2021-2022学年湖南省名校联合体高三(上)联考数学试卷(10月份)

2021-2022学年湖南省名校联合体高三（上）联考数学试
卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知全集为R ，集合A ={x|0<x <1}，B ={x|x >3}，则( )
A. A ⊆B
B. B ⊆A
C. A ∪B =R
D. A ∩(∁R B)=A
2. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=1，a 4+a 5=−8，则a 7+a 8
a
5+a 6
=( )
A. −8
B. −4
C. 2
D. 4
3. 复数
(1−i)21+i
=( )
A. 1−i
B. 1+i
C. −1−i
D. −1+i
4. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π
3，a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ −2b ⃗ |=( )
A. 2√3
B. 0
C. √6
D. 2
5. 函数f(x)=(x 2−2x)e x 的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗
|AC|=12
，则△ABC 的形状是( )
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 等腰(非等边)三角形
D. 等边三角形
7. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据
建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=
K 1+e −0.23(t−53)
，其中K 为最大确诊病例数．当I(t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫
情，则t ∗约为( )(ln19≈3)
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69
8. 在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S △BCD
S △ACD
=( )
A. 1
2
B. 1
6
C. 1
3
D. 2
3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，则( )
A. |a ⃗ |=|b ⃗ |
B. (a ⃗ −b ⃗ )//b ⃗
C. (a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗
D. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π
4
10. 下列命题错误的是( )
A. 命题“∃x 0∈R ，x 02
+1>3x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 2+1>3x ”
B. 函数“f(x)=cosax −sinax 的最小正周期为π”是“a =2”的必要不充分条
件
C. x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]时有解⇔(x 2+2x)min ≥(ax)min 在x ∈[1,2]时成立
D. “平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ⃗ ⋅b ⃗ <0” 11. 有下面四个不等式，其中恒成立的有( )
A.
a+b 2
≥√ab
B. a(1−a)≤1
4 C. a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca
D. b
a +a
b ≥2
12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，下列说法正确的是( )
A. 若S n =(n +1)2，则{a n }是等差数列
B. 若S n =2n −1，则{a n }是等比数列
C. 若{a n }是等差数列，则S 2n−1=(2n −1)a n
D. 若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 成等比数列
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知a n =lg
n+1n
(n ∈N ∗)，若数列{a n }的前n 项和S n =1，则n =______．
14. 已知函数f(x)=1
3x 3+mx 2+nx +1的单调递减区间是(−3,1)，则m +n 的值为
______．
15. 已知对任意平面向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，把AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ，已知平面内点A(−3
2√3,2√3)，B(4−3
2√3,3+2√3)，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π
3后得到点P ，则点P 的坐标为______．
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A−C=π
，a，b，c成等差，
2
则cosB的值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S=
√3
(a2+b2−c2).
4
(1)求角C的大小；
(2)求sinA+sinB的最大值．
18.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x
−24x+2000，已知此生产线的年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为y=x2
5
最小为60吨，最大为110吨．
(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；
(2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，
可以获得最大利润？并求最大利润．
19.已知在数列{a n}中，a1=3，a n=a n−1+2n−1(n≥2)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
}的前n项和T n．
(2)设b n=log2(a n+1−1)，求{1
b n b n+1
