2019年广州市二模理科数学试题及答案

A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
广东省广州市2019届高三4月综合测试（二）
理科数学试题
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签 字
笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题
卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔
和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，
再作答。

漏涂、错
涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
锥体的体积公式 V= -Sh 油，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.
3
一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 对于任意向量a 、b 、c,下列命题中正确的是
A. |a.b| = |a| |b|
B. |a+b|= | a|+ | b 1
C. (a.b)c =a (b-c)
2
D. a.a =|a|
2. 直线y=kx +1与圆 x 2+y 2
-2y=0的位置关系是
A.相交
B.相切
C 相离 D.取决于k 的值
3.若1-i （i 是虚数单位）是关于 x 的方程x 2
+2px +q=0（p 、q € R）的一个解，贝U p+q =
A.1
B. 2
C. 4
D. 8
4.已知函数y=f （x ） 的图象如图l 所示，则其导函数 y=f （x ）
的图象可能是
5.若函数y = cos®x +匀（缶W N*）的一个对称中心是（三■ ,0）,则④的最小值为
6
6 -
6. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平 行于圆
锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 l:7的上、下两部分，则截面 的面积为
A.【兀
B.冗
4
C 写 B 4
兀
4
7.
某辆汽车购买时的费用是 15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5
万 元.年维修保养费用第一年
3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年
限（即使用多少年的年平均费用最少）是
A. 8 年
B. IO 年
C. 12 年
D. 15 年
9.
记实数XI , x 2,…,x n 中的最大数为
max{x 1,
x 2,…，x n }，最小数为 min{x I ,
x 2,…,x n }
则 max{min{x+1 , x 2 - x + 1, -x +6}}=
A. 3
B. 1
C. 3
D.
-
4 2
二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分.
（-）必做题（9-13题）
9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次
A.
B.
C.
D.
为2:3:4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本
容量n =
3
10.已知a 为锐角，且cos（a * —）=—,则sina=.
4 5
11.用0 , 1 , 2 , 3,4 , 5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五
位数(结果用数值表示).
12.已知函数f(x) =x 2 - 2 x,点集M = (( X, Y)| f(x) +f(y) < 2) , N = ｛( X, Y)|
f(x)-f(y) m0)，贝U Ml N所构成平面区域的面积为
13.数列｛a n)的项是由l或2构成，且首项为1,在第k个l和第k+ 1个l之间有2k-1个
2,即数列｛a n)为：1,2 , 1,2 , 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, …，记数列｛a｝的前n 项和
为S ,贝U S20=； S 2019 =.
(二)选做题(14-15题，考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)
1 _______ 、一
在ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE^- BD,延长AE交BC于点F,则既的
值为.
FC
15.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中，已知点A(1,-),点P是曲线P sin 2° =4cos 0上任意一点，设点
2
P到直线Pcos 0 + 1 = 0 的距离为d,贝U I PA | + d的最小值为.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
某单位有A、8 C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0 ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC = 70m, CA=50m. 假定A、8 C、O四点在同一平面内.
⑴求ZBAC的大小；
(2)求点O到直线BC的距离
17.(本小题满分12分)
等边三角形ABC的边长为3，点D> E分别是边AB、AC上的点，且满足AD CE
DB EA =；(如
已知正方形ABCD的边长为2 , E、F、G H分别是边AB、BG CD DA的中点.
(1)在正方形ABCErt部随机取一点P,求满足|PH|< ^/2的概率；
(2)从A、B、C、D、E、F、G H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为匚，求随机变量f的分布列与数学期望E E.
18.(本小题满分14分)
图3).将^ ADE替DE折起到△ ADE的位置，使二面角A-DE-B成直二面角，连结AB、
A i C （如图4）.
(1) 求证：A i D ±平面BCED;
⑵ 在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面ABD所成的角为60 °?若何，求出
PB狐:；若不存在，谨说明理由
19.
(本小题满分 W 分)
巳知a>0,设命题p ：函数f (x)=x 2-2ax+ 1-2a 在区间［0,1］上与x 轴有两个不同 的交点；命题
q ： g(x) =|x-a|-ax 在区间(0, +
)上有最小值.若(「p)八
q 是真命题，求实数 a 的取值范围.
20.
(本小题满分14分)
经过点F (0 , 1)且与直线y = - 1相切的动圆的圆心轨迹为 M 点A 、D 在轨迹M 上，且 关于y 轴对称，过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线l 与轨迹M 在
点D 处的切线平行，设直线
l 与轨迹M 交于点B 、 C.
(1) 求轨迹M 的方程； (2)
证明：4BAD=/CAD;
2 .
. . ....................
(3)
若点D 到直线AB 的距离等于 一 | AD | ,且△ ABC 的面积为20,求直线BC 的方程.
2
图1
C B
图4
21.（本小题满分1 4分）
设a n是函数f （x） = x3+n2x-1（ n亡N *）的零点.
⑴证明：0<a n<1 ;
⑵证明：n< a1 + a2+... + a n< —
n 1 2
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学〔理科）试题参考答案及评分标准
说明■一零考答案与评例司F指由了护地8（妥考查饰主要知识和能九并给出了-种或儿种髀法供禁考. 扯梁考生的解法与律者答案不版可根据试收N塾若杏的©ih"【I：菲力府眼评分株准豁以杓迎的分攻.
L对新答通中的计H・气希生的邮岩在粟步悟以靖通时.M驰后继郡分的制誓未故变该题的内容和燃座，W相幡响的柱!tt决地后麒茶分的符Sb也成蛤分数不备超过津部分正耐解答应将分教巳如果后缝都■分此解答有较严重的赭误，就不可始分-。

