江西省宜市高三数学考前模拟 文

江西省宜春市2014届高三模拟考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（a－4i）i=b－i，（a，b∈R，i为虚数单位），则复数z=a+bi在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集为R，集合M ={xlx2－2x－8≤0），集合N={x|l－x<0}，则集合M I（CRN）等于（）A．[-2,1] B．（1,+∞）C．[-l,4）D．（1,4]
3．在2014年3月15日，某超市对某种商品的销售量及其售价进行调查分析，发现售价x元和销售量y
售价x 9 9．5 10 10．5 11
销售量y 11 10 8 6 5
由散点图可知，销售量y与售价x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：
y= -3．2x+a，则a=（）
A． -24 B． 35．6 C． 40．5 D． 40
4．已知数列{an}的通项公式为an=3n－2（n∈N+），则a3+a6 +a9+a12+a15=（）A． 120 B． 125 C． 130 D． 135
5。

下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2 =4，则x=2”的否命题为：“若x2 =4，则x≠2”
B．“x=2”是“x2—6x+8=0”的必要不充分条件
C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题
D．命题“存在x∈R，使得x2+x+3>0”的否定是：“对于任意的x∈R，均有
x2 +x+3<0"
6．第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是（）
A．3
5 B．
2
5C．
1
15D．
14
15
7．双曲线
22
169
x y
-
=1的焦点到渐近线的距离为（）
A．2 B．3
C．4 D．5
8．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）
A．（2cm2 B． 21 cm2
C．（2cm2 D． 24 cm2
9．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点
(sin,cos)
88
P
ππ
，则sin（2α－
12
π
）=（）
A．
3
2
-
B．
1
2
-
C．
1
2D．
3
2
10．已知函数f（x）=
3
3
1,03
21,3
og x x
og x x
⎧<≤
⎪
⎨
->
⎪⎩
，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）
A．（
2032
,
33）B．（
19
,11
3） C．（
19
3，12）D．（6，l2）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在题中横线上．
11．执行下图所示的程序框图，若输入A=2014，B=125，输出的A的值是____ ．
12．已知两圆相交于A（1，3）、B（-3，-1）两点，且两圆的圆心都在直线y=mx+n上，则m+n= 。

13．已知直线y=kx是y=1n x－3的切线，则k的值为____ ．
14．已知
a
r
=2，
2
b=
r
3
c=
r
a b c
++=
r r r r
，则a
r
·b
r
+b
r
·c
r
+a
r
·c
r
= 。

15．设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=（
5
2）x，若对任意的x∈[a, a+l]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，则实数a的取值范围是____ 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤．
16．（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
（2b+c）cosA+acosC =0
（I）求角A的大小：
（II）求
2
4
23sin()
23
C
B
π
--
的最大值，并求取得最大值时角B．C的大小．
17．（本小题满分12分）某公司销售A 、B 、C 三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计12
月份共销售1000部手机（具体销售情况见下表）
A 款手机
B 款手机
C 款手机
经济型 200 x y 豪华型 150
160
z
已知在销售1000部手机中，经济型B 款手机销售的频率是0．21．
（I ）现用分层抽样的方法在A 、B 、C 三款手机中抽取50部，求应在C 款手机中抽取多少部？ （II ）若y ≥136，z ≥133，求C 款手机中经济型比豪华型多的概率． 18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a3 =8，a5 +a7=160，{an}的前n 项和为Sn ．
（I ）求an ；
（II ）若数列{bn}的通项公式为bn=（-1）n ·n （n∈N+），求数列{an ·bn}的前n 项和Tn 。

19．（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB=3BC=6，EF =4，BF=CF=AE=DE=2， EF ∥AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且CM =2． （I ）证明：平面BGM ⊥平面BFC ； （II ）求三棱锥F －BMC 的体积V ．
20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22
2
2x y a
b +=1（a >b≥1）的离心率e=3，且椭圆C 上的点到点Q （0,3）的距离最大值为4，过点M （3，0）的直线交椭圆C 于点A 、B ．
（I ）求椭圆C 的方程。

