外接球的练习题

1.已知直三棱柱111C B A -ABC 的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC=4，AC AB ⊥，1AA =12，则球O 的表面积为------------------------------------------------------()π169
2.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆均在球O 的球面上，则该圆锥的表面积1S 与球O 的表面积2S 的比值为-----------------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛169 3.已知三棱锥ABC -O ，侧棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且OA=OB=OC=2，则以O 为球心且1为半径的球与三棱锥O-ABC 重叠部分的体积为------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛6π 4.已知正方形ABCD 的边长为4，中心为M ，球O 与正方形ABCD 所在的平面相切于M 点，且球过点M 的直径的另一端点为N ，线段NA 与球O 的球面的交点为E ，若E 恰为线段NA 的中点，则球O 的体积为--------------------------------------------------------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛328π
5.已知正方体1111D C B A -ABCD 的棱长为1，点P 是线段11C A 上的动点，则四棱锥P-ABCD 的外接球半径R 的取值范围是-----------------------------------------------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2343
， 6.一个球的球心到过球面上A ，B ，C 的平面的距离等于球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的体积为--------------------------------------------------------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛332π 7.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK=
23，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为 60，则球O 的表面积等于------------------------()π16
8.已知球O 在一个棱长为32的正四面体内，当球O 的体积最大时，球O 的表面积为-----()π2
9.已知四棱锥S-ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于344+，则球O 的体积等于
----------------------------------------------------------------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛328π
10.已知某圆柱形容器的内壁半径是10，一个实心球浸没在容器里的水中，若取出这个球，测得容器的水面下降了3
5，则这个实心球的表面积为---------------------------------()π100 11.已知64个直径都为4
a 的球，记住它们的体积之和为1V ，表面积之和为1S ，一个直径为a 的球，记它的体积为2V ，表面积为2S ，则
的大小关系为与，与2121S S V V ------------()2121S S V V ，=
12.将长，宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A-BCD ，则四面体A-BCD 的外接球的体积为------------------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛6125 13.从M 点出发的三条射线MA ，MB ，MC 之间所成的角均为 60，且分别与球O 相切于点
A ，
B ，
C ，若球O 的体积为332π，则OM 的长为----------------------------------------()
32 14.已知两球1O 和2O 在棱长为1的正方体1111D C B A -ABCD 的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球21O O 和的表面积之和的最小值为-----------------------------------()()π3-23
15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为-------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛34π
16.在三棱锥P-ABC 中，，平面ABC PA ⊥B C AC ⊥，AC=BC=1，PA=3，则该三棱锥外接球的表面积为----------------------------------------------------------()π5
17.已知球O 中有一内接圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的侧面积为π216，则球O 的体积为----------------------------------------------()
π332
18.已知半径为1的球，若以其一条半径为正方体的棱作正方体，则球的表面积位于正方体内部的面积为----------------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛2π 19.三个半径都是10的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端均恰好与碗的上沿处于同一
水平面，则这个碗的半径R 是--------------------------------------------------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+321110 20.已知点A,B,C,D 在同一个球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC 的体积的最大值为3
4，则该球的表面积为-------------------------------------------------------()π9 21.一平面截一球得到直径为52的圆面，球心到这个平面的距离为2，则该球的体积为----()π36
22.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 进行翻折，使翻折后两部分所在的平面互相垂直，
则翻折后形成的空间四面体ABCD 的內切球的半径为------------------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛26-2 23.正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为--------------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛481π 24.已知三棱锥P-ABC 的所有棱长都相等，现沿侧棱PA ，PB ，PC ，将其剪开，展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为62，则三棱锥P-ABC 的內切球的表面积为---------------------------------------------------()π3
25.已知在三棱柱111C B A -ABC 中，ABC AA 1平面⊥，2AA 1=，BC=32，
2BAC ∏=∠此三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，则球的体积为--------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛332π
26.已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为---------------------------------()π3
27.平面α截球O 的球面得到圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6
π，且平面β截球O 的球面得到圆N 。

