(全优试卷)江西省九校高三联考理数试题 Word版含答案

分宜中学 、玉山一中、临川一中
2017江西省 南城一中 、南康中学、 高安中学 高三联合考试
彭泽一中 、泰和中学 、樟树中学
数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}032|{2
≤--=x x x A ，)}2ln(|{x y x B -==，则=B A （ ） A ．)3,1( B ．]3,1( C ．)2,1[- D ．)2,1(- 2.已知复数z 满足
i z i
i
4311+=⋅-+，则=||z （ ） A ．62 B ．7 C ．25 D ．5
3.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，1)(2
-+=x x x f ，则=-)]1([f f （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-
4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）3cm
A ．π324+
B ．π234+ C. π326+ D ．π2
3
6+ 5.下列命题正确的个数为（ ）
①“R x ∈∀都有02
≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得020≤x ”；
②“3≠x ”是“3||≠x ”成立的充分条件； ③命题“若2
1≤
m ，则方程0222
=++x mx 有实数根”的否命题为真命题 A ．0 B ．1 C. 2 D ．3
6.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计算系统，其中开平方算法最具有代表性，程序框图如图所示，若输入ξ,,n a 的值分别为8,2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）
A ．2.81
B ．2.82 C.2.83 D ．2.84
7.随着国家二孩政策的全国放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100为育龄妇女，结果如图：
附表：
由))()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得，616.965
354258)13202245(10022
≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K ，参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C ．有%99以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D ．有%99以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
8.若y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-+206202x y x y x ，则目标函数2
2y x z +=的最小值是（ ）
A ．2
B ．2 C. 4 D ．9
68 9.已知)11,2(),2,1(B A ，若直线)0(1)6
(≠+-=m x m
m y 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．),3[)0,2[+∞-
B ．]6,0(]1,( --∞ C. ]6,3[]1,2[ -- D ．]6,0()0,2[ -
10.已知函数)0)(sin()(πϕϕω<<+=x x f 的部分图象如下图所示，若3)(0=x f ，
)6
5,3(0π
π∈x ，则0sin x 的值为（ ）
A ．
10433+ B ．10433- C. 10343+ D ．10
3
43- 11.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点为1F ，左顶点为A ，过1F 作x 轴的垂线交
双曲线于P 、Q 两点，过P 作PM 垂直QA 于M ，过Q 作QN 垂直PA 于N ，设PM 与QN 的交点为B ，若B 到直线PQ 的距离大于2
2
b a a ++，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）
A ．)2,1(
B ．)2(∞+ C. )22,1( D ．),22(+∞
12.若函数x
e a x a x x x
f --++++=]6)6(3[)(23在区间)4,2(上存在极大值点，则实数a
的取值范围是（ ）
A ．)32,(--∞
B ．)27,(--∞ C. )27,32(-- D ．]27,32(--
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.4)1)(1
1(x x
+-的展开式中2x 项的系数为 ． 14.
=-+⎰
dx x x 1
2)12( ．
15.已知半径为1的球O 内切于正四面体BCD A -，线段MN 是球O 的一条动直径（N M ,是直径的两端点），点P 是正四面体BCD A -的表面上的一个动点，则PM ⋅的取值范围是 ．
16.ABC ∆中，B C B A sin sin )sin(-=-，D 是边BC 的一个三等分点（靠近点B ），记
λ=∠∠BAD
ABD
sin sin ，则当λ取最大值时，=∠ACD tan ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，满足31=a ，11=b ，
1022=+S b ，3252a b a =-
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）令n n n b a c ⋅=，设数列}{n c 的前n 项和为n T ，求n T .
18. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，
ABF ∠我俄日直角，BF AE //，12
1
==
BF AB ，平面⊥ABCD 平面ABFE .
（1）求证：EC DB ⊥；
（2）若AB AE =，求二面角B EF C --的余弦值.
19. 一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1,2,3,4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次.
（1）设A 为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A 发生的概率；
（2）设X 为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.
20. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23，1F ，2F 分别是椭圆的左、右
焦点，M 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且21F MF ∆的周长为324+. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点)2,0(-D 作直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，点N 满足OB OA ON +=（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
21.已知函数x e x f x
+=)(，（R a ∈）其图象与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <. （1）求a 的取值范围； （2）证明：0)4
3(
'2
1<+x x f ；
（)('x f 为)(x f 的导函数）； （3）设点C 在函数)(x f 的图象上，且ABC ∆为等边三角形，记t x x =1
2
，求)3)(1(+-a t 的值.
请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为
)2,1(，点M 的极坐标为)2,3(π，且倾斜角为6
π
，圆C 以M 为圆心，3为半径.
（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于B A ,两点，求||||PB PA ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数)0(|1
|||)(>+
++=a a
x a x x f . （1）当2=a 时，求不等式3)(>x f 的解集； （2）证明：4)1
()(≥-
+m
f m f .
试卷答案
一、选择题
1-5:CDADB 6-10:DCBCA 11、12：BC 二、填空题
13. 2 14. 4
1π
+ 15. ]8,0[ 16.32+ 三、解答题
17.解：（1）设数列}{n a 的公差为d ，数列}{n b 的公比为q ，则 由⎩⎨
⎧=-=+32522210a b a S b 得⎩⎨⎧+=-+=++d q d d q 23243106解得⎩⎨⎧==2
2
q d ，所以12)1(23+=-+=n n a n ，
12-=n n b .
（2）由（1）可知，1
2)12(-⋅+=n n n c ，
∴1
22102)12(2)12(272523--⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T …………①
n n n n n T 2)12(2)12(27252321321⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………②
①-②得：n
n n n T 2)12(2222223221⋅+-⋅++⋅+⋅+=--
12)21(2)12(122)12(222112-⋅-=⋅+--=⋅+-++++=+n n n n n n n n
∴12)12(+⋅-=n
n n T .
