交叉圆柱节点接触热阻理论和实验研究

中国工程热物理学会 传热传质学 学术会议论文 编号：093448 交叉圆柱节点接触热阻理论和实验研究
王建立，宋柏，顾明，张兴
（热科学与动力工程教育部重点实验室，清华大学工程力学系，北京 100084）
（电话：************，Email:********************.cn ） 摘要：本文对准稳态“T ”形法中的热线与待测线间的接触节点进行了力学和热学模型分析，在椭球坐标系下，得到了交叉圆柱间接触热阻的理论计算模型。

利用已开发的准稳态“T ”形法实验系统，测量了接触热阻随温度的变化。

发现考虑热线弯曲变形以后，利用弹性变形理论计算得到的接触热阻与实验测量结果吻合较好，且都随着温度的增加而减小。

关键词：交叉圆柱，接触热阻，准稳态“T ”形法，弯曲变形
0 前 言
由于材料宏观尺寸不规则以及表面粗糙度的影响，材料不可能完全接触，从而引起接触点处热流收缩。

当热流，Q ，从界面的一侧输运到另外一侧时，总会引入一个额外的接触热阻。

设两侧温差为∆T ，接触热阻可以表示为：
j T R Q ∆=. (1)
随着微纳米尺度传热以及量热技术的发展，接触/界面热阻将成为制约微纳米器件热输运性能的关键因素，使得相关的理论和实验研究成为目前的研究热点[1]。

由于受到表面形貌、接触材料力学、热学性能等综合因素的影响，研究复杂接触界面的热阻问题非常困难。

理论研究包括单点接触[2-8]，多点接触[6, 9]，表面形貌分析[10]，接触形变分析[10,11]等方面。

对于单点接触问题，力学和热学模型建立相对简单，在航天航空、核能利用、低温存贮等领域受到广泛关注。

根据接触面形状以及边界条件不同，单点接触又分为圆盘接触模型[6]，圆柱模型[7]，圆锥模型[8]等。

在实验研究方面，一般采用一维稳态热流法[4, 12-14]测量。

目前为止，很少关于单点接触热阻随着温度的变化关系的报道[13, 14]。

本文利用开发的准稳态“T ”形法[15, 16]，在100至300K 温度范围内，测量了交叉圆柱间节点的接触热阻。

在准稳态“T ”形法中，利用 高纯Pt 丝同时作为加热器和温度传感器，在Pt 丝中通入一定频率的交流电；将另一根待测Pt 丝一端固定在热沉上，自由端搭接在热线中间位置。

由于待测线自由端偏离了其自然平衡位置，热线与待测线间存在节点作用力，从而保证了待测线与热线接触稳定。

通过力学分析，求解得到接触节点的弹性形变，建立了椭球坐标系下的导热模型，从而理论预测了节点的接触热阻，实验测量了交叉圆柱间点接触热阻随温度的变化，发现与理论预测结果吻合较好。

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基金项目： 国家自然科学基金资助项目（No. 50676046；No. 50730006）
1力学分析
如图1所示，在准稳态“T ”形结构中，待测线作为悬臂梁一端搭接在热线中间位置。

如果待测线处于自然平衡状态，由于不存在节点作用力，其自由端和热线之间是点接触。

如果待测线搭接位置与其自然平衡状态存在一个小挠度，δ，通过对悬臂梁力学分析，接触节点将存在作用力
33s s s E I F l δ=, (2)
其中E s 和l s 分别表示待测线的杨氏模量和长度，惯性矩I s 的表达式为
4
64s s D I π=, (3)
D s 为待测线直径。

由于待测线与热线之间存在作用力，接触面将是如图1所示的椭圆面。

如果待测线与热线是相同的材料且具有相同的直径，得到的接触面将是圆盘面。

接触面积随着作用力的增加而增加，在小变形假设下，接触面积也随着悬臂梁挠度的增加而增加。

图1 准稳态“T ”形法节点接触形貌分析
图2 考虑热线弯曲变形的形貌分析
假设交叉圆柱在接触节点发生弹性变形，根据Hertzian 理论[17]，椭圆接触面的长半轴（沿大圆柱直径方向）和短半轴（沿小直径方向）的表达式 [18]为
1/32211s h s h s h s h D D a F D D E E ννα −−=+ +
, (4)
和 b a β=, (5)
其中ν表示材料的泊松比，系数α 和 β随着D s /D h 的变化而变化，参看文献[18]，下标h 和s 分别表示热线和待测线。

