浙江省开化中学2013-2014学年高二10月阶段回顾测试数学(理)试题Word版含答案

开化中学2013年10月阶段回顾测试
高二数学（理）试卷
命题人：张小臣 校对：余伟娜 2013年10月
一、选择题（每小题5分，共50分.）
1.设全集U R =，集合2
20{|},A x x x =-<集合1{|},x
B y y e ==+则
A B =……………………………………………………………（ ） A ．1{|}x x > B ．2{|}x x > C ．12{|}x x << D ．12{|}x x ≤<
2.若点1(,)a -在函数12
log y x =的图象上，则6tan a π
的值为 （ ）
A ．0
B .
C .1
D .
3.若直线l 与直线17,y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为
11(,)-，则直线l 的斜率为………………………………………（ ）
A ．13- B. 13 C. 32- D. 23
4.已知,αβ是空间中两个不同平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则
下列命题中错误的是 ……………………………………………（ ） A ．若//,,m n m α⊥ 则n α⊥ B. 若,,m m αβ⊥⊂ 则αβ⊥ C ．若,,m m αβ⊥⊥ 则//αβ D . 若//,,m n αα
β= 则//m n
5.已知整数,x y 满足264340x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪-+≤⎩
,则x y +的最大值为…（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．192
6.设函数)22
,0,0)(sin()(π
ϕπ
ωϕω<
<->≠+=A x A x f
的图像关于 直线32π
=
x 对称，它的周期是π，则 ………………………（ ）
A ．)(x f 的图象过点)21,0(
B ．)(x f 在]3
2,
12[π
π上是减函数 C ．
)(x f 的一个对称中心是)0,12
5(π
D ．)(x f
的最大值是A 7.在直三棱柱111A B C ABC
-中，1190,BCA D F ∠=、分别是1111A B A C 、的中点，且
1B C C A C C ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值为（ ）
A ．
1
2
B. C. D. 8.经过点11(,)P 的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方
程为 ………………………………………………（ ） A .0x y -= B. 20x y +-= C .210x y -+= D. 230x y +-=
9.已知函数31090,(),x x f x x
x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩
，若关于x 的方程2
2()f x x a +=有六个不同的实根，则实数a 的取值范围是…………………………（ ）
A ．28(,]
B . 09(,]
C . 89(,)
D . 89(,]
10.已知正四面体ABCD 的棱长为2，所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和是……………………………（ ）
A
．3+ B
．2+ C ．4 D
．
二、填空题（每小题4分，共28分.）
11.已知过点24(,),(,)A m B m -的直线与直线210x y +-=平行，则实数m 的值为 .
12.已知 a b 、
均为单位向量，它们的夹角为60，那么3a b += . 13.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图 所示，则此几何体的体积是 cm 3． 14.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
12323,,S S S 成等差数列， 则等比数列
{}n a 的公比为 .
15.已知正三棱锥P ABC -，点,,,P A B C
,,PA PB PC 两两互相垂直，则正三棱锥P ABC -的高为 .
16.已知函数()f x 对任意x R ∈都有422()()()f x f x f +-=，若1()y f x =-的图象关于直线1x =对称，且12()f -=，则2013()f 等于 . 17.如图， 斜边长为4的直角ABC ∆,
=90B ∠,60A ∠=且A 在平面α
上,B C 、在平面α的同侧,M 为
BC 的中点.若ABC ∆在平面α上
正视图
侧视图
的射影是以A 为直角顶点的三角形''C AB ∆，则M 到平面α的距离的取 值范围是 .
三、解答题（共72分，需写出必要的过程和文字说明.）
18．（本题14分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c,、、3
C ,π
=
5b ,ABC =∆ 的面积为(I)求a c 、的值；
(II)求6
A π
+sin()的值.
19．（本题14分）在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线方程为210x y -+=， A ∠的平分线所在直线方程为210.x y --= （1）求点A 的坐标；
（2）若B 点坐标为06(,)-，求边BC 和AC 所在的直线方程.
20．（本题14分）已知指数函数()x
g x a =满足： 1
38
()g -=
，定义域为R 的函数1
()()()g x f x g x m
-=
+是奇函数.
（1）求()f x 的解析式；
（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并求函数的值域；
（3）若不等式：2
423()x x t f x +≥-+对12[,]x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.
21. （本题15分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

（1）求证：FH ∥平面EDB ； （2）求证：AC ⊥平面EDB ； （3）求二面角B DE C --的大小.
22.（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212 k k a a -，是关于x 的方程
2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212k k a a -≤(1 2 3)k =，，，．
（I ）求1a ，3a ，5a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（Ⅲ）记sin 1()32sin n
f n n =+⎛⎫ ⎪⎝⎭， (2)(3)(1)1234212(1)(1)(1)f f f n n n n T a a a a a a +----=+++
…, 求证：15
()624
n T n ∈*N ≤≤．
开化中学2013年10月阶段回顾测试
高二数学（理）参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分.）
1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.D 10.A 二、填空题（每小题4分，共28分.）
11
212
3
π 14. 13 15.
