边缘分布

X ～ N (0, 1) ; Y ～ N (0, 1) .
y2 1 同理 fY ( y ) e 2 , y . 2
1 x2 y2 f ( x, y) e 2 ( 1 sin x sin y ), x , y , 2
但反之不真
小结
X 与Y 的联合分布 F ( x, y ) P{ X x, Y y }
P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 )
联合 分布 函数

1 e 2 2 1
x 2 2 xy y 2 2(1 2 )

dy
e 2
x2 2



1 e 2 1
x2 2
( y x )2 2 ( 1 2 )
dy
令
y x 1
2
t ,得:
e f X ( x) 2

题
fY ( y )
y 6dx ， 0 y 1 ; f ( x, y )dx 0, 其他.
y
y
y=x
x y
1
y=x2
0
x
13
例3
(1) 求(X,Y)的边缘密度函数 f X ( x ), fY ( y ) ; (2) P{ ( X ,Y ) A } ,其中A为区域: { x y a , x 0, y 0 }
x2 a2
x2 y2 1 设(X,Y)服从椭圆域 a 2 上的均匀分布,求 b2

同理可得 2

x2 a2
0,
y b; y b.
a
| x| a ，
X 与Y 不服从 均匀分布
a x
y b
2 1 x2 a
y2 fY ( y ) b 1 b 2 , 0,
Y的边缘分布律:
1 1 1 13 , j=0 4 6 8 24 p·= j 1 1 1 11 , j=1 4 8 12 24
或直接在表格上: Y 0
1
X
0
1
2
p· j
13/24 11/24
1/4 1/6 1/8
1/4 1/8 1/12 1/2 7/24 5/24
i
pi·
p



e
t2 2
dt
e
x2 2
2



1 e 2
t2 2
dt
1 e 2 同理,得: fY ( y )
x2 2
1 e 2
y2 2
可见, (X,Y)～N(1,2,12,22,) X~N(1 ,12), Y~N(2 ,22)
说明 (X1 ,X2 )∼N(1,2, 1 , 2 ,) 2 2 X1 ∼ N ( 1 , 1 ) X2 ∼ N ( 2 , 2 ) (与参数无关)
FY (y)= F(+,y表所决定:
Y

y1
p11
y2

yj
p1 j

pi.

X
x1
x2

p12
p22

p1.
p2.

p21

p2 j





xi

pi1

pi 2


pij

pi .


p. j
p.1
p.2
i
p. j
1
即 pi. 是联合分布律表中 x 所在行的概率之和
1 , x 2 y 2 1; 2 解 (1) 由题知(X,Y )的概率密度为 f ( x , y ) a b a b 2 2 其它 , 1 b 1 1 x 2 ;dy | x | a ; 0 , b , y a f X ( x) f ( x , y )dy a 1 a 2b
离散型 —— 联合分布列 P{ X x , Y y } p i j ij F ( x, y ) P{ X x , Y y } pi j
xi x , y j y
i , j 1, 2,
连续型 —— 联合概率密度 f ( x , y ) y x F ( x , y ) f ( u, v )dudv 2 F ( x , y )
j 1

=pi·
同理: P{Y y j } pij =p· j
i 1

分别称pi· (i=1,2,…)和p· (j=1,2,…) j 为X和Y的边缘分布律
点· 表示 pij 对于该点所在位置的变量求和
另有: FX (x)= F(x,+)
xi x j
p
i yj y
ij

2 x 2 2 x , 0 x 1 3 0, 其它 fY ( y ) f ( x, y )dx 1 2 ( x 1 xy)dx , 0≤y≤2 0 3 =
在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一 个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积 分时应特别注意积分限 .
20
A
-a
0
a x
2 y b 1 x2 a
(2) P{ ( X ,Y ) A } f ( x, y)dxdy 0 dx0
1 dy a a 2 b . ab
0
y
x+y =a G a
二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的
x
二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布
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二维正态分布的边缘分布仍是正态
解 (X,Y)关于X的边缘分布函数
FX ( x) F ( x, ) lim F ( x, y )
y
lim [1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) ] x 0 1 e 0.5 x x 0 y x0 x 0 0 0
FY ( y ) F ( , y ) .
反之?
由边缘分布一般不能确定联合分布
2
例: 设 ( X , Y ) 的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) x 0, y 0 F ( x, y ) . 其它 0
求 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布函数 FX ( x) .
非负性 规范性
f ( x, y)
G
xy P{ ( x , y )G } f ( x , y )dxdy
1
§3.2
（X,Y）
整体地看
边缘分布
联合分布F(X,Y)
二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值 及其概率规律. 但作为一维随机变量, X, Y 也有自己的分布函数.