热线可作为简支梁，两端分别固定在热沉上。

假设待测线搭接在热线中间位置，节点作用力将在热线产生最大的挠度为
348h h h Fl E I ε=. (6)
值得注意的是，热线弯曲变形将增大待测线与热线的接触面积。

假设接触面仍是椭圆面，如图2所示，沿着待测线直径方向的半轴长度可以表示为
s h D c l ε=
. (7)
2 导热模型 假设接触椭圆面的长轴和短轴均远小于热线以及待测线的直径，且接触面为等温面，在真空条件下，不考虑热线弯曲变形的影响，可以将接触面作为等温热源，从而得到如下控制方程以及边界条件（以待测线为例）：
222222
0T T T x y z ∂∆∂∆∂∆++=∂∂∂, (8) c T T ∆=∆, 0z = 且 22221x
y a b +≤; (9)
0T z ∂∆=∂, 0z = 且 22221x y a b +>; （10）
0T ∆=, z →∞.
（11）其中∆T c = T c - T 0，T c 为接触面温度，T 0为无限远处温度。

显然三维温度场的等温面为同心的椭球面，椭球等温面方程可以表示为：
222
221x y z a b θθθ++=++ (12)
其中θ是λ, µ和ν 的函数，λ, µ, ν 分别表示正交的椭球坐标系。

可以证明，如果λ>−c 2>β>−b 2>ν>-a 2, 将λ, µ 和ν 分别代替式（12）中的θ，得到的方程将满足正交条件, 且等λ面表示椭球面，等β 和等ν 分别表示双叶双曲面。

因此，x , y 和z 分别表示为λ, µ和ν 的函数：
()()()()2222222a a a x a a b λµν+++=
−, (13) ()()()
()2
222222b b b y b b a λµν+++=−, (14)
222z a b λµν=. （15）
在任意曲面坐标系下，Laplace 方程可以表示为
3122313120h h h T T T h h h h h h λλµµνν ∂∂∆∂∂∆∂∂∆++= ∂∂∂∂∂∂
, (16) 其中h 1，h 2，h 3表示Lame 系数。

对于本文的椭球坐标系，Lame 系数分别为
1h =
,2h =和
3h =，其中
()()()22f a b ξξξξ=++。

根据椭球坐标系中温度场的对称性，Laplace 方程可以简化为
0λ∂=∂. (17)对式（17）积分，且满足边界条件[式（
11）]，可以得到温度分布 T B λλ∞
∆=−. (18)
同时为满足边界条件[式（9
）]，系数B 可以表示为
10c B T λ−∞
=−∆ , (19)
根据Gauss 定理，通过接触面的总热流为
s T Q k dS λ∂∆=−∂∫∫, (20)
其中k s 为待测线的热导率。

理论上可以通过Jacobi 矩阵关系式对椭球面进行积分，但是非常复杂。

在无限远处将椭球面积分简化为圆球面积分，可以得到总热流表达式
104s c Q k T πλ−∞
=∆ . (21)
最终得到由于接触界面的宏观尺寸不一致导致热流收缩而引入的接触热阻表达式
014c cs s
T R Q k λπ∞∆==.
(22)对被积函数进行积分变换，且令sin τ=，可以得到
2012cs s R k a πτπ=∫. (23)
同理，用热线的热导率k h 代替式（23）中的热导率k s ， 就可以得到热线侧对应热阻R ch 的表达式。

如果考虑热线弯曲变形的影响，用待测线直径方向的半轴长度代替式（23）中长半轴a ，就可以分别得到R cs 和R ch 。

3 热阻分析
图3 接触点的形貌分析
在以上讨论过程中，忽略了辐射换热的影响，同时假设在接触面内，热线与待测线良好接触。

界面粗糙且宏观尺寸不一致的节点热阻模型如图3所示。

如果同时考虑辐射、气体导热，且认为接触面内只存在有限接触点，总的节点热阻可以表示为[19]：
1111j c r g
R R R R =++. (24)
其中 R r 和R g 分别表示辐射和气体导热热阻；R c 为接触热阻， ()1,,111c cs ch mic mic r mic g R R R R R R −=++++, (25)
其中R cs 和R ch 可以由式（23）得到，R mic 表示接触面内有限接触点的总热阻，R mic,r 和R mic, g 分别表示离散接触点间形成的孔隙所导致的辐射和气体导热热阻。