20.已知函数f(x)=xlnx+(1−a)x+a．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若对任意x∈(0,1)，不等式f(x)>0恒成立，求正整数a的最小值．
21.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ
2
)−1(0<φ<π)为奇函数，且f(x)
图象的相邻两对称轴间的距离为π
2
．
(1)求f(x)的解析式与单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π
6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的1
2
(纵坐标不
变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π
12,π
6
]时，求函数g(x)的值域．
22.已知函数f(x)=e x−1
2
x2−ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)如果函数g(x)=f(x)−(a −1
2)x 2恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：x 1+x 2
2<
ln2a ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A 中，由子集的定义可得集合A 不是集合B 的子集，故A 错误； B 中，由子集的定义可得集合B 不是集合A 的子集，故B 错误； C 中，A ∪B =(0,1)∪(3,+∞)≠R ，故C 错误；
D 中，由B ={x|x >3}，得∁R B ={x|x ≤3}，A ∩∁R B =A ，故D 正确． 故选：D ．
由集合的包含关系即可判断选项A ，B ，由并集运算即可判断选项C ；由补集和交集运算即可判断选项D ．
本题主要考查集合包含关系的判断，交、并、补集的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查等比数列的通项公式，重点是考查学生对等比数列性质的灵活应用的能力，属于基础题．可设{a n }的公比为q ，利用a 1+a 2=1，a 4+a 5=−8，可求得q ，从而可求得a 5+a 6与a 7+a 8． 【解答】
解：设{a n }的公比为q ，
∵a 1+a 2=1，a 4+a 5=q 3(a 1+a 2)=−8， ∴q =−2，
∴a 7+a 8a 5
+a 6
=a 7(1+q )
a 5
(1+q )=q 2=4．
故选D ．
3.【答案】C
【解析】解：复数(1−i)21+i
=
1−2i+i 21+i
=−2i 1+i =−2i(1−i)
(1+i)(1−i)
=
−2i+2i 21−i 2
=−1−i ．
故选：C ．
利用复数的运算法则直接求解．
本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于基础题．
根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案．
【解答】
解：∵平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为π
，a⃗=(2,0)，|b⃗ |=1，
3
∴|a⃗|=2，
|a⃗−2b⃗ |2=|a⃗|2+4|b⃗ |2−4a⃗⋅b⃗ =4+4−4×2×1⋅cosπ
=4，
3
∴|a⃗−2b⃗ |=2，
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：因为f(0)=(02−2×0)e0=0，排除C；
因为f′(x)=(x2−2)e x，解f′(x)>0，
所以x∈(−∞,−√2)或x∈(√2,+∞)时f(x)单调递增，排除B，D．
故选：A．
本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f(0)=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的图象等基础知识，考查了排除法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于基础题．
先根据(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|+AC
⃗⃗⃗⃗⃗
|AC|
)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0判断出∠A 的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【解答】
解：∵(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB|+AC ⃗⃗⃗⃗⃗
|AC|)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB|，AC
⃗⃗⃗⃗⃗
|AC|
分别为单位向量， ∴∠A 的角平分线与BC 垂直， ∴AB =AC ，
∵cosA =AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|=1
2， ∴∠A =π3
，
∴∠B =∠C =∠A =π
3，
∴三角形为等边三角形． 故选：D ．
7.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题． 根据所给材料的公式列出方程K
1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，即可得解． 【解答】
解：由已知，I(t)=K
1+e −0.23(t−53)，当I(t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情， 可得K
1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，解得e −0.23(t∗−53)=1
19， 两边取对数有−0.23(t ∗−53)=−ln19≈−3， 解得t ∗≈66， 故选：C ．
8.【答案】C
【解析】解：由已知，在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 点D 在AB 边的中位3线上，且为靠近BC 边的三等分点处， 从而有S △ABD =1
2S △ABC ，
S △ACD =1
3S △ABC ，
S △BCD =(1一12一13)S △ABC =1
6S △ABC ， 所以S △BCD
S
△ABD
=1
3
故选：C ．
