北京市第四十三中学2021届高三上学期1月月考试题 数学【含解析】

北京市第四十三中学2021届高三上学期1月月考试题 数学【含解析】
第一部分（选择题 共40分）
一、单选题
1．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)
C ．(1,2)-
D ．(2,1)-
【答案】C
【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】
解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知集合{}
2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}0,1,2
C ．{}1,0,1-
D ．
1,0,1,2
【答案】C
【解析】根据交集的定义可求得集合A B .
【详解】
{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，因此，{}1,0,1A B =-.
故选：C. 【点睛】
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 3．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）
A ．1y x =+
B ．21y x =-
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．2log y x =
【答案】C
【解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】
对于A 选项，函数1y x =
+()0,∞+上为增函数；
对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；
对于C 选项，函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C. 【点睛】
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题. 4．函数()256f x x x =
-+ ）
A ．{2x x ≤或}3x ≥
B ．{
3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}
32x x -≤≤-
【答案】A
【解析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】
由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{
2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 5．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()2
2
211x y -+-= B ．()()22
211x y +++= C ．()()22
215x y -+-= D ．()()2
2
215x y +++=
【答案】A
【解析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】
圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()2
2
211x y -+-=.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
6．为得到的图象，只需要将的图象（）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．
【考点】三角函数的图像变换．
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）
A．2
3
B．
4
3
C．2D．4
【答案】B
【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为211421333
ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
8．已知点A(0，2)，B(2，0)．若点P 在函数2
y x =的图像上，则使得ΔPAB 的面积为2的点P 的个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】A
【解析】设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】
设点2
(,)P t t ，直线AB 的方程是20x y +-=，||22AB =由于ABC ∆的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程
1
2222
h ⨯=，即2h = 222
=2
|2|2t t +-=，解得有4个实根，
故这样的点C 有4个． 故选：A. 【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 9．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，
充分性：
1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，
0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则
1n n S S +<，不合乎题意；
若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；
必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐
/“{}n a 为递增数列”. 因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题． 10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D
【解析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】
根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为： A B
C
D E
物理 10550--= 16313-= 9
1
化学 8530--=
19514-=
7
2 0
对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；
对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；
对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生， 因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人）， C 选项错误；
对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少
14131-=（人），D 选项正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知双曲线()2
2210x y a a
-=>的一条渐近线方程为0x y +=，则a =________．
【答案】1
【解析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数a 的值. 【详解】
双曲线()2
2210x y a a
-=>的渐近线方程为0x y a ±=，
由于该双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，1
1a
∴=，解得1a =. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．已知向量()1,a m =，()2,1b =，且a b ⊥，则m =________． 【答案】2-
【解析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值. 【详解】
()1,a m =，()2,1b =且a b ⊥，则20a b m ⋅=+=，解得2m =-.
故答案为：2-. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 13．抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为________． 【答案】1
【解析】设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义求得0x ，并求出对应的0y ，即可得出结果. 【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，
抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得011x +=，解得00x =，此时00y =. 因此，抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为1. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
14．在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．
【答案】
34 1574
【解析】利用余弦定理可求得cos A 的值，进而可得出sin A 的值，最后利用三角形的面积公式可得出
ABC 的面积.
【详解】
由余弦定理得2222225643cos 22564
b c a A bc +-+-===⨯⨯，则27
sin 1cos 4A A =-=
， 因此，ABC 的面积为117157
sin 562244
ABC
S
bc A ==⨯⨯⨯=
. 故答案为：34；157
4
. 【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 15．函数()f x 的定义域为[
)1,1-，其图象如图所示．函数()g x 是定义域为R 的奇函数，满足
()()20g x g x -+=，且当()0,1x ∈时，()()g x f x =．给出下列三个结论：
①()00g =；
②函数()g x 在()1,5-内有且仅有3个零点； ③不等式()0f x -<的解集为{}
10x x -<<． 其中，正确结论的序号是________． 【答案】①③
【解析】利用奇函数和()()20g x g x -+=，得出函数()y g x =的周期为2，由图可直接判断①；利用赋值法求得()10g =，结合()00g =，进而可判断函数()y g x =在()1,5-内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】
因为函数()y g x =是奇函数，所以()()g x g x =--，
又()()20g x g x -+=，所以()()2g x g x -=-，即()()2g x g x +=， 所以，函数()y g x =的周期为2.
对于①，由于函数()y g x =是R 上的奇函数，所以，()00f =，故①正确； 对于②，
()()20g x g x -+=，令1x =，可得()210g =，得()10g =，
所以，函数()y g x =在区间[]1,1-上的零点为0和1.
