3拉格朗日方程导出机电系统的运动方程

机电能量转换
建立机电运动方程－举例
3. 代入拉格朗日方程
K=2 机械系统：
电磁力项 机械系统方程：
45
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
1. 例3-3 单边激励机电装置 2. 例3-4 双边激励机电装置
46
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
应用拉格朗日函数建立如图所示的机电系统的运动 方程。转子两绕组正交，忽略转子轴系的位能。
机电能量转换
保守纯机械系统实例
保守弹簧振子模型： 用能量函数表达力：
11
机电能量转换
保守纯机械系统实例
保守弹簧振子模型： 物理意义： 惯性力仅仅与系统的动能有关

弹力仅仅和系统的位能有关
12
机电能量转换
保守纯机械系统实例
保守弹簧振子模型：

以能量函数表达力的平衡：
13
机电能量转换
保守纯机械系统实例
单边激励机电装置模型：

力平衡方程：
18
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型： 各种能量表达式：

19
轭铁动能：
弹簧位能：
磁场储能： 磁共能：
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型： 各种损耗函数：

电阻损耗函数：
机械损耗函数：
机电总损耗函数：F Fmec Fe
5
机电能量转换
动态耦合电路法
——基尔霍夫定律写出电路方程：电磁感 应定律导出运动电动势项； ——达朗贝尔定律写出机械方程：虚位移 原理导出电磁转矩； ——两者联系起来构成机电系统的运动方 程；
6
机电能量转换
变分原理法


含义： 通过能量函数的积分求极值
不区别机、电系统对应量，统一用任一方 物理量； 使用某个特定的能量函数来建立一个普遍 的方程——拉格朗日方程。 通过机电系统的某个特定的能量函数的积 分求极值来导出运动方程。
机电能量转换
20
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型：

电压的能量表达：
21
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型： 力的能量表达：
22
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型： 运动方程：
23
机电能量转换
拉格朗日方程

总能量： 总动能 总动共能 总位能
线性情 况
37
机电能量转换
用拉格朗日函数推导机电方程

应用拉格朗日函数特点


从能量观点处理机电双方的相互作用 方法单一，过程简单
自动导出机电耦合项
38
机电能量转换
用拉格朗日函数推导机电方程

应用拉格朗日函数步骤
（1）根据系统的约束条件，选择广义坐标和广义 速度； （2）确定总损耗函数F或广义损耗系数Rk，列出 外来广义驱动力； （3）动力变量表示系统的总动共能T‘和总位能V， 并写出拉格朗日函数； （4）将上述结果代入拉格朗日方程，求导后可得 到N个运动方程式。

机电系统的方程
——电路的电压平衡方程 ——机械系统的转矩（或力）平衡方程

机电系统方程特点
——电压平衡方程比静止电路多一项运动 电动势项 ——转矩平衡方程比纯机械系统多一项电 磁转矩项
3
机电能量转换
建立机电运动方程的方法
——动态耦合电路法
——变分原理法
4
机电能量转换
动态耦合电路法

