2019高考数学难点题型拔高练四理 含答案解析

难点题型拔高练(四)
1．已知函数f (x )＝m x －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则
n ＋2
m ＋1
的取值范围为( ) A. ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤e ＋2e 2＋e ＋1，e 2＋1 B. ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2e ＋1，e 2＋1
C. ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2e ＋1，1
D ． ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，e 2＋1 解析：选A f ′(x )＝－m x
2－n x
＝－
m ＋nx x 2
，当n ＝0时，f ′(x )＝－m
x
2＜0，当0＜n ≤e 时，令f ′(x )＝0，则x ＝－m
n
＜0，所以函数f (x )在[1，e]上单调递减，由函数f (x )在区间[1，e]内有唯一零点，
得⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ＜0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
m －1≥0，m
e
－1－n ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≥0，
m －e －e n ＜0，
或⎩⎪⎨
⎪⎧
f ＞0，f
，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
m －1＞0，m －e －e n ≤0，
又m ＞0,0≤n ≤e，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≥0，
m －e －e n ＜0，m ＞0，
0≤n ≤e，
(1)或⎩⎪⎨⎪⎧
m －1＞0，
m －e －e n ≤0，m ＞0，
0≤n ≤e，
(2)
所以m ，n 满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则n ＋2m ＋1＝
n －－
m －－
表示点(m ，n )与点(－1，－
2)所在直线的斜率，
当m ，n 满足不等式组(1)时，
n ＋2m ＋1的最大值在点(1，e)处取得，为e ＋21＋1＝e
2
＋1， 当m ，n 满足不等式组(2)时，n ＋2
m ＋1的最小值在A 点处取得，根据⎩⎪⎨
⎪⎧
m －e －e n ＝0，n ＝e ，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝e 2
＋e ，n ＝e ，
所以最
小值为e ＋2
e 2＋e ＋1
，故选A.
2．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线
分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP ―→＝12PB ―→
时，△AOB 的面积为2b ，
则双曲线C 的实轴长为( )
A.329
B.169
C.89
D.49
解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由AP ―→＝12
PB ―→，
得(x －x 1，y －y 1)＝1
2(x 2－x ，y 2－y )，
则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋1
3
y 2，
所以
⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22a 2
－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23y 1＋13y 22b 2＝1.
易知点A 在直线y ＝b
a
x 上，点B 在直线y ＝－b a
x 上， 则y 1＝b a x 1，y 2＝－b a
x 2，
所以
⎝
⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22a 2
－
⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3a x 1－b 3a x 22b 2
＝1，
即b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3a x 1－b 3a x 22＝a 2b 2，
化简可得a 2
＝89
x 1x 2.
由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx ＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2
∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b
a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＋1
＝2ab
b 2＋a
2， 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21×x 22＋y 2
2×sin∠AOB
＝1
2 x 21＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a x 12
×
x 2
2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x 22×2ab b 2＋a
2
＝x 1x 2
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a
2×
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a
2
×
ab b 2
＋a 2
＝98a 2×ab b 2＋a 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＝98a 2×ab b 2＋a 2×b 2
＋a 2
a 2＝9
8ab ＝2b ， 得a ＝169，所以双曲线C 的实轴长为329
.
3．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13
x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *
.若x ＝a n ＋
1
(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }
的个数为________．
解析：f n ′(x )＝x 2
－2a n x ＋a 2
n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]，令f n ′(x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以
a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f 8′(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15
＝15，解得a 16＝0或a 16＝8，
当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *
)的值有2个为－1,5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1,2个为1. 所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，
同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 2
8＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 2
8＝1 176. 答案： 1 176
4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为2
2
，点B 是椭圆上的
动点，△ABF 1面积的最大值为
2－1
2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l ′.若直线l ′与直线l 相交于点P ，与直线x ＝2相交于点Q ，求|PQ |
|MN |
的最小值．
解：(1)由已知得e ＝c a ＝22
，即a 2＝2c 2. ∵a 2
＝b 2
＋c 2
，∴b ＝c . 设B 点的纵坐标为y 0(y 0≠0)，
则S △ABF 1＝12(a －c )·|y 0|≤12(a －c )b ＝2－1
2，
即(2b －b )b ＝2－1，∴b ＝1，a ＝ 2. ∴椭圆C 的方程为x 2
2＋y 2
＝1.