因为函数()y g x =的周期为2，所以函数()y g x =在()1,5-内有5个零点，分别是0、1、2、3、4，故②错误；
对于③，令t x =-，则需求()0f t <的解集，由图象可知，01t <<，所以10x -<<，故③正确. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．
三、解答题
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、
N 分别为AD 、PD 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNC ；
（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）
1
6
. 【解析】（1）利用中位线的性质得出//PA MN ，然后利用线面平行的判定定理可证明出//PA 平面MNC ； （2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AD =，利用空间向量法可求得直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值. 【详解】
（1）因为M 、N 分别为AD 、PD 的中点，所以//PA MN ． 又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC ；
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设2AD =，
则()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,4P ，()1,0,0M ，()0,0,2N ，
()2,2,4PB =-，()0,2,2NC =-，()1,0,2MN =-．
设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =，
则00n MN n NC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即20220x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1z =，则2x =，1y =，所以()2,1,1n =．
设直线PB 与平面MNC 所成角为α，所以1
sin cos ,6
n PB n PB n PB
α⋅=<>=
=
⋅． 因此，直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16
. 【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17.已知ABC △同时．．满足下列四个条件中的三个： ① π3A =
； ② 2
cos 3
B =-； ③ 7a =； ④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求AB
C △的面积．
解：（Ⅰ）ABC △同时满足①，③，④． 答题要点！！！ 理由如下：
若ABC △同时满足①，②，则
因为 2
1cos 32
B =-<-，且(0,π)B ∈，
所以 2
π3
B >．
所以 πA B +>，矛盾．
所以ABC △不能同时满足①，②．
所以ABC △只能同时满足③，④．
因为 a b >，
所以 A B >，故ABC △不满足②．
故ABC △满足 ①，③，④．
（Ⅱ）因为 2222cos a b c bc A =+-，
所以 222
173232
c c =+-⨯⨯⨯
． 解得 8c =或5c =-（舍）． 所以△ABC 的面积1
sin 632
S bc A ==
18．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A 、B 、C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
A 组
10
11 12 13
14
15 16
B 组
12
13 14
15
16
17 18 C 组
13 14
15
16
17 18
19
假设所有植株的生长情况相互独立．从A 、B 、C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． （1）求丙的高度小于15厘米的概率； （2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为0μ．从A 、B 、C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14、16、15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为
1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）27；（2）1049
；（3）01μμ<．
【解析】设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1i =、2、
、7，可得出()()()1
7
i i i P A P B P C ===
. （1）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，可得12D C C =⋃，且1C 、2C 互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断0μ和1μ的大小即可. 【详解】
设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1i =、2、
、7．
由题意可知()()()1
7
i i i P A P B P C ===
，1i =、2、、7．
（1）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知12D C C =⋃， 又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率()()()()12122
7
P D P C C P C P C =⋃=+=； （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃． 所以事件E 的概率()()()()()()4151617152P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++
()()()()()6272637374P A B P A B P A B P A B P A B +++++
()()()414110101049
P A B P A P B ===
； （3）01μμ<. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
19．已知函数()()2
112
x
a f x e x e x =--
，0a <． （1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极小值； （3）求函数()f x 的零点个数．
【答案】（1）1y =-；（2）极小值1-；（3）函数()y f x =的零点个数为1． 【解析】（1）求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数()y f x =的单调性，进而可得出该函数的极小值；
（3）由当1x ≤时，()0f x <以及()20f >，结合函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出函数
()y f x =的零点个数.
【详解】
（1）因为()()2
112
x
a f x e x e x =--
，所以()x a f x xe xe '=-． 所以()01f =-，()00f '=．
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线为1y =-；
（2）因为()()
x a x a
f x xe xe x e e '=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．
列表如下：
x
(),a -∞
a
(),0a
()0,∞+
()f x '
+
-
+
()
f x
极大值
极小值
所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ， 所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-； （3）当1x ≤时，()0f x <，且()2
2
2220a
f e e e =->->．
由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1． 【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为()0,1A 、()0,1B -，焦距为23 （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线y m =与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD 、BM 的斜率的积为1
4
-
．证明：点D 在x 轴上． 【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）见解析. 【解析】（1）由已知条件得出b 、c 的值，进而可得出a 的值，由此可求得椭圆C 的方程；
（2）设点()1,M x m ，可得()1,N x m -，且10x ≠，11m -<<，求出直线BM 的斜率，进而可求得直线BD 与AN 的方程，将直线直线BD 与AN 的方程联立，求出点D 的坐标，即可证得结论. 【详解】
（1）由题设，得13
b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2224a b c =+=，即2a =．
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2）设()1,M x m ，则()1,N x m -，10x ≠，11m -<<．
所以直线BM 的斜率为()11
11
0m m x x --+=-，
因为直线BD 、BM 的斜率的积为14
-，所以直线BD 的斜率为()141x m -+．
直线AN 的方程为1
11m
y x x -=
+，直线BD 的方程为()1141x y x m =-
-+． 联立()11111
41m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪
⎨⎪=--⎪+⎩
，解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．
因为点M 在椭圆C 上，所以2
2114
x m +=，则0D y =，所以点D 在x 轴上．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
21．设数阵11
12021
22a
a A a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =⊆，
其中12l e e e <<
<，l N *∈且6l ≤．定义变换k ϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一
行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、
、
l e ）．()0S A ϕ表示“将0A 经过1
e ϕ变换得到1A ，
再将1A 经过2e ϕ变换得到2A 、 ，以此类推，最后将1l A -经过l e ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．
（1）若01215A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ； （2）若01336A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，{}1,3S =，求()0S T A 的值；
（3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【答案】（1）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭
；
（2）5-；（3）见解析. 【解析】（1）由01215A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，能求出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ； （2）由01336A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，{}1,3S =，求出数阵0A 经过s ϕ变化后的矩阵，进而可求得()0S T A 的值；
（3）分1112a a ≠和1112a a =两种情况讨论，推导出变换后数阵l A 的第一行和第二行的数字之和，由此能证明()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【详解】 （1）
01215A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0
A 经过2ϕ变换后得到的数阵11215A --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
； （2）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经s ϕ变换后得1336⎛⎫
⎪--⎝⎭
，故()013365s T A =+--=-；
（3）若1112a a ≠，在{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；
含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -； 同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ； 不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ． 所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为
()()()()()44441112111211121112111222221a a a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+=--.
若1112a a =，则{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为11a -、
12a -；
不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ．
所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()
()55
111211*********a a a a a a ⨯--+-⨯+=--．
同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以()0s T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈，所以()0s T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【点睛】
本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过4-的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算求解能力，综合性强，难度大．。