16. 2 17. 5
(2,)
2
三、解答题（共72分，需写出必要的过程和文字说明.） 18．解：（I
）
152
3
ABC S ab sinC a sin
π
∆=
=∴⨯⨯= ，
得8a = …………………………………………………………………3分
由2
2
2
2c a b abcos C c =+-⇒=
7== ………………………………………6分
（II
）
8277
sin ,sin sin sin a c a C A A
C
c =
∴==
= ……9分 222
22257812257
7
cos b c a A bc
+-+-=
==⨯⨯………………………………11分
1
1136
6
67
2
7
214
s i n ()s i n
c o s
c o s A
A A π
π
π+=++
⨯
= …14分
19．解：（1）顶点A 就是两直线210x y -+=与210x y --=的交点， 由210
210x y x y --=-+=⎧⎨
⎩解得11(,)A …………………………………………4分
（2）直线BC 就是点B 向直线210x y -+=所引的垂线，
∴直线BC 的斜率为2BC k =-，根据直线方程的斜截式的直线BC 的方程为
26y x =--，即260.x y ++=…………………………………8分
由于210x y --=是A ∠的平分线所在的直线方程，∴06(,)B -关于直线
210x y --=的对称点1(,)B a b 一定在直线AC 上，则,a b 满足条件：
6
12
621022
b a a b +⎧=-⎪⎪⎨
-⎪⨯--=⎪⎩，解得144(,)B --……………………………12分 ∴直线AC 的方程为0.x y -=
故边BC 和AC 所在的直线方程分别为2600,.x y x y ++=-=…14分
20．解：（1）由3113288
()g a a --=⇒=⇒=， 212()x x f x m -∴=+
又()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即2121
22x x x x m m
----=-++
化简得122x x m m +=+对x R ∈恒成立，1m ∴=
故21
21
()x x f x -=+ …………………………………………………4分
（2）2
121
()x f x =-+，其定义域为R ，
由2x
为增函数可知()f x 是R 上的增函数 …………………………6分
12
1210120112121
,,,x x x x -<+∴<<-<<∴-<<++
即函数()f x 的值域为11(,)-…………………………………………9分
（3）2
42
3()x
x t f x +≥-+对12[,]x ∈恒成立等价于
22223()x x t ≥--对12[,]x ∈恒成立 ……………………………11分
而在12[,]上2
2
2223214()()x x
x
--=--的最大值为5 ………13分 故5t ≥ ……………………………………………………………14分
21. 证明：（1）设AC 于BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连接EG ，GH ，又H 为BC 的中点，∴GH ∥AB 且GH =12AB ，又EF ∥AB 且EF =12
AB
∴EF ∥GH 且EF =GH ， ∴四边形EFHG 为平行四边形 ∴EG ∥FH ，
而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB ．………5分
（2）由四边形ABCD 为正方形， 有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC
而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ， 又BF =FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABCD ， ∴FH ⊥BC ，FH ⊥AC ，又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ，
又AC ⊥BD ，EG ∩BD =G ， ∴AC ⊥平面EDB . ………………10分 （3）EF ⊥FB ，∠BFC =90°，∴BF ⊥平面CDEF ， 在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ， 则∠FKB 为二面角B-DE-C 的一个平面角，
设EF =1，则AB =2，FC ，又EF ∥DC ，∴∠KEF =∠EDC ，
∴sin ∠EDC =sin ∠KEF =
3，∴FK =EF sin ∠KEF =3
，
tan ∠FKB =
BF
FK
=，∴∠FKB =60°， ∴二面角B-DE-C 为60°．…………………………………………15分
22.解：（I ）方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根为13x k =，22k
x =，
当1k =时，1232x x ==，，所以12a =； 当2k =时，16x =，24x =，所以34a =； 当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；
当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．…………………5分
（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =++
+++++
2133222
n n n ++=+-． ……………………………………9分
（III ）证明：(1)
123456212111(1)f n n n n
T a a a a a a a a +--=+-++
， 所以112116T a a ==，21234115
24T a a a a =
+=．…………………11分 当3n ≥时，(1)
3456
212111
(1)6f n n n n
T a a a a a a +--=+-+
+
， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥2311111662622n ⎛⎫
+-++ ⎪⎝⎭≥ 111
6626
n
=+>，…………………………………………………13分 同时，(1)
5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++
5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤31
511112492922n ⎛⎫
-+++ ⎪⎝⎭≤
515
249224
n =-<
． 综上，当n ∈N*时，15
624
n T ≤≤．……………………………15分。