【优质文档】2019高一(上)数学讲义第16讲——函数及其表示

练习 1：已知 f ( x
1 )
x
x2
1 x2 ,
求 f (x) 的解析式 .
【例 9】已知 f ( x) 2 f (1 ) 2x 1, 求 f (x) 的解析式 x
【练习】
1．已知二次函数 f ( x) 满足 f (1) 1， f ( 1) 5 ，图像过原点，则 f ( x) =___________．
2x 1
练习 1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？
( 2x 1) 2 ．
(1) f ( x) ( x 1)0 , g ( x) 1
(2) f ( x) x; g ( x) x2
2
2
(3) f ( x) x ; g ( x) ( x 1)
(4) f ( x) x ; g( x) x 2
1/ 9
B
． y＝ x2 C ． f ( x)
x,( x 0)
D ．y＝ 3 x3
x,( x 0)
2x＋ 1
4．函数 y＝ x－ 3 的值域为 (
)
44
A． (
－∞，
) 3
∪（3，＋∞
)
B
． ( －∞， 2) ∪(2 ，＋∞ )
C． R
24 D． ( －∞， 3) ∪（3，＋∞）
5．若集合 A＝ { x| y＝ x－ 1} ， B＝ { y| y＝ x2＋ 2} ，则 A∩ B等于 (
1－ x2
1
5．若 g( x) ＝ 1－ 2x， f [ g( x)] ＝
x2
，则 f ( ) 的值为 ( 2
)
A． 1
B
． 15
C
．4
D
． 30
B组
1．一个弹簧不挂物体时长 12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上
3 kg 物
体后弹簧总长是 13.5 cm ，则弹簧总长 y(cm) 与所挂物体质量 x(kg) 之间的函数关系式为 ________________ ．
1
2．已知函数
y＝ f ( x) 满足
f
(
x)
＝
2f
(
) x
＋
x，则
f ( x) 的解析式为
____________．
3．已知 f ( x) 是一次函数，若 f ( f ( x)) ＝4x＋ 8，则 f ( x) 的解析式为 __________________ ． 4．已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ＝ f (4) ，且 f ( x) ＝ 0 的两根平方和为 10，图象过 (0,3) 点，则 f ( x) 的解析式为
【例 2】 画出函数 y | x | 的图象 .
2.2 分段函数 【例 3】 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（ 1） 5 公里以内（含 5 公里），票价 2 元； （ 2） 5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元（不足 5 公里的按 5 公里计算） ．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为
2019 高一（上）数学讲义第 16 讲——函数及其表示
初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量
x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，
_________________的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 .
在初中，我们学过一些函数，如 ________________________________ 等，
1．函数的概念
1.1 函数的概念
1.2 函数的三要素
函数是由三件事构成的一个整体：定义域 A ； 值域 { f (x) | x A ； 对应法则 f .
【例 1】 以下关系式表示函数吗 ?为什么 ?
x2
(1) f (x)
；
(2)
1 x2
f ( x) 2 x x 2 ．
y 都有
练习 1：下列可作为函数 y= f (x) 的图象的是（ ）
2．一水池有 2 个进水口， 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天
0 点到 6 点，
该水池的蓄水量如图丙所示． ( 至少打开一个水口 )
给出以下 3 个论断：①０ 点到 3 点只进水不出水；②３ 点到 4 点不进水只出水；③４ 点到 6 点不进水不出水．则
正确论断的个数是 (
)
A． 0
B
．1
)
A． [1 ，＋∞ )
B
． (1 ，＋∞）
C． [2 ，＋∞ )
D
． (0 ，＋∞）
6．设集合 A＝ B＝ {( x， y)| x∈ R， y∈ R} ，点 ( x， y) 在映射 f ： A→B 的作用下对应的点是 ( x－y， x＋ y) ，则 B 中点
(3,2) 对应的 A 中点的坐标为 ____________ ．
________________ ．
5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每
10 人推选一名代表，当各班人数除以
10 的余数大．于．6·时再增选一名
代表．那么，各班可推选代x] 表示不大于 x 的最
大整数 ) 可以表示为 ( )
6．设函数 f (x) 是定义 (
,0) (0,
) 在上的函数 , 且满足关系式 3 f (x)
1 2f( )
4x ，求 f ( x) 的解析式 .
