P波入射反射、透射系数推导

P 波入射Zoeppritz 方程的推导
根据弹性力学的假设，介质是均匀各向同性的无限大介质，平面波是一种最简单的波动形式，其以波面为平面的形式在介质中传播，即平面波在垂直于波传播的任一平面上，各点的振动是同相的，实际上并不存在激发平面波的震源，所以它是一个数学抽象了的波动过程。

点震源激发的球面波向四面八方传播，当其距震源足够远时，在这个地方研究一个局部的等相位面，可以将其看成一个平面波。

在理论上，任何类型的波都可以用平面波的合成形式来表示，所以平面波是波动现象中最基本的形式，也是理论研究和实际应用的基础。

在地震勘探中，讨论在两种不同的介质分界面上的波的传播现象是十分重要的。

一般分为两种情况进行讨论，第一种，我们所研究的地球介质按其物性变化是分层的，具有层装结构。

因此，讨论两种弹性性质不同的介质分界面上波的传播情况。

第二种，地球表面是一个特殊的分界面，它将无限介质划分为两个半空间。

地面以上的空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层及岩石层的密度相比可以忽略。

因此，地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，称为自由面，其上的应力作用为零。

根据本文所讨论的地质模型所涉及到的地质灾害，我们只讨论波在第一种介质分界面情况下波的传播，即平面波在弹性分界面上的反射与透射。

1.1波函数
设有一平面谐纵波入射到两种半无限弹性介质的分界面上。

在这种情况下，波不仅会折回到入射介质中传播，而且会透射到另一种介质中传播；即同时存在反射波和透射射波。

反射波和透射波中都包含纵波和横波两种成份。

P 波在介质分界面上的反射和透射情况如图所示：
关于位函数我们首先看：沿任意方向传播的平面波。

设N 是一个任意取定的单位方向矢量。

N li mj nk =++ （1） 下面来看沿N 方向的平面波，或称三维平面波的波函数形式。

三维平面波的波函数f 满足三维波动方程，即：
222222222
1f f f f
x y z V t ∂∂∂∂++=∂∂∂∂ （2） 这里我们通过和一维平面波函数类比，可以得出三维平面波函数的形式。

我们知道，在一维平面波的情况下，空间任意一点(),,x y z 上的波函数值只取决于x 。

于是沿x 正方向传播的
平面波的波函数为1(,)()f x t f x Vt =-。

其中的x 实际上是从原点至(),,x y z 点所在波面的垂直距离，即00d x y z =++（一维平面波的传播方向的单位矢量为N i =。

在三维平面波情况下，这一距离应为d lx my nz =++。

因此，将一维平面波函数中的x 以lx my nz ++代替应该可以得到三维平面波的波函数）即：
1(,,,)()f x y z t f lx my nz Vt =++- （3）
同一维平面波一样，式中的t 为波沿N 方向的传播时间。

1()f lx my nz Vt ++-代表一个沿N 的正方向传播的平面波。

同理，1
(,,,)()f x y z t f l x m y n z V t =+++代表一个沿N 的负方向传播的平面波，在一般情况下，
沿任意方向N 传播的平面波的波函数可写成：
11(,,,)()()f x y z t f lx my nz Vt f lx my nz Vt =++-++++ （4）
1.2平面简谐波：
平面简谐波是是波函数为简谐形式的平面波，也是数学上最容易处理的一种波。

因此，在研究波的传播问题时经常使用简谐波假定。

沿x 正方向传播的平面简谐波的波函数可写成：
(,)
c o s ()f x t f k x V t =- （5）
或
0(,)sin ()f x t f k x Vt =- （6）
上面两式分别代表的是余弦形式和正弦形式的平面简谐波。

我们最常使用的是指数形
式的平面简谐波 ()
0(,)jk x Vt f x t f e -= （7）
通过取上式的实部或虚部即可得到余弦形式或正弦形式的平面简谐波的波函数。