解鲁右端所巷分裁* *为生无葡敕到谊步成得的京M分数一
■1 J!泠性散分散，选抒牧和坨空巷M、怡中同分.
一、迭择毒本犬原考座基本知识和基本运算共It小凰每小鹿S分.潸分加分.
二堵空题，本大题查基本知说和基本遥算，体现地拌怕共7小魅.每小题5分■檎分3。

分.其中I4-IS JS是死敝剔，考生只能逸撤-明.第13鹿第一个空卫分，第二个空3分“
I l
L 网m. —11. 216 IL 2花13. 36 ：39*1 34. - 15. V2
10 4
三、解容题：本大鹿共《小鹿.满分80分.解答犯出文字说明、证明过程和演算步骈一】鼠〈本小18主要考育解三角培瞽基础知识，考杏ii说逞理与余弦定理的隔川*本小罐满分u分）
解t -J > /：A 中.片为』B—SWm. 8 匚= 70m，CJ^=S0 m ,
A D1 i jitf^ 11（cos Z
B A
C = ............................................................................. ■ - -2
V
2xX^x4C
«0J+ 50;-70; I ,
p =—.................................... ... .................. ... ...... ... ....... ....... ‘十f-
2>KOx5U 2
时为/成小为内偷.. ..................................................................................................................... .... ...................................... 4分
以｝方法，XI为发胞点。

到fi,仁三个工作点的邹离糊等. 所以点o为乙ARC外搓岗的回心一................................. a分设外接网的半凭为火.
布AWEC■中，由正菠定理传主。

_ 2弁. ----------------- --- ------- ------- ……-…"…-……-…,T分
sin^l
敏学，理科.参考答案及评分际腐第1页我11巾
数学，理科〉参考答案及评分除准 第2 # 11页
........... 12分
IL 分
12分
EE" 70 I4O JT 7O T J
K /
-
.Rri U 2fi — —= -------- f UP K = ------------
-- 分 73
3
3
T
过七。

作边白。

的kti,屯足为心， ............................................................ 9i>
A OSD ,111 OH — it - ■
, BD — ^- = 351
3
2
2
所以如=』奇 -g =< 2?h5) t 宁 (ii)
所展A O 到立线BC 的距离为丑单m .
方法Zi 因为发射点OSU* B 、C ■'.个工作值的策f
所以AO^ABC^^M 的圆心. ...................................................... 5分 连结UB, OC .
过点O 许边EC 的垂线.垂足为》， .......................................... 6 5> 宙(I) ^：Z^C = -.
3
所以4。

匚=生，
3
所以= ................................................................... 9分
在RiZiHO 。

中，ff/> = —= —= 35,
2
2 BD 35
3 涕
tanZBOD 皿 60
3
所以点0到11戒BC 的算撬为竺@ m .
因为此= 7。

,由⑴fclA--
所 L> sin .-I =
数学试卷
数学，珥科）磐考答案及评妙邮推 第3页共11页
17. C 木小枝杉澳号件儿H 嘏卑，的机安归的分布列。

