⎧≥<<-
≤<=-= 当x =500时，6000=z ；当x =1000时，11000=z
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元. …………………………………………………12分 21．解：（1）由⎩⎨
⎧=-+=1
31
2
2y x kx y 可得022)3(22=---kx x k ，
因为直线与双曲线有两个不同的交点，所以()
⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-0
3840
32
22
k k k 解之得k ∈)6,3()3,3()3,6( ---……………………………4分
（2）设()()2211,,y x B y x A 、，由⑴得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=
-=+32322212
21k x x k k x x
所以()()()11121212
2121+++=++=x x k x x k kx kx y y …………………………7分
因为以AB 为直径的圆过坐标原点， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x OB OA
即()013
231222
22=+---+k k k k ,解之得1±=k 且1±∈)6,3()3,3()3,6( ---…………………………………10分 所以⎩⎨⎧-=±=+1
12121x x x x ,从而=AB ]4)[(221221x x x x -+10=…………12分 22．解：（1）由题意得()()()0'11=---=+-n n n n a a t a a t f
即()()11-+-=-n n n n a a t a a 2≥n
()1212-=-=-t t t t a a
因为1,0≠≠t t ，所以012≠-a a
所以{}n n a a -+1是以t t -2
为首项，t 为公比的等比数列…………………………4分 （2）由⑴知()
121-+⋅-=-n n n t t t a a
所以=n a ()()()n n n n n t a a a a a a a =+-+⋯⋯+-+----112211………………7分 所以t nt t t a a b n n n n n n ln ln ln === 所以()
t nt t t t S n n ln 3232+⋯⋯+++=① ()t nt t t t tS n n ln 321432++⋯⋯+++=②
①-②得()()t nt t t t t S t n n n ln 1132+-+⋯⋯+++=-
所以()()
t t nt t t t S n n n ln 11112⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+………………………………………………10分 （3）因为10
7-=t ，所以当n 为偶数时0ln <=t nt b n n ；当n 为奇数时0ln >=t nt b n n
所以最大项为奇数项
令⎩⎨⎧≥≥++-+3
2121212k k k k b b b b ()*N k ∈⇒
()()⎪⎩⎪⎨⎧+≥+-≥+2232121212t k k k t k ………………………12分 将10
7-=t 代入得617611≤≤k 因为*N k ∈，所以2=k ，故最大项为第5项…………………………………14分。