含义： 运动状态的机电系统看作 动态耦合电路
机电能量转换


7
两种方法应具有等价性

应用两种方法推导的运动方程是一样 的； 当某一个机电系统的运动方程用一种 方法导出后，便能由此推导出另外一 种方法。
机电能量转换

8
保守纯机械系统实例
保守弹簧振子模型：

力平衡方程：
9
机电能量转换
保守纯机械系统实例
保守弹簧振子模型：

10
动能： 位能：
24
机电能量转换
q
拉格朗日方程

25
定义拉格朗日函数： 广义坐标和广义速度定义： 广义坐标q ：x 等
x 广义速度 q ：i， 等
广义驱动力Q
机电能量转换
q
拉格朗日方程

运动方程统一形式：
26
机电能量转换
q
拉格朗日方程

线性系统：总动能＝总动共能
保守系统： 总损耗＝0； 广义驱动力＝0 拉格朗日方程：
motionequationelectromotionequationelectromechanicalmechanicalsystemsystem机电能量转换机电能量转换本章主要内容本章主要内容机电能量转换机电能量转换建立机电运动方程方法和特点建立机电运动方程方法和特点机电能量转换机电能量转换建立机电运动方程的方法建立机电运动方程的方法机电能量转换机电能量转换动态耦合电路法动态耦合电路法机电能量转换机电能量转换动态耦合电路法动态耦合电路法机电能量转换机电能量转换变分原理法变分原理法机电能量转换机电能量转换两种方法应具有两种方法应具有机电能量转换机电能量转换保守纯机械系统实例保守纯机械系统实例机电能量转换机电能量转换10保守纯机械系统实例保守纯机械系统实例机电能量转换机电能量转换11保守纯机械系统实例保守纯机械系统实例机电能量转换机电能量转换12保守纯机械系统实例保守纯机械系统实例机电能量转换机电能量转换13保守纯机械系统实例保守纯机械系统实例机电能量转换机电能量转换14保守纯机械系统实例保守纯机械系统实例机电能量转换机电能量转换15单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换16单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换17单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换18单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换19单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换20单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换21单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换22单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换23单边激励机电装置实例单边激励机电装置实例机电能量转换机电能量转换24拉格朗日方程拉格朗日方程机电能量转换机电能量转换25拉格朗日方程拉格朗日方程机电能量转换机电能量转换26拉格朗日方程拉格朗日方程机电能量转换机电能量转换27拉格朗日方程拉格朗日方程机电能量转换机电能量转换28拉格朗日方程拉格朗日方程广义惯性力广义惯性力以外的保守力保守力非保守力广义阻力损耗力外来驱动力机电能量转换机电能量转换29两种方法比较两种方法比较机电能量转换机电能量转换30两种方法比较两种方法比较机电能量转换机电能量转换31广义坐标的选取广义坐标的选取机电能量转换机电能量转换3
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
1. 确定系统的广义变量和驱动力
42
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
2. 确定系统拉格朗日函数

总损耗函数：
总动能： 总位能：

43
拉格朗日函数：
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
3. 代入拉格朗日方程
K=1 电系统：
运动电动势 项 电系统方程：
44
3. 机电系统的运动方程
Motion Equation of Electro-Mechanical System
1
本章主要内容
1. 机电系统的物理分析 2. 机电系统运动方程的拉格朗 日方程的推导（重点） 3. 机电系统的运动方程建立 4. 机电系统的运动方程求解
2
机电能量转换
建立机电运动方程方法和特点
47
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
48
机电能量转换
Thanks for your attention!
49
机电能量转换
29
两种方法比较


变分原理法：
步骤单一和系统化； 自动地导出机电耦合项； 适合于解决复杂系统的难题；

缺点是难以洞察物理过程和物理意义。机电能量转换30广义坐标的选取


动力系统：
即时状态可由坐标和速度描述； 每个质点或元件最多有3个自由度; 广义坐标应为独立坐标; 完整的约束中，广义坐标的个数为系统的 自由度数。
系统总动共能： j 其中：
Tmec
1 2 mi xi 2 i 1
j ii j
线性情 况
1 Wm i dii ii i 2 i 1 i 0 0
35
机电能量转换
拉格朗日函数
系统总位能： 其中：
线性情 况
36
机电能量转换
拉格朗日函数

普遍形式：
——为广义坐标、广义速度和时间函数
39
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
应用拉格朗日函数建立如图所示的机 电系统的运动方程。
40
机电能量转换
建立机电运动方程－举例
分析问题：
——单边激励机电装置 ——选择动力变量 电系统：线圈电荷q为 广义坐标，电流i为广 义速度 机械系统：动铁的位 移x为广义坐标，运动 速度为广义速度
41
27
机电能量转换
q
拉格朗日方程非保守系统(普遍形式)：
保守力
广义惯性力
广义惯性力以 外的保守力
非保守力
广义阻力 （损耗力） 外来驱 动力
28
物理意义：系统在动力平衡时，作用在每 一个广义坐标上的广义力总和＝0
机电能量转换
两种方法比较

动态耦合电路法： 关于系统微增变化的方程，以“微 分原理”作为出发点； 物理意义比较清楚，易于理解; 对多变量的机电系统，需要有较高 的见解和判断力。
保守弹簧振子模型：

能量函数（状态函数）： 拉格朗日方程：
14
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型：
15
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型：

电压平衡方程：
16
机电能量转换
单边激励机电装置实例
单边激励机电装置模型：

电磁力：
17
机电能量转换
单边激励机电装置实例
31
机电能量转换
拉格朗日方程的应用条件

所有的广义坐标独立

完整约束的运动系统，即自由度数＝广义 坐标的个数 只能用于真实坐标系统。
32
机电能量转换
拉格朗日方程的应用条件
33
机电能量转换
广义坐标的选取


动力变量：
（或广义动量） 广义坐标qk和广义速度 q k
电系统
34
机电能量转换
拉格朗日函数