（II ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r
（O 为坐标原点），当3t 的取
值范围．
21．（本小题满分14分）已知函数f（x）=x3+5
2x2+ax+b,g（x）=x3+
7
2x2+ 1nx+b，（a，b为常数）．
（I）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx－5（k为常数），求b的值；
（II）设函数f（x）的导函数为f’（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（III）令F（x）=f（x）－g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．
参考答案 一、选择题：
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8． A 9．D 10．B 二、填空题：
11． 1 12． 1- 13． 4
e - 14． 12- 15． 3
4a ≤-
三、解答题：
16．解：（1）法一：(2)cos cos 0
b c A a C ++=Q 2cos cos cos 0b A c A a C ∴++=，
由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ∴++= ………………2分 即2sin cos sin()0B A C A ++=，sin (2cos 1)0B A ∴+=， ………………4分
在ABC ∆中，sin 0B ≠，2cos 10A ∴+=，即
1cos 2
A =-
又0A π<<，所以
23A π
= …………6分 法二： (2)cos cos 0
b c A a C ++=Q
所以由余弦定理得，()222222
2022b c a a b c b c a bc ab +-+-+⨯
+⨯= ………………2分
化简整理得222a b c bc =++，由余弦定理得222
2cos a b c bc A
=+-………………4分
所以2222
2cos b c bc A b c bc +-=++，即
1cos 2
A =-
又0A π
<<所以
23A π
=…………6分
（2）∵23A π=
，∴3B C π=-，
03C π
<<
． 241cos 23cos sin()23sin()2323C C B B ππ+--=+-32sin()
3C π
=++………8分
∵
03C π<<
，∴2333C π
π
π<+
<
，∴当32C ππ
+=
，
2423cos sin()23C B π--32，此时
6B C π
==
． …………… 12分 17．解：（Ⅰ） 因为0.21
1000x
=，所以210x = ………………2分
所以手机C 的总数为：(),2802101602001501000=+++-=+z y ………………3分
现用分层抽样的方法在在A 、B 、C 三款手机中抽取50部手机，应在C 款手机中抽取手机数为：
14280100050
=⨯（部） ………………5分
为280y z +=，*
,N y z ∈，满足事件133,136≥≥z y 的基本事件有：
(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)共12个
事件A 包含的基本事件为(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，
(147,133)共7个，所以
7()12P A =
即C 款手机中经济型比豪华型多的概率为7
12 ………………12分
18．解： （Ⅰ）设等比数列}
{n a 的首项为1a ，公比为q ，由
3578,160
a a a =+=，
解得
12,2
a q ==．所有
112.n n n a a q -=⋅= ……6分
（Ⅱ）∵(1)n n b n
=-⋅，
2n
n a = ∴
(2)n
n n a b n ⋅=⋅-
∴
231(2)2(2)3(2)(2)n
n T n =⋅-+⋅-+⋅-+
+⋅-L L L L
2341
21(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n +-=
⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-L
相减可得
231
1
(2)[1(2)]3(2)(2)(2)(2)(2)
(2)1(2)n n n n n T n n ++---=-+-+-++--⋅-=-⋅---L
11(2)(31)(2)(31)(2)2
33n n n n ++--+⋅-+⋅-+==-
∴1(31)(2)2
9n n n T ++⋅-+=-
………12分
19． 解：（Ⅰ） 连接FM
2BF CF BC ===Q ，G 为CF 的中点 BG CF ∴⊥，2CM =Q ，4DM ∴=， //EF AB Q ，ABCD 为矩形
//EF DM ∴，又4EF =Q ，EFMD ∴为平行四边形
2FM ED ∴==，FCM ∴∆为正三角形 MG CF ∴⊥，
A
B
C
D
E F
G M
MG BG G =Q I CF ∴⊥面BGM ，CF ⊆Q 面BFC ，∴面BGM ⊥面BFC ………6分 （Ⅱ）11
2
33F BMC F BMG C BMG BMG BMG V V V S FC S ---=+=⨯⨯=⨯⨯，
因为
3
GM BG ==，
22
BM =，所以1
2212
2
BMG S =⨯⨯=，所以
222
33F BMC BMC V S -=⨯=
………………12分
20．解：（Ⅰ）∵
2222
22
3
4c a b e a a -=== ∴224a b = ………………1分 则椭圆方程为22
2214x y b b +=即
22244x y b +=设(,)N x y 则
22(3)NQ x y =+-223(1)412
y b =-+++，当1y =-时，
NQ
有最大值为2
412
b + 解得21b = ∴2
4a =，椭圆方程是2
214x y += ………5分
（Ⅱ）设
1122(,),(,),(,)
A x y
B x y P x y AB 方程为(3)y k x =-
由22
(3)
14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得
()2
2
2214243640
k x
k x k +-+-=．
由
()
()()2
22
2
24414364k
k k ∆=-+⋅-0
>，解得
215k <
．
21222414k x x k +=+，2122364
14k x x k -⋅=
+ ………………7分
∴
()1212,(,)
OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r
则
()
2122124()14k x x x t t k =+=
+,
()
12216()14k
y y y t t k -=+=
+， 由点P 在椭圆上，代入椭圆方程得
22236(14)k t k =+① ………………9分
又由
3
AB <，即
22
1212(1)()43
k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，
将21222414k x x k +=+，2122364
14k x x k -⋅=+，代入得()()228116130k k -⋅+>则2810k ->,
218k >
， ∴211
58k >>
② …………11分，
由①，得
2
2
23614k t k =
+，联立②，解得234t <<
2t <
或2t -<< ………………13分
21．解：（Ⅰ）∵()()21
'37,'111
g x x x g x =++= 所以直线5y kx =-的11k =，当1x =时，6y =，将（1，6）代入327()ln 2g x x x x b =+++，得
3
2b =
． ………………4分 （Ⅱ） ()20'35f x x x a =++ ，由题意知20032
0000350
52x x a x x ax b x ⎧++=⎪
⎨+++=⎪⎩消去a ， 得
32
0005202x x x b +
+-=有唯一解．
令325
()22h x x x x =++，则2
'()651(21)(31)h x x x x x =++=++， ………………6分 所以()h x 在区间11(,),(,)23-∞--+∞上是增函数，在11
(,)
23--上是减函数，
又1117(),()28354h h -=--=-，故实数b 的取值范围是71
(,)(,)
548-∞-⋃-+∞． ………9分
（Ⅲ）22
21()ln ,'()x ax F x ax x x F x x -+=--∴=-
Q
因为()F x 存在极值，所以221
'()0
x ax F x x -+=-=在),0(+∞上有根即方程0122
=+-ax x 在),0(+∞上
有根． ………………10分
0122=+-ax x ,x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=+>=20211221a x x x x
根． ………………12分
2212121212()()()()(ln ln )
F x F x a x x x x x x +=+-+-+
21ln 14222-+-=a a >15ln 2- 所以162>a 满足方程0122=+-ax x 判别式大于零
故所求取值范围为),4(+∞ ………………14分。