利用三角形以及向量关系，求解三角形面积即可． 本题考查了向量的关系，面积公式，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】 【分析】
本题考查了根据向量的坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
可以求出|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=√2，从而判断A 错误；容易得出(a ⃗ −b
⃗ )⋅b ⃗ =0，从而判断B 错误，C 正确；可以求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√2
2
，从而判断D 正确．
【解答】
解：∵|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=√2，∴A 错误；
a ⃗ −
b ⃗ =(1,−1)，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =1−1=0，∴(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴B 错误，C 正确； ∵cos <a ⃗ ,b
⃗ >=a
⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b
⃗ |=
2√2
=
√2
2
，且0≤<a ⃗ ,b ⃗ >≤π，
∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π
4，∴D 正确． 故选：CD ．
10.【答案】ACD
【解析】解：对A ：命题“∃x 0∈R ，x 02
+1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1>3x ，
故A 错误；
对B ：由函数f(x)=cosax −sinax =√2cos(ax +π
4)，则T =|2πa
|=π，则a =±2，故
B 正确；
对C ：a =2时，x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立，而(x 2+2x)min =3<(2x)max =4，故C 错误；
对D，当“a⃗⋅b⃗ <0”时，平面向量a⃗与b⃗ 的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a⃗与b⃗ 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a⃗⋅b⃗ <0”，故D错误．
故选：ACD．
A，命题“∃x0∈R，x02+1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；
B，由函数f(x)=cosax−sinax的最小正周期为π⇒a=±2；
C，令a=2则可判真假；
D，当“a⃗⋅b⃗ <0”时，平面向量a⃗与b⃗ 的夹角是钝角或平角．
本题考查了命题真假的判定，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，若a<0，b<0，a+b
2
≤−√ab，当且仅当a=b时等号成立，故A 错误；
对于B，a(1−a)≤(a+(1−a)
2)2=1
4
，当且仅当a=1−a，即a=1
2
时等号成立，故B正
确；
对于C，a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，
所以2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时等号成立，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac，故C正确；
对于D，若a，b异号，则b
a +a
b
≤−2，当且仅当a=−b时等号成立，故D错误．
故选：BC．
利用基本不等式分别验证选项即可得结论．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：当S n=(n+1)2时，a1=S1=4；a n=S n−S n−1=(n+1)2−n2=2n+ 1(n≥2)，
a1=4不满足上式，所以数列{a n}不是等差数列，选项A错误；
当S n=2n−1时，a1=S1=1；a n=S n−S n−1=2n−1−(2n−1−1)=2n−1，
且a1=1满足上式，所以此时数列{a n}是等比数列，选项B正确；
根据等差数列的性质可知：S2n−1=2n−1
2(a1+a2n−1)=2n−1
2
⋅(2a n)=(2n−1)a n；故
选项C 正确；
当a n =(−1)n 时，{a n }是等比数列，而S 2=−1+1=0，S 4−S 2=0，S 6−S 4=0，不能构成等比数列，选项D 错误． 故选：BC ．
根据a n =S n −S n−1(n ≥2)；a 1=S 1即可判断选项A 、B ；根据等差数列的性质易判断选项C ；易举反例a n =(−1)n 进行判断选项D ．
本题考查等差数列的性质，等比数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
13.【答案】9
【解析】解：数列{a n }满足a n =lg n+1n
(n ∈N ∗)，
整理得：a n =lg(n +1)−lgn ，
所以：S n =a 1+a 2+...+a n =lg2−lg1+lg3−lg2+...+lg(n +1)−lgn =lg(n +1)=1， 即n +1=10， 整理得：n =9． 故答案为：9．
直接利用数列的递推关系和裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：f′(x)=x 2+2mx +n ， ∵f(x)的单调递减区间是(−3,1)，
∴{f′(−3)=9−6m +n =0f′(1)=1+2m +n =0，解得{m =1n =−3，
∴m +n =−2． 故答案为：−2．
对函数f(x)求导，依题意可知，f′(−3)=0且f′(1)=0，由此可求得m ，n 的值，进而得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】(2,3
2)
【解析】解：由题知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4cos(−π3)−3sin(−π3),4sin(−π3)+3cos(−π
3
))，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+3√32
,−2√3+32
)， 设P(x,y)，则{x −(−3√32)=2+3√3
2y −2√3=−2√3+32，解得x =2，y =3
2
． 故答案为：(2,3
2).
