广东省广州市启明中学高二数学理月考试题含解析

广东省广州市启明中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若a，b∈(0，＋∞)，且a＋3b＝1，则的最小值为 ( ) A．12 B．16 C．24 D．3 2
参考答案：
A
略
2. 某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据先分组，后分配的原则得到结果.
【详解】由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有
.
故选：A．
【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；
②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
3. 点，则它的极坐标是（）
A． B． C． D．
参考答案：C
4. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）
A．1 B．C．D．
参考答案：
B
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】使用捆绑法分别计算甲乙相邻，和甲同时与乙，丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式得出概率．
【解答】解：甲乙相邻的排队顺序共有2A=48种，
其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A=12种，
∴甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为．
故选：B．
5. 利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（）
A．①②B．①C．③④D．①②③④
参考答案：
A
【考点】斜二测法画直观图．
【分析】由斜二测画法规则直接判断即可．①正确；因为平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；
因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．
【解答】解：由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；
因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．
故选A
6. 某校在校学生2000人，为迎接2010年广州亚运会，学校举行了“迎亚运”跑步和爬山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级与比赛人数情况如下表：
其中：：=2：5：3，全校参与爬山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取（）．
A.15人
B.30人
C.40人
D.45人
参考答案：
D
略
7. 已知向量，，若与共线，则等于（）
A．； B． C．
D．
参考答案：
C
8. 已知向量||=1，||=2且?=0，又=+2， =m﹣n，∥，则等于（）
A．﹣B．﹣1 C．1 D．2
参考答案：
A 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵向量||=1，||=2且?=0
∴与不共线，
∵=+2， =m﹣n，∥，
∴设=x，
则x（+2）=m﹣n，
即，则=﹣，
故选：A
9. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下
列结论中错误的是 ( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
参考答案：
D
略
10. 已知函数若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．
【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则
∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH
∴∠OEH为异面直线所成的角．
在△OEH中，OE=，HE=，OH=．
由余弦定理，可得cos∠OEH===．
故答案为：
12. 不等式x2﹣x﹣2＞0的解集是．
参考答案：
{x|x＞2或x＜﹣1}考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：先将一元二次不等式进行因式分解，然后直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．解答：解：不等式x2﹣x﹣2＞0化为：（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1．
所以不等式的解集为：{x|x＞2或x＜﹣1}；
故答案为：{x|x＞2或x＜﹣1}．
点评：本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．
13. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：
且回归方程是，则
参考答案：
0．08
略
14. 如图所示阴影部分的面积为．
参考答案：
12
【考点】6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】利用定积分表示面积，再计算，即可得出结论．
【解答】解：由题意，S===（8+64）=12，故答案为：12．
15. 设AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，若把AB给100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是．
参考答案：
101a
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；数形结合；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆的定义便可以得到，而由题意可知P1、P2、…、
P99关于y轴对称分布，从而便可得到，而
|F1A|+|F1B|=2a，这样即可得出|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值．
【解答】解：由椭圆的定义知|F1P i|+|F2P i|=2a（i=1，2，…，99）；
∴；
由题意知P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布；
∴
又∵|F1A|+|F1B|=2a；
故所求的值为101a．
故答案为：101a．
【点评】考查椭圆的定义，椭圆的两焦点关于y轴对称，以及椭圆的标准方程，椭圆的长轴的概念，
清楚把线段100等分的概念，以及椭圆的对称性．
16. 已知，则不等式的解集是．
参考答案：
17. 一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和
大于，则算过关。

则连过前3关的概率为_________.
参考答案：
解析：由于骰子是均匀正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．设事件A
n
为“第n次过关失败”，则对立事件B n为“第n次过关成功”第n次游戏中，基本事
件总数为6 n
第1关：事件A l所含基本事件数为2(即出现点数1和2两种情况)．所以过此关的概
率为P(B1)=1－ P(A1)=；
第2关：事件A2所含基本事件数为方程x+y=a当a分别取2、3、4时的正整数解组
数之和，即6个．所以过此关概率为P(B2)=1－P(A2)=；
第3关：事件A3所含基本事件数为方程x+y+z=a当a分别取3、4、5、6、7、8时的
正整数解组数之和，即56个．所以过此关概率为P(B3)=1－P(A3)=；
故连过三关的概率为P(B1)×P(B2)×P(B3)=
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f ( x )=–λx，其中λ > 0。

（1）求λ的取值范围，使函数f ( x )在区间 [ 0，+ ∞ )上是单调函数；
（2）此种单调性能否扩展到整个定义域( –∞，+ ∞ )上？
（3）求解不等式2 x–< 12。

参考答案：
解析：（1）f '( x )=–λ，由f '( x ) ≤ 0，得( x + 1 ) 2 ≥，x≤ –– 1或x
≥– 1，由–1 ≤ 0，得λ≥，即当λ≥时，f ( x )在区间 [ 0，+ ∞ )上是单调递减函
数；
（2）因为无论λ取何值，( –∞，–– 1 ]∪[– 1，+ ∞ ) ( –∞，+ ∞ )，所以此种单调性不能扩展到整个定义域( –∞，+ ∞ )上；
（3）令t =，则x = t3– 1，不等式可化为2 t3–t– 14 < 0，即 ( t– 2 ) ( 2 t2 + 4 t + 7 ) < 0，而2 t2 + 4 t + 7 > 0，∴t– 2 < 0，即t < 2，∴< 2，x < 7。

19. 设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=1，，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）在数列{b n}中，，求{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用递推关系即可得出；
（2）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）∵，n∈N*．
∴当n=1时，，
又a1=1，∴a2=4．
（2）∵，n∈N*．∴①，
∴当n≥2时，②
由①﹣②，得 2S n﹣2S n﹣1=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），
∵2a n=2S n﹣2S n﹣1，∴2a n=na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），
∴（n≥2），
又，∴数列是以首项为，公差为1的等差数列．
∴，∴．
（3）证明：由（2）知，，
则；
∴
【点评】本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20. 观察等式，，请写出与以上等式规律相同的一个一般化的正确等式，并给予证明.
参考答案：
解：一般化的正确等式为. …5分
证明：
…………8分
…………12分
…………14分
略
21. （本题满分12分）设△的内角所对的边分别为,且,
,.
(1)求的值; (2)求的值.
参考答案：
(1)由余弦定理,
得, ………………………………………………2分
又,,,所以,……………………………………4分
解得,. …………………………………………………………………6分(2)在△中,,……………………………………7分
由正弦定理得, …………………………………………9分
因为,所以为锐角,所以………………………10分
因此.………………………12分22. 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
⑵用程序表示计算10年以后该城市人口总数的算法；
⑶用程序表示如下算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人．
参考答案：
（1）
(2)程序如下：
(3) 程序如下：。