上面各波函数中的0f 称为波的振幅，因为波函数值总是在0f -和0f +之间变化。

下面讨论波函数中其他各量的意义及它们之间的关系。

为此，首先“固定”时间变量t 以考查波剖面的情况。

不难验证，
2(,)(,)f x t f x t k
π
+
= （8）
这表明，波剖面的值每隔
2k
π
距离重复一次。

因此我们将这个量称为波长，记为λ， 2k πλ= 同时，把 2k π
λ
=
称为波数。

可见波数就是2π距离内所含的波长个数。

再“固定”空间变量x 以考查振动图的情况。

容易看出， 2(,)(,)f x t f x t kV
π
+
= （9） 这说明，振动图的值每隔2kV
π
时间重复一次。

因此将这个量称作周期，记为T ， 2T kV V
πλ=
= 由此可见，周期即为波传播一个波长距离所用的时间。

另外， 22k VT V V
ππγω=== 其中1
T
γ=
和2ωπγ=分别为频率和圆频率。

利用上面得到的各量之间的关系，可将平面简谐波的波函数写成如下等价形式： 2()
()
00(,)j
x Vt jk x Vt f x t f e
f e
π
λ
--==
()()
(2)
000x j t j kx t j kx t V
f e
f e
f e
ωωπγ---===2()
0x
j t f e
πγλ
-= （10）
沿任意方向N li mj nk =++传播的平面简谐波的波函数可写为
()
0(,,,)jk lx my nz Vt f x y z t f e ++-=()
0x y z j k x k y k z Vt f e
++-= （11）
因此二维平面波的波函数可以写成：
(,,,)f x y z t =()
x y j k x k y t Ae
ω+- （12）
我们可以写出入射P 波、反射波P 波、反射SV 波、透射P 波和透射SV
波的位函数：
X
(1)(1)
()
(1)1
x z j k
x k z wt Ae ϕ+-= （13） (2)(2)
()
(2)2x z j k x k z wt A e ϕ+-= （14） (3)(3)()
(3)
3x z j k x k z wt A e
ψ
+-= (15) (4)(4)
()
(4)4x z j k
x k z wt A e ϕ+-= (16) (5)(5)
()
(5)5x z j k
x k z wt A e ψ+-= (17)
上式中 1
(1)(2)/s i n x x p k k w v α==，1(3)
/sin x s k w v β=， 2(4)'/sin x p k x w v α=，2(5)
'/sin x s k w v β= （18）
且有 (1)(2)(3)(4)(5)
x x x x x k k k k k ==== （19）
由此可得反射和透射定律（斯奈尔定律）如下：
1122''/sin /sin /sin /sin p s p s v v v v αβαβ=== （20）
另外，由图可见：1(1)
/cos z p k w v α=，1(2)
/cos z
p k w v α=-，1(3)/cos z s k w v β=-，
2(4)'/cos z p k w v α=，2(5)'/cos z s k w v β=
在介质I 中，总的位函数为(1)(1)
(2)(2)
()
()
(1)
(2)
11
2x z x z j k x k z wt j k x k z wt Ae A e
ϕϕ
ϕ
+-+-=+=+ （21）
(3)(3)
()
(3)13x z j k
x k z wt A e ψψ+-== （22） 在介质∏中，总的位函数为(4)(4)
()
(4)24x z j k x k z wt A e
ϕϕ+-== （23） (5)(5)()
(5)
25x z j k x k z wt A e
ψψ
+-== （24）
1.3边界条件
我们知道，介质分界面处的边界条件为位移连续和应力连续。

因此，可写出本问题的边界条
件如下：在Z=0处 12
12
1212
()()()()zz zz zx zx u u w w σσττ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ （25）
（1）位移连续：
地震波在传播过程中质点振动的位移u 可以分解为其标量位的梯度与与其矢量位的旋度之和的形式，有：
u grad rot ϕψ=+ （26）
同时 u ui vj k ω=++ （27） 设 x y z i j k ψψψψ=++ （28） 将式（26）按梯度和旋度公式展开，得到u 的3个分量为：
y
z x z y x u x y z v y z x w z x y ψψϕψψϕψψϕ⎧∂∂∂=+-⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+-⎨
∂∂∂⎪⎪∂∂∂=+-⎪
∂∂∂⎪⎩
（29） 研究空间传播的平面波时，一般情况下选择直角坐标系，可使得波前面与一个坐标轴（如
y 轴）平行，此时方向余弦cos 0β=。

这样，波前面在y 轴方向上无限延伸，波函数与坐
标y 无关，于是有
0y
∂
=∂ 此时，式（29）中对y 的导数项变为0，则式（29）变为：
y x z y u x z v z x w z x ψϕψψψϕ∂⎧∂=-⎪
∂∂⎪
∂∂⎪
=-⎨∂∂⎪∂⎪∂=+⎪
∂∂⎩
（30） 这说明位移分量可以分为两部分其中一部分时位于x z -平面内的位移分量u 和w ，它们只与ϕ和y ψ有关，含有P 波和SV 波成份；另一部分是垂直于x z -平面的位移分量v ，它只与x ψ和z ψ有关。