根据题意先求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标形式，再通过方程组求出P 点坐标． 本题考查平面向量的坐标表示，属于基础题．
16.【答案】3
4
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A −C =π
2， ∴A =π−B −C =π−B −(A −π
2)，
∴A =
3π4−B
2
∵a ，b ，c 成等差， ∴2b =a +c ，
即2sinB =sinA +sinC =sinA +sin(A −π
2)=sinA −cosA =√2sin(A −π
4)=√2sin(π
2−B
2)=√2cos B
2， ∴4sin B
2cos B
2=√2cos B
2，
∴sin
B 2=√24
∴cosB =1−2sin 2B
2=1−2×(√
2
4)2=3
4，
故答案为：3
4．
先根据三角之和以及A −C =π
2，可得A =
3π4
−B
2，再根据等差数列的性质和正弦定理可
得2sinB =sinA +sinC ，再根据三角函数的化简可得sin B
2=√2
4
，再根据二倍角公式即
可求出．
本题考查了三角函数的化简和正弦定理，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】(Ⅰ)解：由题意可知1
2absinC=√3
4
×2abcosC．
所以tanC=√3．
因为0<C<π，
所以C=π
3
；
(Ⅱ)解：由已知sinA+sinB
=sinA+sin(π−C−A)
=sinA+sin(2π
3
−A)
=sinA+√3
2cosA+1
2
sinA=3
2
sinA+√3
2
cosA=√3sin(A+π
6
)≤√3．
当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是√3．
【解析】(1)根据三角形的面积公式题中所给条件可得S=√3
4(a2+b2−c2)=1
2
absinC，
可求出tanC的值，再由三角形内角的范围可求出角C的值．
(2)根据三角形内角和为180°将角AB转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．
本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力．
18.【答案】解：(1)由题意可得y
x =x
5
+200
x
−24，x∈[60,110]，
y x =x
5
+200
x
−24≥2√x
5
⋅2a
x
−24=16，
当且仅当x
5=2000
x
是，即x=100取“=”号，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元．
(2)设利润为L(x)，则L(x)=24x−(x2
5−24x+200)=−1
5
(x−120)2+880，
又∵60≤x≤110，∴当x=100时，L(x)max=860．答，年产量为110吨时，最大利润为860万元．
【解析】(1)由题意可知，平均成本等于总成本除以产量，列出代数式即可解出；(2)设利润为L(x)，则列出利润的表达式，即可解出．
本题考查了函数模型的实际应用，函数最值得解法，学生的数学运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由a n=a n−1+2n−1，得a n−a n−1=2n−1(n≥2)，
所以a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1=3+21+ 22+⋯+2n−1=3+2(1−2n−1)
1−2
=2n+1(n≥2)，
又a1=3满足上式，所以a n=2n+1；
(2)由(1)可知b n=log2(a n+1−1)=log22n+1=n+1，则1
b n b n+1=1
(n+1)(n+2)
=1
n+1
−
1
n+2
，
所以T n=1
2−1
3
+1
3
−1
4
+⋯+1
n+1
−1
n+2
=1
2
−1
n+1
=n−1
2n+2
．
【解析】(1)由a n=a n−1+2n−1，得a n−a n−1=2n−1(n≥2)，从而运用累加法即可求出{a n}的通项公式；
(2)由(1)可知b n=log2(a n+1−1)=log22n+1=n+1，则1
b n b n+1=1
(n+1)(n+2)
=1
n+1
−
1
n+2
，从而利用裂项相消求和法即可求出T n．
本题考查累加法求数列的通项公式，裂项求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx+x，导数为f′(x)=2+lnx，
所以切线的斜率为f′(1)=2，又f(1)=1，
所以切线的方程为y−1=2(x−1)，即为2x−y−1=0；
(2)当0<x<1时，f(x)>0，整理可得a>xlnx+x
x−1
，
令g(x)=xlnx+x
x−1，则g′(x)=
x−lnx−2
(x−1)2
，
令ℎ(x)=x−lnx−2，则ℎ′(x)=1−1
x
，由ℎ′(x)=0，可得x=1，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，
因为ℎ(1)=−1<0，ℎ(1
e2)=1
e2
−ln1
e2
−2=1
e2
>0，
所以ℎ(x)在(0,1)存在一个零点x0，
此时ℎ(x0)=x0−lnx0−2=0，即lnx0=x0−2，
所以当0<x<x0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)递增；当x0<x<1时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，g(x)递减，
所以g(x)有最大值g(x0)=x0lnx0+x0