教学期更等某础如丁;，耳怦让曰求解琵力勺救葬处 理能力
等.卜：小瞟满分U 分）
解」口这是一个几何概虱 所有点P 构成的平iii 区域是正方形QCD 的内部，其si 祝是2x2 = 4.
.............. …. ... .................... ... .. ....... ............... -）分
漓是1 PH[ 耶的点P 构成的平1【|诉域是以"为圆心.为早样的瓯的内^i^h^ABCD 内部 的公其部分，它可以丹刑垠由•个以〃为冏心.JI 为V 楠、 期心而为m 的扇暗活。

的内部（即四分之一个圆）与两个 直拍边为I 的等腰宜角•:角.豚（△一4EH 和ADGH ＞内部 构成- .................... .......... .............. ............. ........ ..... ....... ......
.♦寸分
豆面税是十2大；*1区1 =；十1一 ................................................ 3分
n ,
—+1 |
所以尚足\PH\祯由概率为＞-=；+ 了 .............................................. .................................................................... 4分
⑵ * B 、C D. E 、卢\ ＜7、片这兀个点申.任彦选取两个乩 共司树成C ； = 28条不同的线段.
........ ................................................................................. 介
J?，K 度为】的典氏有8如 K 度为JT 的玩&彳4条.「..度为E 的饶睽有6条.心切为J?衲或段 TTii 条，艮理为2、疙的践段七W 条一
所以£所有W 施的歌笠为L VS 2* ^51 2>/T.-………….++f +…+……“了分 且尸(g = l) =史=Z.
P(£ -y/2} — -^- — — .
P(£ = 2) = — ■= —
''烈 7
L- 2K 7
v 7 2« 14
-Js\-—=— t
1*(^ = 2J2)=—=—. ................................................................................... q 分
V 2S 7
I J 2S 14
所以随机迎争春的分七列为；
—
1
很
2
1J1
P
2
7
7
3 M
2
7
_£
£4 = 1X ^^V2K X + 2X ^ + V^X - + 2V2X X^>~2^-2^ …… ........
数学试卷 ........................................................................................... "分
r 7 7 14 7 14 7
数学，珥科）磐考答案及评妙邮推第3页共11页
I土1本小题主要考查空间宜嵯与平而垂直、宜线与平面所成角等基础知识.力「-空:瓦您象能力舄运算.氏
怵能力等.本小映满弁14分）
证明】ED代为等边ZX.M。

曲边R为L U—= —=.1.
DH EA 1
所以』/> = 1 一AE = 2.
A J\ADE^,/fHE = 6tr,
由■我寤犀得2X】'2MS60 =7J.
因为Alf + DE i=AE2t
所^ADYDE
Vi ft In 4 J) -L />/:' . .............. ...................................................................................................................................................... 分W为二伯I佝4 -DE- fi是H 一一句队汕二"Ti 」；主BCED . (3)
廿
丈了面"DE / 平面BCED = D凹,平面&DE* A t D1 />A -
所以』/}| Ttfil^CW. ........................................................................................................................................................................ 4 分：2.解法L幄没4次N /^C I.A7I ■'.■：P .使村线PA{与平面A.BD所成的角为60*.
如图.柞尸〃1屈D于山”，性第儿打、&P . .............................................. 5分
ill (1)有如}1 flh: BCED.而PH u T ifJ /iCED +
所以4D_LZ7f. ......................................................................................................... 6 分
又.\D[}BD=D r
J?lUP/7±Y 而WED. .......................................................................................................................................................................... 7 分所以ZPA} H是在戏E*与平面毛HD所成的翔， ....................................................................................................节分
/T
过上8 = #(0WxW3)，WJ ////=-, PH = ^-x . (v)
分
2 ・2
数学，理科；参考答案及评分娇准第4页共11页
上Rt A PA i/1、Z.PA{ 11 — 60，言-以Aji-y x -…............................... ……，以。

升
^ERl /^A.DH中，A^D =1 t DH= 2--■ x -................................................................................................... 分
2
tud/r+/>〃' A H \
得2-4工）=[+" --- -- --- - --- ------ ----- ----- ---- ---- …口分= ?M0<X<3.符合履童................................................................... .................................................. 13 分所以fl戏段日。