且只含有SH 波成份。

这一结果表明，可将P 波和SV 波作为一组与
SH 波分开来处理。

我们在讨论P 波和SV 波时使用位函数ϕ和z ψ然后由（30）式过渡到
位移。

为简单起见，记y ψψ=。

u x z
w z x ϕψϕψ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨
∂∂⎪=+⎪∂∂⎩
（31）
ϕ和ψ满足下面的波动方程：
22222
222
11p s V t V t ϕ
ϕψψ⎧∂∇=⎪
∂⎪
⎨
∂⎪∇=⎪∂⎩
（32）
（2）应力连续 首先由虎克定律有：
2zz zz e σλθμ=+ （33） zx zx e τμ= （34）
虎克定律阐述了应力和应变的关系。

再看应变的定义式：
zz w
e z
∂=
∂ （35） zx xz w u
e e x z ∂∂==+
∂∂ （36） 应变的定义式阐述了应变和位移的关系。

再由位移和位移位的关系式：
x z u x z v z x w z x ϕψψψϕψ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪
∂∂⎪=-
⎨∂∂⎪
∂∂⎪=+⎪∂∂⎩
（37） 体应变的关系式：
xx yy zz u v w
e e e x y z
θ∂∂∂=
++=++∂∂∂ （38） ()22
2p s v v λρ=- （39）
2s v μρ= （40）
由以上各式可得到：
()2
22222z z z z
p
s
s
u v w
w e v v v x y z
z σλθμρρ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
⎝
⎭
将（37）式代入上式得到：
()2222222
2222x z zz p
s
v v x
x z y z x y z x z ψψϕψϕψσρ⎛⎫∂∂∂∂∂∂=--+-+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2
2222s v z z x ϕψρ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂∂⎝⎭
式中：223()x y z y z x x y z ψψψ∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂，223()z x y x y z x y z
ψψψ
∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂ 故()222
22
2222222zz p
s
s v v v x z z
z x ϕϕϕψσρρ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭
2222
222x y z ϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂ 而 0y
∂=∂
故222
22
x z ϕϕ
ϕ∂∂∇=+∂∂ 所以
()222
22
2
222zz p
s
s v v v z
z x ϕψσρϕρ⎛⎫
∂∂=-∇++ ⎪∂∂∂⎝⎭
而22
22
1p V t ϕ
ϕ∂∇=∂（波函数满足波动方程）
故2222
2222
222p s zz s p v v v v t z z x ϕϕψσρρ-⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ （41） ()zx zx w u ue u x z
τ∂∂==+=∂∂2
222222(
)s v x z x x z z ϕψϕψρ∂∂∂∂++-∂∂∂∂∂∂ =222222(2)s
v x z x z
ϕψψ
ρ∂∂∂+-∂∂∂∂ （42） 1.4反射系数和透射系数
以下的工作是使波函数满足上面的边界条件，为此将（21）~（24）式代入（25）式，并整理。