(2)由(1)可知F 1(－1,0)，
由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：x ＝my －1， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，Q (2，y Q )．
联立，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋2y 2
＝2，x ＝my －1，
消去x ，
得(m 2
＋2)y 2－2my －1＝0， 此时Δ＝8(m 2
＋1)＞0， ∴y 1＋y 2＝
2m m 2
＋2，y 1y 2＝－1
m 2＋2
. 由弦长公式，得|MN |＝1＋m 2
|y 1－y 2| ＝1＋m 2
4m 2
＋4m 2
＋8m 2
＋2＝22·m 2
＋1
m 2＋2
. 又y P ＝
y 1＋y 2
2
＝
m
m 2
＋2，∴x P ＝my P －1＝－2
m 2＋2
， ∴|PQ |＝1＋m 2
|x P －2|＝1＋m 2
·2m 2
＋6
m 2＋2
，
∴|PQ ||MN |＝2m 2
＋622m 2＋1＝22·m 2
＋3m 2＋1＝22（m 2＋1＋2m 2＋1）≥2， 当且仅当m 2＋1＝
2
m 2＋1
，即m ＝±1时等号成立，
∴当m ＝±1，即直线l 的斜率为±1时，|PQ ||MN |取得最小值2.
5．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ＋1，a ∈R.
(1)当x ＞0时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；
(2)当n ∈N *时，证明：n 2n ＋4＜(ln 2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln
n ＋1n 2＜n n ＋1
. 解：(1)由f (x )≥0，得x ln x ＋ax ＋1≥0(x ＞0)， 即－a ≤ln x ＋1x
恒成立，即－a ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋1x min .
令F (x )＝ln x ＋1x (x ＞0)，则F ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x
2，
∴函数F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴函数F (x )＝ln x ＋1
x
的最小值为F (1)＝1，
∴－a ≤1，即a ≥－1， ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)证明：∵n 2n ＋4为数列⎩⎨
⎧⎭⎬⎫1
n ＋
n ＋
的前n 项和，n
n ＋1为数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1
n
n ＋
的前n 项和， ∴只需证明
1
n ＋n ＋
＜⎝
⎛⎭⎪⎫ln
n ＋1n 2＜1
n n ＋
即可．
由(1)知，当a ＝－1时，x ln x －x ＋1≥0，即ln x ≥1－1
x
，
令x ＝
n ＋1n ＞1，得ln n ＋1n >1－n n ＋1＝1
n ＋1， ∴⎝
⎛⎭⎪⎫ln
n ＋1n 2＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋12
＞1
n ＋n ＋
.
现证明⎝
⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2＜1
n n ＋
，
即2ln
n ＋1n ＜1n n ＋1＝n ＋1－n n n ＋1
＝ n ＋1
n
－ n
n ＋1
.(*)
现证明2ln x ＜x －1
x
(x ＞1)， 构造函数G (x )＝x －1
x
－2ln x (x ＞1)，
则G ′(x )＝1＋1
x 2－2x ＝x 2
－2x ＋1
x
2
＞0， ∴函数G (x )在(1，＋∞)上是增函数， 即G (x )＞G (1)＝0， 即2ln x ＜x －1
x
成立．
令x ＝ n ＋1
n
，则(*)式成立． 综上，得1
n ＋
n ＋＜⎝
⎛⎭⎪⎫ln
n ＋1n 2＜1
n n ＋
.
对数列⎩⎨
⎧
⎭⎬⎫1
n ＋
n ＋
，⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝
⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2，⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫1
n n ＋
分别求前n 项和，得n 2n ＋4＜(ln 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 322＋…＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2＜n n ＋1
.。