x0−1=x0(x0−2)+x0
x0−1
=x0，所以a>x0，
因为x0∈(0,1)，所以正整数a的最小值为1．
【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线的方程；
(2)根据条件构造函数g(x)=xlnx+x
x−1
，判断g(x)的单调性，结合零点存在定理，求出g(x)的最大值，进而得到正整数a的最小值．
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】．
解：(1)由题意，函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ
2
)−1
=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π
6
)
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π
2
，
所以T=π，可得ω=2，
又由函数f(x)为奇函数，
可得f(0)=2sin(φ−π
6
)=0，
所以φ−π
6
=kπ,k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=π
6
，
所以函数f(x)=2sin2x，
令π
2+2kπ≤2x≤3π
2
+2kπ,k∈Z，
解得π
4+kπ≤x≤3π
4
+kπ,k∈Z，
可函数f(x)的递减区间为[π
4+kπ,3π
4
+kπ],k∈Z，
再结合x∈[−π
2,π
4 ]，
可得函数f(x)的减区间为[−π
2,−π
4
]．
(2)将函数f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度，
可得y=2sin(2x−π
3
)的图象，
再把横坐标缩小为原来的1
2
，
得到函数y=g(x)=2sin(4x−π
3
)的图象，
当x∈[−π
12,π
6
]时，4x−π
3
∈[−2π
3
,π
3
]，
当4x−π
3=−π
2
时，函数g(x)取得最小值，最小值为−2，
当4x−π
3=π
3
时，函数g(x)取得最大值，最小值为√3，
故函数g(x)的值域[−2,√3]．
【解析】(1)利用三角恒等变换的公式，化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式，进而求得函数的增减区间；
(2)利用函数f(x)=Asin(wx+φ)的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数的值域；
(3)由方程g(x)=4
3，得到sin(4x−π
3
)=2
3
，根据x∈[π
6
,4π
3
]，求得4x−π
3
∈[π
3
,5π]，设θ=
4x−π
3，转化为sinθ=2
3
，结合正弦函数的图象与性质，即可求解．
本题考查三角函数的图像变换及图象性质，属于中档题．
22.【答案】(1)解：∵f(x)=e x−1
2
x2−ax，
∴f′(x)=e x−x−a，
∵函数f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)>0在R上恒成立，即e x−x−a>0在R上恒成立，∴a<e x−x在R上恒成立，
令ℎ(x)=e x−x，则ℎ′(x)=e x−1=0，得x=0，
列表如下：
∴ℎ(x)min=ℎ(0)=1，
∴a≤1，
故实数a的取值范围是(−∞,1]．(2)证明：∵g(x)=f(x)−(a−1
2
)x2，
∴g(x)=e x−1
2x2−ax−ax2+1
2
x2=e x−ax2−ax，
∴g′(x)=e x−2ax−a，
∵x1，x2是函数g(x)的两个不同极值点(不妨设x1<x2)，
当a≤0时，g′(x)>0，即g(x)是R上的增函数，与已知矛盾，∴a>0，且g′(x1)=0，g′(x2)=0，
∴e x1−2ax1−a=0，且e x2−2ax2a=0．
两式相减，可得2a=e x1−e x2
x1−x2
，
∴要证明x1+x2
2<ln2a，即证明e x1+x22<e x1−e x2
x1−x2
，
∴两边同除以e x2，即证e x1−x22<e x1−x2−1
x1−x2
，
即证(x1−x2)e x1−x22>e x1−x2−1，
即证(x1−x2)e x1−x22−e x1−x2+1>0，
令x1−x2=t，则t<0，
即证不等式te t2−e t+1>0在t<0时恒成立，令φ(t)=te t2−e t+1，
∴φ′(t)=e t2+te t2⋅1
2−e t=(t
2
+1)e t2−e t=−e t2[e t2−(t
2
+1)]，
由(1)可知，e t2>t
2+1，即e t2−(t
2
+1)>0，
∴φ′(t)<0，
∴φ(t)在t<0时是减函数，
∴φ(t)>φ(0)=0，
∴te t2−e t+1>0在t<0时恒成立，
∴x1+x2
2
<ln2a．
【解析】(1)求出导函数f′(x)，将函数f(x)在R上是增函数，转化为f′(x)>0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a<e x−x在R上恒成立，利用导数求ℎ(x)=e x−x的最小
值，即可求得实数a的取值范围；
(2)根据x1，x2是g(x)的两个极值点，可以得到x1，x2是g′(x)=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为证明te t2−e t+1>0当t<0时恒成立，构造函数φ(t)=te t2−e t+1，利用导数即可证得结论．
本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，同时考查了不等式的证明，证明过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题，属于难题．。