中考复习一(动点问题)

数学中考复习一
（动点问题）
1、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA === ，，∠，
点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．
（1）求点B 的坐标；
（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且5
8BD AB =，求这时点P 的坐标．
2、如图，等边三角形ABC 的边长为8，点P 由点B 开始沿BC 以每秒1个单位长的速度作匀速运
动，到点C 后停止运动；点Q 由点C 开始沿C-A-B 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B 后停止运动.若点P ，Q 同时开始运动，运动的时间为t(秒)(t ＞0). （1）指出当t ＝4秒时，点P,Q 的位置，此时直线PQ 有何特点？ （2）当点Q 在AC 边上运动时，求△PCQ 的面积S 1与t 的函数关系式.
（3）当点Q 在AB 边上运动时（点Q 与点B 不重合），求四边形PCAQ 的面积S 2与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围.
3、半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 : 3，点P 在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
(l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
(2）当点P运动弧AB到的中点时，求CQ的长；
(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．
4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线
段OC上，OD=2CD．
(1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、
Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
数学中考复习一
（动点问题）
参考答案：
1、解：（1）过B 点作BE OA ⊥，垂足是点E ， 四边形OABC 是等腰梯形，
60OC AB
BAO COA ∴===
，∠∠， 在Rt BAE △中，
s i n 60c o s 604
B E A E AB AB AB
===
，，，
1
44222
BE AE ===⨯=． 725O E O A A E =-=-=，B ∴
点的坐标(5，，
（2）①当P 点是在x 轴的正半轴上，
60COA = ∠ ，OCP △为等腰三角形，
O C P ∴△为等边三角形．
4O C O P P C ∴===
， P ∴点的坐标为(40)，
②当点P 是在x 轴负半轴上，有OP=OC=4， P ∴点的坐标为(40)-，， 所以，点P 的坐标为(40)，
或(40)-，。

（3）58BD AB =
，且3
42
AD BD AB AB AD +==∴=，，． 60CPD OAB COA ===
∠∠∠，
1201806012O C P
C P O C P O A P
D +=+=-=
，∠∠∠∠，
O C P
D P A =∠∠． O C P
A P D ∴△∽△
x
O P O C A D A P
∴
=，设7OP x AP x ==-，，即4
372
x x =-．
21276016x x x x -+===，，
这时P 点的坐标(10)(60)，，，．
2、解：（1）当t ＝4秒时，点P 为BC 的中点,点Q 与点A 重合，
此时直线PQ 是△ABC 的对称轴（或者说：线段PQ 是△ABC 中BC 边上的高、中线、角平分线）（任说一种即可）如图
(1)
，作QD ⊥BC,垂足为D,则∴2
1(82PCQ s t =
-=+ (3)如图(2)，作QE ⊥BC,AM ⊥BC,垂足为分别为E 、M,则. ∴ABC QBP S S S =- 四边形PCAQ
=
18)2t ⨯⨯⨯⨯1
－2
=
2
2
t -+ 自变量t 的取值范围4＜t ＜8
3、解：( l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D.
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=900
. ∴AB=5,AC:CA=4:3, ∴BC=4, AC=3. 由△ACD ∽△ABC 得AC ·BC=AB ·CD
∴ 1224,.55
CD PC =
= 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ=900
, ∠CAB ＝∠CPQ ， ∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ
图（1） B
∴
432
,.35
AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ==== (2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）. ∵P 是弧AB 的中点，
∴0
45,2
PCB CE BE BC ∠===
= 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=
43
∴3,tan 42BE PE BE CPB =
==∠而从2
PC PE EC =+=
由（l ）得，433
CQ PC =
=
(3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4
.3
BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值．
当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为
20
3。

4、解：(1)解方程x 2
-18x+72=0得x 1=6，x 2=12，∵0A<OB ，则OA=6，OB=12 ，
∵ 点C 是线段AB 的中点，∴ OC=AC ，
作CE ⊥x 轴于点E ． 则CE ∥OB ， ∴ OE=12OA=3，CE=1
2
OB=6．
∴ 点C 的坐标为(3，6)
(2)作DF ⊥x 轴于点F ，则DF ∥CE ，
∴ △OFD∽△OEC，∴OC OD OD OC =CE DF =OE
OF ，又∵ OD OC =2
3，于是可求得OF=2，DF=4．
∴ 点D 的坐标为(2，4)
（2） 设直线AD 的解析式为y=kx+b ． 把A(6，0)，D(2，4)代人得6024k b k b +=⎧⎨
+=⎩
解得1
6k b =-⎧⎨=⎩
∴ 直线AD 的解析式为y=-x+6
(3)存在．
Q 1(-32，32)， Q 2(32，-32)，Q 3(3，-3) ，Q 4(6，6)。