x
解：（ 1） f ( x)
2
3x
2x
2
（2） f ( x) x 1
1
（ 3）
3
2
（ 4） f (x) x 1
4/ 9
（5） f (x) 1 x2 x 2
． [ － 2,2]
C
． [0,2] D
．[ － 2,0]
x
6．函数 y＝ kx 2＋ kx＋1的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为 (
)
A． k<0 或 k>4 B ．0≤ k<4 C ．0<k<4 D ． k≥４或 k≤０
B组
x
1
1．函数
f ( x)
＝ x2＋ 1，则
f
() x
等于 (
)
1
A． f ( x)
2．已知函数 f ： A→B( A、 B 为非空数集 ) ，定义域为 M，值域为 N，则 A、 B、 M、 N的关系是 ( )
A． M＝A， N B ． M? A， N＝ B
C．M＝ A， N? B D ． M? A， N? B
3．函数 y＝ f ( x) 的图象与直线 x＝ a 的交点 ( )
A．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个
【例 2】 已知函数 f ( x)
x3 1， x2
（ 1）求函数
f (x) 的定义域；（2）求 f (
3) ，
f
2 ( ) ；（ 3）当
a
0 时，求 f (a) ， f (a 1) 的值
3
练习 1：已知函数 f ( x)
3x
2, 试求 f (3) ， f ( a) ， f (x2
1) ， f ( f (2)) ， f ( f (
1 公里，如果沿途（包括起点站和终点站）有
21 个汽车站，请根据
题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象．
练习 1：已知 f ( x)
0 (x (x
x 1( x
0) 0) ，作出 f ( x) 的图象；求 0)
f (1)、 f ( 1) 、 f (0) 、 f { f [ f ( 1)]}
3
3
（6） f ( x) 12 x 8 5 5x
1．一个面积为 100 cm 2 的等腰梯形，上底长为
A组 x cm ，下底长为上底长的
3 倍，则把它的高
y 表示成 x 的函数为
()
50
100
A． y＝50x( x>0) B ． y＝ 100x( x>0) C ． y＝ x ( x>0) D ． y＝ x ( x>0)
1 )) ．
x
1.3 对函数符号 f (x) 的理解
1.4 相同函数
当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同．
【例 3】 下列各函数中，哪一个函数与 y 2 x 1 是同一个函数．
4x2 1
(1) y
； (2) y 2x 1,( x 0); (3) u 2v 1 ； (4) y
2 练习 1：若函数 f ( x) 的定义域是 [0,1] ，则函数 f (2 x) ＋ f ( x＋ 3) 的定义域为 ________．
2.4 求函数的解析式
【例 7】已知一次函数 f (x) 满足 f (0) 5 ，图像过点 ( 2,1) ，求 f ( x)
【例 8】已知 f ( x 1)=2 x 3, 求 f ( x) 的解析式 .
练习 1：已知函数 f ( x)
2x 3,(x 1)
x2
，（ 1）求 f ( 1) ， f ( f (2)) ；（ 2）若 f (a) 2x,( x 1)
3 ，求 a ．
【例 6】（ 1）已知 f ( x) 的定义域为 [0,1] ，求 f ( x 1) 的定义域； （ 2）已知 f ( x 1) 的定义域为 [ 1,0] ，求 f (x) 的定义及 f ( x 1) 的定义域．
5/ 9
x A． y＝[ 10] B
．
y＝
[
x＋3 10 ]
C
．
y
＝
[
x＋4 10 ]
D
．
y＝
[
x＋5 10 ]
6．设 f ( x) 是 R 上的函数，且满足 f (0) ＝ 1，并且对任意实数 x， y，有
f ( x－ y) ＝ f ( x) －y(2 x－ y＋ 1) ，求 f ( x) 的解析式．
C
．2
D
．3
3．如果
1 f( )
x ，则当 x≠０时， f ( x) 等于 (
x 1x
1
1
1
A.