18.解：（1）∵底面ABFE 为直角梯形，BF AE //，
90=∠EAB ， ∴AB BF AB AE ⊥⊥,，
∵平面⊥ABCD 平面ABFE ，平面 ABCD 平面AB ABFE =，
∴⊥AE 平面ABCD ，⊥BF 平面ABCD ， ∴BC BF ⊥，
设t AE =，以BC BF BA ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图坐标系，
则)0,0,0(B ，)1,0,0(C ，)1,0,1(D ，)0,,1(t E ，)1,0,1(--=，)1,,1(t --=， ∵0=⋅，∴EC DB ⊥.
（2）由（1）知)1,0,0(=是平面BEF 的一个法向量，设),,(z y x =是平面CEF 的法向量，
∵1==AB AE ，∴)0,1,1(E ，)0,2,0(F ，∴)1,1,1(-=，)1,2,0(-，由0=⋅，得0=-+z y x ，由0=⋅n CF ，得02=-z y ，令2=z ，得1,1==y x ，故)2,1,1(=n 是平面CEF 的一个法向量，∴3
6
|
|||,cos =
<BC n ，即二面角B EF C --的余弦值为
3
6. 19.解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1,3），（2,2），（3,1），
16
3
443)(=⨯=
A P （2）X 的可能取值为0,1,2,3，且41444)0(=⨯=
=X P ，8
34423)1(=⨯⨯==X P ，414422)2(=⨯⨯=
=X P ，8
1
442)3(=⨯==X P ，则X 的分布列为
4
5)(=
X E . 20.解：（1）∵2
3==
a c e ，又21F MF ∆的周长为32422+=+c a ，∴32+=+c a ，∴3,2==c a ，∴1,42
2
==b a ，∴椭圆C 的方程为14
22
=+y x . （2）∵+=，∴四边形OANB 为平行四边形，显然直线l 的斜率存在，设l 的
方程为2-=kx y ，),(),,(2211y x B y x A ，把2-=kx y 代入1422
=+y x 得01216)41(22=+-+kx x k ，由0)41(4816222>+-=∆k k 得4
3
2>
k ，∴2214116k k x x +=
+，2
214112k
x x +=，∵||||||21
2121x x x x OD S OAB -=-⋅=∆，∴2
222
22212
2121)41(3
4841124)4116(24)(2||22k k k k k x x x x x x S S OAB
OANB +-=+-+=-+=-==∆，
令0342>-=k t ，∴342+=t k ，∴2161816818)4(8
2
=≤+
+=+=t
t t t S OANB ，当
且仅当4=t ，即27±
=k 时取等号，∴2)(max =OANB S ，此时l 的方程为22
7
-±
=x y . 21.解：（1）∵ax e x f x
+=)(，∴a e x f x
+=)('，若0≥a ，则0)('>x f ，则函数)(x f 在R 上单调递增，这与题设矛盾.
∴0<a 易知)(x f 在))ln(,(a --∞上单调递减，在)),(ln(+∞-a 上单调递增，∴
)ln())(ln()(min a a a a f x f -+-=-=，且-∞→x 时，+∞→)(x f ；-∞→x 时，
+∞→)(x f ，
∴0)ln()(ln <-+-=a a a a f ，两式相减得1
21
2x x e e a x x ---=.记)0(212>=-s s x x ，则
)](2[2)2
(
'2
122
2
12
11
221s s x x x x x x e e s s
e
x x e e e x x f -++--=---
=+，设)(2)(s s e e s s g ---=，则
0)(2)('<+-=-s s e e s g ，∴)(s g 是单调减函数，则有0)0()(=<g s g ，而
022
21>+s
e
x x ，
∴0)2(
'21<+x x f ，又∵a e x f x +=)('是单调增函数，且2432121x
x x x +<+， ∴0)2
(')43('2121<+<+x x f x x f .
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002121ax e ax e x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2
1
21ax e ax e x x ，∴21221x x a e x x -=+，设),(00y x P ，在等边三角
形ABC 中，易知),(2
212
10x x x x x ∈+=
，0)(00<=x f y ，由等边三角形性质知2
)
(3120x x y --
=，
∴ 02
)
(3120=-+
x x y ，即02
)(3)(212122
21=-++++x x x x a
e x x ， ∴02
)(3)(2121221=-+++
-x x x x a
x x a ， ∵01>x ，∴02
)1(
3)1(21
2
1
2
12=-++++-x x x x a x x a
，
∴02
)
1(3)1(222=-+
++-t t a at ，032)3(2=-+-+a at t a ， ∴0)1](3)3[(=--++t a t a ，又∵1>t ，∴03)3(=-++a t a ，∴3
3
+-=
a a t ，
3
3
21+-
=-a t ，∴32)3)(1(-=+-a t .
22.解：（1）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 212231（t 为参数），圆C 的极坐标方程为θρsin 6=. （2）圆C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ，把⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=t y t x 21223
1代入9)3(22=-+y x 得
07)13(2=--+t t ，∴721-=t t ，又21|||,|||t PB t PA ==，∴7||||||21==t t PB PA .
23.解（1）当2=a 时，|2
1||2|)(+++=x x x f ，原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧>-----<32122x x x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>--+-≤≤-3212212x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++->321221x x x 解得411-
<x 或∅∈x 或41>x ，所以不等式的解集为411|{-<x x 或}4
1>x （2）|11||1||1|||)1()(a
m a m a m a m m f m f +-++-++++=-+ 4|)1||(|2|1|2|11||1||1|||≥+=+≥+-++++-++=m m m m a m a m a m a m。