f ( x , v )dx]dv
(X,Y )关于Y 的边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x , y )dx
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例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为
x 2 1 xy, 0 x 1,0 y 2 3 f ( x, y) 0, 其它
求: X和Y的边缘概率密度 解: f X ( x ) f ( x, y)dy 2 2 ( x 1 xy)dy , 0≤x≤1 0 3 = 其它 0,
j
ij
1
三、连续型二维随机变量的边缘概率密度 X 和Y 的联合分布函数为F(x,y ),
则(X,Y )关于X 的边缘分布函数为 x y x FX ( x ) [ +) ,ylimdy](du y ) ylim f ( u, v )dudv = F(x, f ( u F x , y)
2 2
对于确定的1,2,1,2 ,当不同时，对应 了不同的二维正态分布。
对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了 单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.
18
例5 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求边缘密度函数 f X ( x ), fY ( y ) . 1 x2 y2 y2 解 f X ( x ) f ( x , y )dy e 2 (e 2 e 2 sin x sin y )dy 2 1 x2 y2 1 x2 e 2 e 2 dy e 2 , x ; 2 2
1 1 y, 0 y 2 3 6 0, 其它
0,
其它
解
设(X,Y )的概率密度是 分段函数积分应注意其表达式 6 , x 2 y x , 0 x 1; f ( x, y) 求边缘密度. 0, 其它 , x x 2 6 dy , 0 x 1 ; f X ( x ) f ( x , y )dy 0, 其他.
x 则(X,Y x [ Xt ) dtu, y )dy] du )关于X(的边缘概率密度为 FX ( x ) f f (
f X ( x ) f ( x , y )dy

(X,Y) 关于Y 的边缘分布函数为
FY ( y ) [
y

p. j 是联合分布律表中 y j 所在列的概率之和
6
例1 设(X,Y)的分布律如下: Y
0 1
X
0
1
2
1/4 1/6 1/8 1/4 1/8 1/12
求 X和Y的边缘分布律
解: X的边缘分布律: 1 1 1 , i=0 4 4 2 pi· 1 1 7 , i=1 =
6 8 24 1 1 5 , i=2 8 12 24
分布
例4 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率 密度为: 1
1 f ( x, y) e 2 2 1
2 ( 1 2 ) ( x 2 2 xy y 2 )
<x<+, <y<+, 求: X和Y的边缘概率密度
解: f X ( x ) f ( x, y)dy
即 X 服从参数λ =0.5 的指数分布.
3
二、二维离散型随机变量的边缘分布
二维离散型随机变量(X,Y)的分布律 为: P{X=xi,Y=yj}=pij (i, j=1,2,…) 则: P{X=xi}=P{X=xi,Y<+}
P{ X xi , Y y j }
j 1
pij
转化为一维 时的情形
X Y
局部地看
FX(x ) FY(y )
分别称为(X,Y) 关于X和Y的 边缘分布函数
问题：二者之间有什么关系吗?
( F x, y) FX ( x ) F{ x,)} P{ X x, Y } yFx ,() P( X x ;
由联合分布可以确定边缘分布 lim
二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的
二维正态分布性质
正态分布的联合分布未必是正态分布
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X与Y之间的关系这个信息是包含在 (X,Y)的联合概率密度函数之内的. 在下一章将指出,对于二维正态分布而 言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程 度. 因此,仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘 分布), 一般不能确定(X,Y)的概率密度函数 (或概率分布)