B.
C.
D.
x
x－1
1－ x
) 1 x－1
4．已知 f ( x) ＝ 2x＋3， g( x＋2) ＝ f ( x) ，则 g( x) 等于 ( )
A． 2x＋ 1
B
． 2x－ 1 C ． 2x－ 3 D ． 2x＋ 7
2.3 复合函数 两个函数 y f ( u) ， u g( x) ，且 u g (x) 的值域与 y f (u) 的定义域的交集非空，则通过
u 确定了 y 是 x 的
函数 y f ( g( x)) ，这样的 y 叫做 x 的复合函数， u 叫做中间变量， y f (u) 叫做外层函数， u g ( x) 叫做内层函
B
．－ f ( x) C.
fx
1 D.
f －x
2．已知 f ( x2－ 1) 的定义域为 [ － 3， 3] ，则 f ( x) 的定义域为 (
)
A． [ －2,2] B
． [0,2] C
3．与 y＝ | x| 为相等函数的是 ( )
． [ －1,2] D ． [ － 3， 3]
2/ 9
A． y＝( x) 2
2．若 f ( x 1) x 2 x ，则 f (x) =_________________.
1－ x
3．已知函数
f
(
1＋
) x
＝
x，求
f
(2)=________
．
4．若 f ( x 1) x2 2x ，则 f ( x) =_________________.
5．若 f ( x) 2 f ( x) x2 x 2 , 则 f ( x) =_________________.
2．函数的表示法 在初中我们已经接触过函数的三种表示法： __________、 __________ 和 _____________ ．
2.1 函数的表示法
【例 1】 某种笔记本每个 5 元，买 x （ x 1,2,3,4,5 ）个笔记本记为 y （元） . 试用函数的三种表示法表示 函数 y f ( x) .
6/ 9
2019 高一（上）数学讲义第 16 讲——函数及其表示参考答案
1．函数的概念
A组
1． C [C 选项中，当 x 取小于 0 的一个值时，有两个 y 值与之对应，不符合函数的定义．
2． C [ 值域 N应为集合 B 的子集，即 N? B，而不一定有 N＝ B.
3． C [ 当 a 属于 f ( x) 的定义域内时，有一个交点，否则无交点．
数． 对于复合函数 y f ( g( x)) 的问题，一般按照“从内向外”的思路逐层处理．
3/ 9
【例 5】 已知 f ( x) 3x 1 ， g( x) x2 1 （ 1）求 f (g ( 1)) ， g ( f ( 1)) 的值； （ 2）求 f ( g( x)) ， g ( f ( x)) ， g (g( x)) 的解析式 （ 3） f ( g (x)) ， g( f ( x)) 是否为同一个函数？
（ 5） f (t) t 1和 g(x)
x 1,x 0 x 1,x 0
1.5 区间的概念 【例 4】 用区间表示下列集合
（ 1） x | 5 x 6 （ 3） x | x 1 x | 5 x 2
（ 2） x | x 9 （4） x | x 9
x |9 x 20
1．下列图形中，不可能作为函数
A组 y＝ f ( x) 图象的是 ( )
D ．可能两个以上
x 2,( x 1)
4．已知函数 f ( x) x2,( 1 x 2) ， 若 f ( a) ＝3，则 a 的值为 (
)
2x,( x 2)
A. 3
B
．－ 3 C ．± 3
5．若 f ( x) 的定义域为 [ － 1,4] ，则 f ( x2) 的定义域为 (
D ．以上均不对 )
A． [ －1,2] B