首先代（25）式的第一式有：
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
()
()
()
(1)
(2)
(3)1
2x 3x
z x
z x
z j k x k z t j k x k z t j k x k z t x z Ae k A e k A e k ωωω+-+-+-+-
(4)
(4)
(5)
(5)
()
()
(4)
(5)45x
z x
z j k x k z t j k x k z t x z A e k A e k ωω+-+-=-
由于(1)(2)(3)(4)(5)
x x x x x k k k k k ====故上式变为：
(1)
(2)(3)(4)(5)(1)
(2)
(3)
(4)
(5)1
2x
345z z z z z jk z
jk z
jk z
jk z
jk z
x
z
x
z Ae k A e
k
A e
k
A e
k
A e
k +-=-
将
1(1)(2)
/sin x x p k k v ωα==，
2(4)
'
/sin x p k v ωα=，
1(3)/cos z s k v ωβ
=-，
2(5)'/cos z s k v ωβ=，并且 z=0 代入上式：
1
1
1
1
1
1
cos .cos .cos .123sin sin cos p p s w
w
w
j
z j
z j
z v v v p p s A e
A e
A e
v v v ααβω
ω
ω
ααβ-⇒++
''2
2
2
2
cos .cos .''45sin cos s p j
z
j
z
v v p s A e
A e
v v ωωβαω
ω
αβ=-
1122
''12345sin 111
()cos sin cos p s p s A A A A A v v v v αβαβ⇒
++=- （43） 代入（25）式的二式有：
(1)(1)(2)(2)(3)(3)()
()
()
(1)
(2)
(3)
1
23x z x z x z j k x k z t j k x k z t j k x k z t z
z
x Ae k A e
k
A e
k ωωω+-+-+-+-
(4)(4)
(5)(5)()
()
(4)
(5)
45x z x z j k x k z t j k x k z t z
x A e
k
A e
k ωω+-+-=-
由于(1)(2)(3)(4)(5)
x x x x x k k k k k ====故上式变为：
(1)
(2)(3)(4)(5)(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1
2345z z z z z jk z
jk z
jk z
jk z
jk z
z
z
x
z
x Ae k A e
k
A e
k
A e
k
A e
k +-=-
1(3)/sin x s k v ωβ=，2(5)
'/sin x s k v ωβ=，1(1)/cos z p k v ωα=，1(2)/cos z p k v ωα=-，
1(3)/cos z s k v ωβ=-，2(4)'/cos z p k v ωα=，2(5)'/cos z s k v ωβ=，且 z=0 故：
''1
23
4
5
1
1
1
2
2
cos (cos )sin cos sin p p s p s A A A A A v v v v v ω
ω
ω
ω
ω
ααβαβ+-
-=-
12122
''1
234511111
cos cos sin cos sin p p s p s A A A A A v v v v v ααβαβ⇒-+=+ 1122
''12345cos sin 11()cos sin p s p s A A A A A v v v v αβαβ⇒
-+=+ (44) 应力连续故代入(25)式第三式有：
222222222211222211122
211222222222
21200
222()2()p s p s s s p p z z v v v v v v v t z x z v t z x z ϕϕψϕϕψρρ==⎡⎤⎡⎤--∂∂∂∂∂∂++=++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (1)
(1)
(2)(2)
22
11112
()
(1)
2222[
()x
z x z j k x k z t j k
x t s p k z p e A e v v A v ωωρωω+-+-+-+
(1)(1)(2)(2)(3)(3)()
()
()
2(1)
2(2)
(3)(3)
22131
2()]x z x z x z j k x k z t j k x k z t j k x k z t z
z
x z s e
k
A e
k
A e
k v A k ωωω+-+-+-++
=(4)
(4)
(4)(4)
()
()
222
2222(242442
2)2[
()2(x
z x z p s s j k x k z t j k
x z t z p k v v A v A e v e k ωωωρ+-+--++
(5)
(5)()
(5)(5)
5)]x
z j k x k z t x z A e k k ω+-
因为(1)(2)(3)(4)(5)
x x x x x k k k k k ====
1(3)/sin x s k v ωβ=，2(5)'/sin x s k v ωβ=，1(1)/cos z p k v ωα=，1(2)/cos z p k v ωα=-，
1(3)/cos z s k v ωβ=-，2(4)'/cos z p k v ωα=，2(5)'/cos z s k v ωβ=-，且 z=0 ，故上式变为：
22
2
112111
1
2
222
2
2
22
1
1
1
2
2
2
22
3
cos cos sin cos 2[
()2()]
p s s p p p s v v A v A v
v
v
v A A A ωωωωραωαββ-+++-=22
2
222
2'
2422
2'4
2
2
2
2
'5
2
2
sin c 2[
()2(cos os )]p s s s p p v v A v v A A v v ωρωωαββ+-+
11
1
222
1
1
22
22
222
22
2
''
2
12123445222
21
22()2()cos sin 2cos sin 2p s s p s s p p p p v v v v v v A A A A A A A A v v v v ρ
αβαβρ⎡⎤--+++-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
112
21
2
222
222'
'22
123452
2
11
2sin 2sin ()sin 2sin 2p s p s p p v v v v A A A A A v
v α
αρρββρρ---
++=-- (45) 代入(25)式的四式：
2222222
2
11122211
212222(2)(2)s s v v x z x z x z x z
ϕψψϕψψρρ∂∂∂∂∂∂+-=+-∂∂∂∂∂∂∂∂
(1)(1)(2)(2)
()
()
2(1)(1)
(2)(2)
11
12(22x z x z j k x k z t j k x k z t s x z
x z v Ae k k A e
k k ωωρ+-+-++
(3)(3)
(3)(3)()
()
2(3)
2(3)33)x z x z j k x k z t j k x k z t x
z A e
k
A e
k ωω+-+--=
(4)(4)(5)(5)
(5)(5)
()
()
()
2(4)(4)
2(5)
2(5)21
455(2)
x z x z x z j k x k z t j k x k z t j k x k z t s x z
x
z v A e k k
A e
k
A e
k ωωωρ+-+-+-+-由于(1)
(2)
(3)(4x x
x x x
k k k k k ====，1(1)(2)/sin x x p k k v ωα==，1(3)
/sin x s k v ωβ=，2(4)'/sin x p k x v ωα=，2(5)
'/sin x s k v ωβ=，1(1)/cos z p k v ωα=，1(2)/cos z p k v ωα=-，
1(3)/cos z s k v ωβ=-，2(4)'/cos z p k v ωα=，2(5)'/cos z s k v ωβ=-，且 z=0 ，故上式变为：
2
2
2
2
22
211
1
2
3
3
22221
1
1
1
(2sin cos 2sin cos sin cos )s p p s s v A A A A v
v
v
v
ωωωωρααααββ-+-
2
2
2
''
2'
2'21
4
552
2
2
2
2
2
(2sin cos sin cos )s p s s v A A A v v v ω
ωωρααββ=+-
⇒22
21112332
221
11
1
11[()
sin 2sin cos )]s p s s v A A A A v v v ραββ-+- 2'
2'2'
2145522
2
2
2
2
111(2sin 2sin cos )s p s s v A A A v v v ραββ=+- ⇒
1
21111222
22222222222'
2'2'2123345522222221(sin 2sin 2sin cos )(sin 2sin cos )
s s p p s s p s s v A A A A v A A A v v v v v v v ρωωωωωωωααββαββρ-+-=+-
1
2
1
2
22
'
'22123452211
sin 2()cos 2sin 2cos 2s s p p v v A A A A A v v ρραβαβρρ--+=-+ （46）
联立（43）（44）（45）（46）有
1122
1
1221
1221211
''
12345'
'12345222222''221234522
112
1221111sin ()cos sin cos 1111cos ()sin cos sin 2sin 2sin ()sin 2sin 2sin 2()co p s p s p s p s p s p s p p s p A A A A A v v v v A A A A A v v v v v v v v A A A A A v v v A A v αβαβαβαβααρρββρρα++=--+=+---++=----+222
''
223452
11s 2sin 2cos 2s p v A A A v ρρβαβρρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎩（47） 由斯奈尔定律可得：111
1
1
2
2
2
2222
2sin
2sin cos2p s p p p v v v v v αββ-=-=
22222222'222'2'
2sin 2sin cos2p s p p p v v v v v αββ-=-=
代入（47）式中的第三式，并将其方程组的各项同除1A ，得
11112211112211
''3524
1111
''35241111''3522421111112
221sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2p p p s p s p p p s p s s p v v v A A A A A v A v A v A v v v
A A A A A v A v A v A A A A A A A A A v A v A αβαβααβαβα
ρρβββββρραβ+-+=--++=---=-+2121
2
2''35
2422211111sin 2cos 2sin 2s s p p v v A A A A v A A v ρραβαρρ⎧⎪
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪+-=⎪⎩ （48）
此方程组称为（Knott ）方程，它反映了各波的位函数振幅之间的关系。