在高真空下，工作温度小于600℃，两界面温差小于200℃，研究表明辐射热阻和气体导热热阻均远大于接触热阻[19]。

Clausing 等[4]通过理论和实验研究发现，对于抛光
金属的点接触问题，大尺度热流收缩导致的热阻要远大于微观离散接触点引入的热阻。

对于本文研究的交叉圆柱问题，这个结论是否成立需要用实验验证。

3 接触热阻实验测量
表格 1 实验参数. 测量温度范围：100K ～300K
样品 直径,(µm) 长度,(mm) 杨氏模量，
GPa 泊松比 系数 α 系数 β
热线 10.0 7.54 待测线 29.0 11.85
171 0.39 1.350 0.482 表格 2 力学性能计算结果
δ (mm) F ,(10-7N) ε ,(10-5m )
a ,(10-8 m)
b ，(10-8 m)
c ，(10-8 m)结果 1.00
1.51 1.61 3.02 1.45 6.19
通过已开发的准稳态“T ”形法测量系统[15,16]
，可以准确测量热线和待测线间节点
图4 在搭接待测线前后热线的电阻温度关系。

图5 校正得到热线的热导率和热扩散率随温度的变
化关系。

图6 比较理论预测与实验测量得到的接触热阻随着温度的变化。

的热阻抗。

理论和实验研究表明，对于本文研究的干式节点接触问题，由于不引入任何界面材料，准稳态下的热阻抗将等效于稳态接触热阻，从而可以用于验证交叉圆柱间接触热阻理论模型的准确性。

实验采用10µm直径Pt丝（纯度99.95％）作为热线，测量30µm相同纯度的Pt丝。

表1给出了实验的具体参数。

文献[15,16]已经详细介绍了准稳态“T”形法的实验原理，测量系统和实验过程。

在搭接待测线前后稳定的热线电阻温度关系对于实验精度非常重要。

图4显示了Pt热线的电阻温度关系，纯Pt的阻温系数如图中实线所示。

可以发现，搭接待测线前后热线的阻温系数基本不变，偏差最大不超过1.5％。

图5显示校正热线得到的热导率和热扩散率随温度的变化关系。

可以发现，Pt热线热导率随着温度增加而增加，与稳态法测量得到的热导率趋势相同[20]，而在相同的温度范围内，纯Pt热导率随温度下降略有增加；热扩散随温度增加而减小。

利用以上得到的热线热物性数据，在测量温度范围内采用常温Pt的杨氏模量和泊松比（如表1所示），可以得到节点热阻的理论计算结果。

表2给出了计算得到的节点作用力、热线挠度、椭圆接触面的半轴长度。

由于实验中热线的直径小于待测线，接触面的短轴和长轴将分别沿热线和待测线的直径方向。

如果考虑热线挠度的影响，接触椭圆面的长半轴c将大于不考虑挠度时的长半轴a；热线饶度，ε，约是待测线自由端饶度，δ，的1％，因此节点作用力可以用式（2）近似计算；接触面长轴小于热线直径的1％，满足半无限大导热模型假设。

图6比较了理论预测的接触热阻与实验测量结果。

从图中可以发现，两者趋势基本相同，在100-300K温度范围内，接触热阻均随着温度增加而减小；不考虑椭圆接触面内离散接触点的影响，理论预测与实验数据在相同的数量级；不考虑热线挠度的影响，理论预测结果明显大于实验数据；考虑热线挠度影响，实验数据与理论预测较好吻合，但理论预测随温度的变化结果比实验数据平缓，可能原因是热线过细或者略有弯曲，其作为简支梁的假设不成立，将导致常温下接触椭圆的长半轴c将大于理论预测值，且随着温度降低而减小。

从实验结果可以发现，对于抛光金属节点，通过建立相应的力学和热学模型，能够理论预测接触热阻的大小。

5 结论
本文对准稳态“T”形法中的热线与待测线间节点的接触热阻进行了理论和实验研究。

通过建立交叉圆柱间节点的弹性力学模型，得到椭圆接触面的形貌尺寸。

在椭球坐标系下，分析了由于界面宏观尺寸不规则引入的节点接触热阻，并得到了接触热阻的理论关系式。

利用已开发的准稳态“T”形测量系统，在100至300K范围内测量了接触热阻随着温度的变化关系，并比较了考虑和不考虑热线弯曲变形条件下理论预测的结果。

研究表明，考虑热线弯曲变形以后得到的理论预测接触热阻能够与实验结果较好吻合，从而为研究接触热阻提供了新的实验测量依据。

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