浏阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

浏阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A
．⎡
⎢⎣ B ．[]1,1- C
．⎤⎥⎦ D
．⎡-⎢⎣2． 已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ）
A ．一定相离
B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心3． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（
）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
4． 变量x 、y 满足条件
，则（x ﹣2）2+y 2的最小值为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．5
5． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．
C ．
D ．
6． 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使
∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
+1
B ．2
C ．
D ．
7． 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ）
A ．36π
B ．48π
C ．60π
D ．72π
8． 方程x= 所表示的曲线是（
）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
9． 已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （ax+1）≤f （x ﹣2）对任意都
成立，则实数a 的取值范围为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．[﹣2，0]
B ．[﹣3，﹣1]
C ．[﹣5，1]
D ．[﹣2，1）
10．复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z 在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．设f （x ）＝（e －x －e x ）（－），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）
12x ＋112
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－）
12
C ．（－，＋∞）
D ．（－，0）
1212
12．设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．14．在△ABC 中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．
15．如果实数满足等式，那么的最大值是 ．,x y ()2
2
23x y -+=y
x 16．已知向量若，则（ ）
(1,),(1,1),a x b x ==-r r (2)a b a -⊥r r r |2|a b -=r r
A ．
B ．
C ．2
D 23【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
17．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．
18．函数在区间上递减，则实数的取值范围是
．
2
()2(1)2f x x a x =+-+(,4]-∞三、解答题
19．已知函数是定义在（-1，1）上的函数, 2(x)1ax f x =
+12
()25
f =（1）求的值并判断函数的奇偶性
a (x)f （2）用定义法证明函数在（-1，1）上是增函数；
(x)f 20．如图1，圆O 的半径为2，AB ，CE 均为该圆的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，垂足为F ，沿直径AB 将半圆ACB 所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）
（Ⅰ）求四棱锥C ﹣FDEO 的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC 上是否存在一点P （异于B ，C 两点），使得PE ∥平面CDO ？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原
2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =22127x y +=1x y a b
+=O 点.
（1）求椭圆的方程；
C （2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使(4,0)Q -C ,M N MQ QN λ=u u u u r u u u r
MN R 得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方
MR RN λ=-u u u r u u u r
R 程；若不是，请说明理由.
22．已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ） 设动直线与y 轴相交于点
，点
关于直线的对称点
在椭圆
上，求
的最小值．
23．设函数，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，求实数m 的取值范围．
24．（本小题满分12分）在多面体中，四边形与均为正方形，平面
ABCDEFG ABCD CDEF CF ⊥，平面，且．
ABCD BG ⊥ABCD 24AB BG BH ==（1）求证：平面平面；AGH ⊥EFG （2）求二面角的大小的余弦值．
D FG
E --
浏阳市第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
2．【答案】C
【解析】
【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，
∴圆心C（1，0），半径r=，
∵≥＞1，
∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，
∴直线l与圆相交且一定不过圆心．
故选C
3．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
4．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
5．【答案】C
【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，
故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，
则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，
AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．　
6． 【答案】A
【解析】解：如图，∵∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，∴∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=，|F 1F 2|=2x ，
∴2a=
，2c=2x ，
∴双曲线C 的离心率e==
．
故选：A ．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．　
7． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ，则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，又V 四棱锥P －ABCD ＝S 矩形ABCD ·PO
13
＝abR ≤R 3.
13
2
3∴R 3＝18，则R ＝3，2
3
∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.8． 【答案】C 【解析】解：x=
两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；故选C ．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．　
9． 【答案】A
【解析】解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，则f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，
则f （x ﹣2）在区间[，1]上的最小值为f （﹣1）=f （1）若f （ax+1）≤f （x ﹣2）对任意都成立，
当时，﹣1≤ax+1≤1，即﹣2≤ax ≤0恒成立
则﹣2≤a ≤0故选A
10．【答案】A
【解析】解：∵复数z 满足（1+i ）z=2i ，∴z==
=1+i ，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），
故选A ．　
11．【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（－）得
12x ＋112
f （－x ）＝（e x －e －x ）（－）12－x
＋112
＝（e x －e －x ）（＋）
－12x ＋11
2
＝（e －x －e x ）（－）＝f （x ），
12x ＋112
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－，
12
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－}，故选C.
12
12．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，∴根据题意，M 的长度为，N 的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
二、填空题
13．【答案】　6　．
【解析】解：双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，即为：
﹣=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．
b=2a，
∴==．
∴cosB=．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.y
x
16．【答案】A 【
解
析
】
17．【答案】　0或1　．
【解析】解：由A ∪B=A 知B ⊆A ，∴t 2﹣t+1=﹣3①t 2﹣t+4=0，①无解 或t 2﹣t+1=0②，②无解
或t 2﹣t+1=1，t 2﹣t=0，解得 t=0或t=1．故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．　
18．【答案】3a ≤-【解析】
试题分析：函数图象开口向上，对称轴为，函数在区间上递减，所以
()f x 1x a =-(,4]-∞.
14,3a a -≥≤-考点：二次函数图象与性质．
三、解答题
19．【答案】（1），为奇函数；（2）详见解析。