已知球O 的半径为5，圆M 的面积为π9，则圆N 的半径为---------------()13
28.正四面体的內切球，与各棱都相切的球，外接球的半径之比为-----------------------(
)331：
： 29.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下个半径为6，深为2的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为----------------------------()18 30.点A ，B ，C ，D 在同一球面上，其中AB C ∆是正三角形，ABC AD 平面⊥，AD=2AB=6，则该球的体积为------------------------()
π332 31.已知PA D ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，PA=PD=AB=2，
90APD =∠，若点P ，A ，B ，C ，D 在同一球面上，则该球的表面积为-----------------------------()π12 32.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足0PB PA =•， 0PA PC 0PC PB =•=•，，则三棱锥P-ABC 的侧面积的最大值为---------()18
33.已知球O 的表面积为∏8，A ，B ，C 是球面上的三点，AB=2，BC=1，3ABC ∏=∠，点M 是线段AB 上一点（异于A ，B ），则22MO MC +的最小值为------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛815 34.半径为R 的球的内接正四棱柱的侧面积的最大值是---------------------------()
2R 24 35.已知球面上的四点A ，B ，C ，D 是正四面体的顶点，则A ，B 两点与球心连线的夹角的余弦值为----------------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛31- 36.已知四棱锥P-ABCD 的底面是一个棱长为2的菱形，且 60DAB =∠，各侧面和底面所成
的角均为 60，则该四棱锥的內切球的体积为--------------------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛67π
37.已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为--------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛49π 38.已知一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有的棱长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为--------------------------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛655π
39.一个正方体的內切球1O ，外接球2O ，与各棱都相切的球3O 的半径之比为----------()231：：
40.已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为----------------------()π3
41.若一个长，宽，高分别为4，4，h 的长方体能装下8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则h 的最小值为------------------------------------------------()
272+ 42.已知直三棱柱111C B A -ABC 中，AB=3，AC=4，AC AB ⊥，2AA 1=，则该三棱柱內切球1O 的表面积与外接球2O 的表面积的比值为---------------------------⎪⎭
⎫ ⎝⎛294 43.已知矩形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，且BC=2AB=2，现沿EF 将平面ABEF 折起，使EFDC ABEF 平面平面⊥，则三棱锥A-FEC 的外接球的体积为--------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23π
44.若一个半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值可能为------------()()
R 2-6 45.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，BCD AB 平面⊥，且AB=3，BC=2，BD=4，
60CBD =∠，则球O 的表面积为---------()π25 46.用两个互相垂直的平面去截半径为R 的球，若两个截面圆的半径分别为，，3r 2r 21==两截面圆的圆心距为3d =，则该球的体积为--------------------------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3264π
47.将一铜球放入底面半径为16的圆柱玻璃容器中，水面升高9，则这个铜球的半径为-------------()12
48.在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若AC=AB=AD=2，则平面BCD 被球所截图形的面积为------------------------------------()π3
49.把一个大金属球表面涂漆，共需2公斤油漆，若把这个大金属球溶化制成27个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，则需要用油漆-------公斤-----()6
50.已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若AB=2，CD=2，则四面体ABCD 的体积
最大值为-----------⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛334
51.已知球O 的表面积为∏16，若在球O 内有两个相外切的球，并且这两个球都与球O 相切，若这三个球的球心共线，则球O 内的这两个球的表面积之和的最小值为---------------------()π8
52.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB=6，BC=32，则棱锥O-ABCD 的体积为----------()38
53.半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为-------------------------------------()π32
54.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上。

若圆锥底面面积是这个球的表面积的16
3，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高比值为--------------------------------------⎪⎭⎫
⎝⎛31
55.在三棱锥A-BCD 中，BCD ACD ∆∆与是全等的等腰三角形，且AC=AD ，BCD ACD 平面平面⊥，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为 -------------------⎪⎭⎫
⎝⎛465π
56.在三棱锥ABC -P 中，11AB PC 5AC PB 4BC PA ======，，，则三棱锥ABC -P 的外接球表面积为------------------------()π26
57.在三棱锥ABC -P 中，4B C PA ==，其他棱长均为3，则三棱锥ABC -P 的外接球表面积为------------------------()π17
58.在三棱锥ABC -P 中，所有棱长都为2，则三棱锥ABC -P 的外接球表面积为------------------------()π6
59、已知三棱锥A-BCD 中，AB=BC=AC=2，BD=CD=2，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 上的射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为-----------------⎪⎭⎫ ⎝⎛1160π
（补形的方法求解）
60、已知三棱锥ABC -P 中，2AC AB ==，22BC =，点E 为BC 中点，点P 在平面ABC 内的投影恰好为点E ，6PE =，求ABC -P 的外接球的表面积。

--------⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯91919π 61、已知三棱锥ABC -P 中，2BC 2AC AB ===，，点P 在ABC 内的投影为AB 中点
F ，且2PF =，求ABC -P 外接球的表面积---------------⎪⎭⎫
⎝⎛16113π
62、已知四棱锥ABCD -P 的底面是矩形，平面ABCD PBC 平面⊥，B C PE ⊥于点E ，2PE 3BC 6AB 1EC ====，，，，则四棱锥ABCD -P 的外接球半径为--------()2。

