高考领航人教数学理总复习 第01章 集合与常用逻辑用语 第2课时含解析

第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
[对应学生用书P4]
【梳理自测】
一、命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二、四种命题及其关系
设a ，b 是向量，针对下列四种命题，填空并判定真假：
A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |
B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |
C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b
D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b
命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”，其逆命题为______，______(真假)，其否命题为______，________(真假)，其逆否命题为________，________(真假)．
答案：D 假 A 假 C 真
◆此题主要考查了下列内容：
1．四种命题
若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若p ⌝，则q ⌝；逆否命题是若q ⌝，则p ⌝． 2．四种命题间的关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、充分条件，必要条件，充要条件
1．若a ∈R，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．(2014·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2012·高考北京卷)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：1.A 2.C 3.B
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)“若p ，则q ”为真命题，记作：p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
(2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作：p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．
【指点迷津】
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：
“若p ，则q ”，则该命题的否命题是“若p ⌝，则q ⌝
”；命题的否定为“若p ，则q ⌝”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p 与q 之间的关系时，要注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
如：a ＝0是“a ·b ＝0”的充分不必要条件，“a ·b ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件．
[对应学生用书P5]
考向一四种命题及其关系
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是( )
A．若a＞b，则2a≤2b B．若2a＞2b，则a＞b
C．若a≤b，则2a≤2b D．若2a≤2b，则a≤b
(2)(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数( )
A．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞b
B．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＜b
C．若e a－2a＝e b－3b，则a＞b
D．若e a－2a＝e b－3b，则a＜b
【审题视点】(1)根据否命题的定义改写．
(2)利用逆否命题真假关系判定．
【典例精讲】(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”．
(2)通过逆否命题判断真假．
当0＜a≤b时，显然e a≤e b，且2a≤2b＜3b，∴e a＋2a＜e b＋3b，即e a＋2a≠e b＋3b成立，所以它的逆否命题：若e a＋2a＝e b＋3b，则
a＞b成立，故A正确，B错误；当0＜a≤b时，由e a≤e b，2a＜3b，知e a－2a与e b－3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误．【答案】(1)C(2)A
【类题通法】在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．
1．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；
④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；
⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．
其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．
解析：①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”
是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．
答案：②③⑤
考向二充分条件与必要条件的判定
(1)(2014·济南市高考模拟)设x∈R，则“x2－3x＞0”是“x＞4”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2014·福建省普通高三质量检查)已知向量a＝(m2，4)，b ＝(1，1)，则“m＝－2”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【审题视点】(1)从解不等式x2－3x＞0入手，求x的取值，寻找推导关系．
(2)从判断a∥b的条件入手，寻找推导关系．
【典例精讲】(1)由x2－3x＞0，得x＞3或x＜0，此时得不出x＞4，但当x＞4时，不等式x2－3x＞0恒成立，所以正确选项为B.
(2)依题意，当m＝－2时，a＝(4，4)，b＝(1，1)，所以a＝4b，a∥b，即由m＝－2可以推出a∥b；当a∥b时，m2＝4，得m＝±2，所以不能推得m＝－2，即“m＝－2”是“a∥b”的充分而不必要条件．
【答案】 (1)B (2)A
【类题通法】 命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．
(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
2．(2012·高考上海卷)对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.分别判断条件的充分性、必要性是否成立．
∵mn ＞0，∴⎩⎨⎧m ＞0，n ＞0或⎩⎨⎧m ＜0，n ＜0，
当m ＞0，n ＞0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，但m ＜0，n ＜0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn ＞0，所以“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
考向三 充分、必要、充要条件的应用
已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 C ．[－1，2] D.⎝
⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 【审题视点】 q ⌝的充分不必要条件是p ⌝
，等价于p 是q 的必要不充分条件，化简p 和q 后，借助集合间的包含关系即可求得a 的范围．
【典例精讲】 由4x －1≤－1，即4
x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3
x －1≤0，
解得－3≤x ＜1；
由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0，
由q ⌝
的一个充分不必要条件是p ⌝，可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，
即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x
取
值集合的真子集．
设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，
则⎩⎨⎧f （－3）＝－a 2＋a ＋6＞0f （1）＝－a 2
＋a ＋2≥0， ∴⎩⎨⎧－2＜a ＜3－1≤a ≤2
， ∴－1≤a ≤2，故选C.
【答案】 C
【类题通法】 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p ⌝是q ⌝的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
3．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )
A ．－1＜a ＜6
B ．－1≤a ≤6
C ．a ＜－1或a ＞6
D ．a ≤－1或a ≥6
解析：选B.设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ，
则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．
因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，
即⎩⎨⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B.
[对应学生用书P6]
充分、必要条件的判定方法
(2013·高考陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【正解】①弄清题目中谁是条件，谁是结论：
条件是“|a·b|”＝|a||b|，
结论是“a∥b”．
解题目标是什么？判定
|a·b|＝|a||b|⇒a∥b还是a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.
②探究转化关系
一方面：由|a·b|＝|a||b|，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a与b的关系．
另一方面：由a∥b，计算|a·b|
解答过程
若|a·b|＝|a||b|，
若a，b中有零向量，显然a∥b；
若a，b均不为零向量，则
|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，
∴|cos〈a，b〉|＝1，
∴〈a，b〉＝π或0，
∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b.
若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，
∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，
其中，若a，b有零向量也成立，
即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.
综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
【答案】 C
【回归反思】①此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面．
②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b|＝|a|·|b|⇒a∥b后，还要探究a∥b⇒|a·b|＝|a||b|，结合充要条件的概念，才能正确作答．
1．(2013·高考湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.利用集合间的关系转化．
设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，
∴A⊆B，即当x0∈A时，有x0∈B，反之不一定成立．因此“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．
2．(2013·高考天津卷)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的1
2
，则其体积缩小到原来的
1
8
；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1
2
相切．
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C.对各个命题逐一进行判断，得出结论．
对于命题①，设球的半径为R，则4
3π
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫R
2
3
＝1
8
·4
3
·πR3，故体积缩小
到原来的1
8
，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则
它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数
相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝1
2
的圆
心(0，0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22
，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
3．(2013·高考山东卷)给定两个命题p ，q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.借助原命题与逆否命题等价判断．
若p ⌝是q 的必要不充分条件，则q ⇒p ⌝但p ⌝⇒/ q ，其逆否命题
为p ⇒q ⌝
但q ⌝⇒/ p ，∴p 是q ⌝的充分不必要条件． 4．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.先解一元二次方程(2x －1)x ＝0，再利用充分条件、必要条件的定义判断．
当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12
，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．。