上。

点户.使村建甲晰所成的谄为6。

'此时用=：■ .......................................................... M分解法队rti (1)的iHF驯,可知也)_L£®.4D【甲面风色，
或D为世标点由.以时姓ZJB. DE.D4分刈为黑釉、V轴、了忙的正布袖・登立空间直角坐标姨£）_砂如图. ................................................. .. ................................................ ******........... 5 分
设广B = 三2^三3）,
Jill UH = a t P. , DH =2 —a -............................................................ %分
所以4（QQ,l）. P（2-（J,VT^0）.£（”占,0）, ............................... f
所以=（a - 2,-J5d, ]）， ....................................................................... *......... ... .................................
因为m I平面g ,
所以平面4皿的个法向ii为页=（0,15,0）,… j “J” 1.…J.... ..................................................................... ...—g 分因为宜哉尸4与平曲W所成的角为6。

' |
J?iil sin60 - - I. -- ......................... ........... ............... ................................................ .……..... ......... .... ................... ......... 10 分PA^E
3” 力“八 -- -- ---- — 1 -昌号--*■ 4■+ • * + * 一■+ 卜 T ' w T + = --■，h-i-i -i-i-i-i.F* 卜-X
-*-8- ' T + r T ・• [ | 七；J 宕-&r+5x 右2
^ia = -................. ..................................................................................................................................................... ”分4
即PB-2a~-.谴足0 —SL祥fr题意，........................................... ............................ .. ........................................ 13分2
所以*既玳1:存fSP.顼仕坡E4与平面4乱D所成的的为6版,此时PB--........................................................... M分
2
教学L珥起：参考答案及忙分酝准第S力共II贞
数学试卷19, 1本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用筮辑川诰等基础知识*考查数形结合思想. 分美讨论思
握和运镰求解能力、拙象根括能力等'本。

、题满分14分）
解：丝莹函数f （® =b 一赢+1 —如皂［0,1］. I一与工轴有两个不同的交点.
/'(0)河，
龄"(A................................................................
C < £7 < L
A > 0.
1-2a^O,
2-4^0,
Rr""] ，- , i aa i|i aaa i BB.ai u.a.n■■^■■■ J ■■ A■ am ■ am ■ »■ ■.■.« ■ ■J a. ■ H.ia ■ II.«■a. a ■ KM a, ■.!■>■.■■ «■■ ■■»■» ■ ■■■■» ■-■-■■ ■ ■ Ji ■ n. Ji ■ ® ■ j-|
0 < (7 < I.
蕈群JI—1 <a^—-
2
所以^V2-l<o^-时，函®/(x)-^-2oi + ]-2a在[OU]上与x轴有两个不同的交点,…5分
F而求§任)-|星—可―以在(0,+时I•.有最小度1〃的取值范案
方法L因为g（对=「，、................................................................................................ 6分
［一（I + &）工 + 外X < a.
①当占>1时，g（x）在（队功料上单,送裱*菖（不）在（a+m）上无最小值；.............................................. 了分
—L 1
②当"rl时，g(x) =，’g(工)在(O,E)l 一有最小值一1：..................... .... ....... .. ................ H分
—zx + L x < 1«.
③时，§（力在（"■）上单调逆被，在叵g）上单跪E混
号(X)在(0、+x}_LT7敲小侑莒(口) = -/ - ....................................... - ......................... ..... —...................... 粉所以当时,函数g(x)在(Q,心)上有最小值一................................................. -............................ ——...................... m分. f . [(l-fl)x-e?. x^a.
方法土因为= S ----- ….……I. - + …….…-弓兮
-(1 + xi).T4- tr, x <a.
数学（.理科》参舂答案就评分舜准第6定共1T页
数学试卷
闵为£T>0, /nti-(l+a)<0 .
.所以函薮y + +............................................................................. ［分饕使菖（对在（0,*互）上有最小值，必^y2=（l-a）x-a在上单调递漕成为常数，……g分
UH—tigi y[f , .......................... .................................................................................................................................. ・*・小99*所以汽OC口或时*两数茜（一t）在（什斯）I村最小值. ...................................................................................... 10#
若（F）7是宜命我.虹「『底直.陋匿汀g是直台魏.叫『是假食霆；1用是点命姓. (11)
小<口名/?-1,戒心；
JWrJ < 2 ....... ................ ........ ................. ..... .... .......................... .. ........ ... ................... +" \2V [0<a^\.
孕得D < K也-IL或-<£f^.l, ,•………… ..................................................... .... ........ . ................. ... ......... .... .................... 53分
2
故丈敢&的取位鬼密为（。