其中的21A A 、31
A A 、41A A 和51
A A 分别为P 波的反射系数，SV 波的反射系数，P 波的透射系数，SV 波的透射系数。

上述的反射系数和透射系数是对位函数而言的，位移的反射系数和透射系数满足 2131111142211152211121
3
14151o o o s s o p p o p p o p p o s s o p p s A RPP A s s v v A RPS A s v v s v v A TPP A s v v s v v A TPS
A s v v ⎧==⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪⎪⎪==⎪⎪⎩ （49） 其中1o s 、2o s 、3o s 、4o s 和5o s 分别为入射P 波、反射P 波、反射SV 波、透射P 波和透射
SV 波的位移振幅，RPP 、RPS 、TPP 和TPS 分别为宜位移振幅表示的P 波反射系数、SV 波反射系数、P 波透射系数和SV 波透射系数。

将（20）代入（19）式，可得
12211121''''''2211211'22112sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2pp ps pp ps pp ps pp ps s p s pp ps pp ps p p p s p p pp ps pp s p s R R T T R R T T v v v R R T T v v v v v v R R T v v v αβαβααβαβαρρβββββρρρραβαρ+-+=--++=---=-++-21
21'21cos 2sin 2p s ps s v v T v βαρ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ （50） 这一方程组称为佐普里兹（Zoeppritz ）方程。

将佐普里兹方程写成矩阵形式：
1221112211''
''''221122111''2221121sin cos sin cos cos sin cos sin cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2pp ps s p s p p p pp s p s p p s p s s ps R R v v v v v v T v v v v v v v v v T αβαβα
βαβρρββββρρρρα
βαβρρ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎣
⎦⎢⎣⎦sin cos =cos 2sin 2ααβα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎥（51）。