1a =()f x 【解析】
试题分析：（1），所以，则函数，函数的定义域为11222
125514
a
f a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+1a =()2
1x f x x =+()f x ，关于原点对称，又，所以函数为奇函数；（2）设()1,1-()()
()22
11x x
f x f x x x --==-=-++-()f x 12,x x
是区间上两个不等是实数，且，则，()1,1-12x x <210x x x ∆=->()()21
2122
2111x x y f x f x x x ∆=-=
-=++，因为，，
()()
()()
()()()()
()()()()
22211221121221122222222
1
2
12
1
111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+---=
=++++++()1
1,1x
∈-()21,1x ∈-且，所以，则，所以，即，所以函数在
12x x <1211x x -<<1210x x ->()()()()
2112222
1
1011x x x x x x -->++0y ∆>()f
x 区间上为增函数。

()1,1-试题解析：（1）所以，
12225
5f a ⎛⎫==
⎪
⎝⎭=1a 定义域为,关于原点对称，且,所以为奇函数；()1,1-()()
()2
2
11x x
f x f x x
x --=
=-
=-++-()f x （2）设是区间上两个不等是实数，且，则12,x x ()1,1-12x x <21
0x x x ∆=->()()2121222111x x y f x f x x x ∆=-=-=++()()()()()()()()
222112211222
2221211111111x x x x x x x x x x x x +-+--=++++因为，，且，()11,1x ∈-()21,1x ∈-12x x <所以，则，所以，
1211x x -<<1210x x ->()()()()
211222
2
1
1011x x x x x x -->++即，
0y ∆>所以函数在区间上为增函数。

()
f x ()1,1-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD 垂直平分半径OA ，半径为2，∴CF=DF ，OF=
，
∴在Rt △COF 中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE 为直径，∴DE ⊥CD ，∴OF ∥DE ，DE=2OF=2，∴
，
图2中，平面ACB ⊥平面ADE ，平面ACB ∩平面ADE=AB ，又CF ⊥AB ，CF ⊂平面ACB ，
∴CF ⊥平面ADE ，则CF 是四棱锥C ﹣FDEO 的高，∴
．
（Ⅱ）在劣弧BC 上是存在一点P （劣弧BC 的中点），使得PE ∥平面CDO ．证明：分别连接PE ，CP ，OP ，∵点P 为劣弧BC 弧的中点，∴
，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP 为等边三角形，∴CP ∥AB ，且，又∵DE ∥AB 且DE=
，
∴CP ∥DE 且CP=DE ，∴四边形CDEP 为平行四边形，∴PE ∥CD ，
又PE ⊄面CDO ，CD ⊂面CDO ，∴PE ∥平面CDO ．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．　
21．【答案】（1）；（2）点在定直线上.22
143
x y +=R 1x =-【解析】
试
题解析：
（1）由，∴，∴12e =2214e a =22
34a b ==
解得，所以椭圆的方程为.2,a b ==C 22
143
x y +=
设点的坐标为，则由，得，
R 00(,)x y MR RN λ=-⋅u u u r u u u r
0120()x x x x λ-=--解得112
1
22121201
1224424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又，
221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，从而，21222
3224
()883434k x x k k -++=+=++12120
1224()1()8x x x x x x x ++==-++故点在定直线上.
R 1x =-考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.22．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C ：，
所以，
，故，解得
，所以椭圆的方程为
．
因为，所以离心率
．
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点
，
则线段的中点的坐标为，
且直线的斜率，
由点关于直线的对称点为，得直线，
故直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为：，
令，得，则，
由，得，
化简，得．
所以
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
23．【答案】
【解析】解：∵，
∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），
∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f（﹣）=﹣﹣×+2×+5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max（x）=f（2）=7；
故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；
故实数m的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
GH∈AGH AGH⊥EFG
∵平面，∴平面平面．……………………………5分。