63、已知三棱锥ABC -P 中，AB C PA ⊥，3B C AC AB 4PA ====，，求ABC -P 的
外接球的表面积。

--------()π28
64、已知三棱锥ABC -P 中，AB C PA ⊥，32,2AC AB 4PA ====BC ，，求ABC -P 的外接球的表面积。

--------()π32
65、已知三棱锥BCD -A 中，1CD AC AB ===，2BC =，B C DC ⊥，ABC BCD 平面平面⊥，则BCD -A 的外接球的表面积为-------------()π3
66、
67、
68、
在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,23,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）
A ．323π
B ．16π
C ．253π
D ．312
π 【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.
【答案解析】A 解析 ：解：直三棱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，（如图），
∵ABC 中，2BAC ，∴下底面ABC 的外心P 为BC 的中点，
同理，可得上底面111A B C 的外心Q 为11B C 的中点，
连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC
再取PQ 中点O ，可得：点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等，
∴O 点是三棱柱111ABC A B C -外接球的球心
∵RT POB 中，132BP
BC ，1112PQ AA ， ∴222OB BP PO ，即外接球半径2R ， 因此，三棱柱111ABC A B C -外接球的球的体积为：3344322333V R ． 故选：A ．
【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱111ABC A B C -外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ 的中点．在直角RT POB 中，利用勾股定理算出OB 的长，即得外接球半径R 的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积．
四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的
表面积（ ）
A ．25π
B ．45π
C ．50π
D ．100π
【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.
底面，且以分别x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、
【思路点拨】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．
已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ．
【知识点】球内接多面体．
【答案解析】3解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
∴棱长为2的正四面体的外接球半径为
3
2
．
所以外接球的表面积为
2
3
43
2
，故答案为3.
【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积．
已知正三棱锥P ABC，点P，A，B，C都在半径为3的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。

【答案】3
3
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。

该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱
平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
1.A 根据题意，如图，可知中，，在中，
,又因为平面平面，所以球心就是的中点，半径为，所以球的体积为：．
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．81
4
π
B．16π C．9π D．
27
4
π
【答案】A
【解析】设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
俯视图侧视图
正视图
3 1
1
【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积
【答案解析】16
3
解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高
SO为3，如图：
其中OA=OB=OC=1，SO ⊥平面ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM=x ，则
213x x +=-，得x=
33，∴外接球的半径R=
23
3
，∴几何体的外接球的表面积 S=4π×
43
=163π. 【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.
π18
如图，三棱锥ABC P -中，
90=∠ABC ，它的三视图如下，求该棱锥的
（Ⅰ）全面积；（Ⅱ）内切球体积；（Ⅲ）外接球表面积．
6
4
3
正视图
6
6
3
俯视图
6
4
3
侧视图
P
A
C
B
【知识点】根据 三视图的定义正确读取三棱锥ABC P -中的位置关系和数量关系，几何体内切球半径、外切球半径的求法.
【答案解析】(1) 21248+；(2) 343)24(363π-；(3) 4
289π．
解析 ：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC ，顶点P 在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E ，且高为 4的三棱锥。

侧面PAB 、PAC 的高都是5
，底面斜边长
111
66265448222
⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+： （2）设内切球球心O,半径r ，则由P ABC O ABC O PAB O PAC O PBC V V V V V -----=+++得
(1111
664483232
r ⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯，解得
r=(647,
所以内切球体积为
(3
2884343
π
（3）设外接球球心M ，半径R,M 在高PE 所在直线上，因为
4<所以(
)(2
2
24R R -+=,解得R=
17
4
，所以外接球表面积为4289π。

【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥ABC P -中的位置关系和数量关系，从而求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。

（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。

三棱锥BCD A -的外接球为球，球O 的直径是AD ，且BCD ABC ∆∆,都是边长为1的等边三角形，则三棱锥BCD A -的体积是（ ） A
122 B 81 C 61 D 8
2
【知识点】棱锥的体积
【答案解析】A 解析：因为截面BOC 与直径AD 垂直，而
BO=CO=
2
，所以三角形BOC 为
等腰直角三角形，其面积为
112224
⨯=，而
BCD A -的
体积为113412
⨯
= A 【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形
法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
俯视图
侧视图
正视图
3
1
1
【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积 【答案解析】
163
π
解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC 与底面垂直，高
其中OA=OB=OC=1，SO ⊥平面ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM=x ，则
213x x +=-，得x=
33，∴外接球的半径R=23
3
，∴几何体的外接球的表面积 S=4π×
43
=163π. 【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.
已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为
【答案】C
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时23111
36326
O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为
24144S R ππ==，故选C ．
B
O
A
C
已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A ()B
()
C (
)D 【答案】A
直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若
,，则此球的表面积等于。

解:在中,,可得,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（）
A. B. C. D.。