,JT-nu|?.q. ............................................................................................................................ M分20」本小题主要考查动点的轨逐利直线与圆锥•携的位置关系、寻数的儿何意义箸基珀知识,毒查运算
求解能力利摧我论证能力等.本小四满分14分）
林I <n 。

劝网网心为（％,）,依增攻甜，W （y 1）'=|I| .................................................................................... I分整型，-4j 所以靛迹』诺的方程为言- 4y ,............................................................................................................................. 2 5>方法2：设动圆圆心为尸.依恩意得点尸乡」”仙1）的距葛利点尸到定直经尸=一1的距离相务
根抠抛莪映的定义凹加・动4F的株遮是擂物谜，.................................................................................................... I分.IL其中就"[叫楸：队定.忙她』••二I为准线一
所*动圆圈心P的轨芯M的方程为F - 4_『. .......................... ................................................................................... 2分（2）ft] （I）? =4y.叩夕= 2_j. Wjy = lx . 4 2
改点D[J^ i^2L 曲导数的儿何意叉却，直线]的斜率为女王二上占]. ............................................................................ E
I 4 ..* 2
由■意如点彳一咒二虹设点cf^F y^l Y 廿
数学・理科｝参考答秦及详分标准第了页共11页
数学试卷
+ jtzg =———+—_ = ————=01 @p k Ar = —#福- --------------- --- 1+6 分•HL 4 A a 方L
4 4 4
所以ZBAD = 4AD 一............................................................................................................................................................... 7；> 方法1；由点八智IB的非离等r、|日/?|，洱灯= 4W. ................................................................................................ M分不妨设点< 在』BI:方（如袈-）.EP x r< I,，直绣」臼的万程为：-（工*也）,
*得点8的坐标为|%-4*：（易」4「"-…一… ------------------------------- ...-+-1---,--……….-川分
所以|如|二曲心-4）-（-^ = X% -中
由⑵ 知ZCAD=ZBAD = 45\同理可得|乂。

［= 2龙|吒-1』一................................................................... 11分所以A ABC的面积$ = ｝：2回％-牛2龙尾十牛可虹-4| = 20,
鲜蒂冲—±3. ■*—...+i......- .................... --.................. ...+......一...... ...+--------- + ........... ...+ ........ .. (2)
< | T; 土
气易=3时.矛的坐标为一:一一"k sc 1 1
立我EC的方程为亍_彳_；（1+1）,即6x-4y-7 = o. (3)
马临-T时.一点8内平.标为|'—? 一主"瞄产三'
49 3
BC的方程为［一-^- ——：（JC一？），ET 6J 1 4y 7 =0 . j+--------- --- ---- - --------- ---- --- T4 分
72,,
方法L 由点Z）到曷的距离等于二「何月"可灯£繇£> = 45、............................................................................. 吕分数学（.理科）参考答素及评分标方第盲页共11页
由⑵ZCW = Z5/lZ>-45：,所以ZC45-90，即ACYAB.
由耕）制|&#=丑二占
4 114
所以七％ =宁"峙一」
即（与-瓦）（/-用）=-】6
山” > 知jj + Xj = 2x0. ②
不妨没在。

在,45上方做雇％即毛〈如由①、②娜粉』* = *"十*...................................................................... 1晚
氐二%-4
因为|&| = J（号+《' +、%卫一%2）=2#幅一牛
同理Bq=21/^棚+2|. .................................... ....... ........... ..... ........ ....................... ... ......... .................... .... ........................... u分以F层方法1.
占」木小<8十要考UE函般的本点,函散的寻散和不等式的印职亭瑞咪加识.寿在运鼻来解能力和推用论证能力辱♦本小鹿满分14分）
证明：很〉因为/（O）=T<（E /［）= //> （h 11/（对在R I II勺朋像是条性统靴知
所以函数「J）在（0,1）内有零点. .................................................................................................................... •［分闵为r”）-*2十系》。

，
所以曲数，（刀）在&上午调谖希一..................................................................................................................... X》所骐函数JG）在R上只有一个零点，H零点在区同（（M）内.
而七是脂数/（同的亨点.
所以。

<% < 1 .......................................................... . .... ..... ...... .................. ... ........ ..................... ..... .......................... 多分
<2）先近引拒边的不等式：
因为£j“ + n~ a f—I 0 -
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敷学（理科〉•考答褰股评分标准第9员共11页
数学试卷
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数学试卷
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再证明客边的不等式】
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数学：■理科J参与答素及许分标准第11页共11员
数学试卷
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