高中数学第1章立体几何初步滚动训练2北师大版必修2
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第1章立体几何初步
滚动训练二(6.1~6.2)
一、选择题
1.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是( )
考点直线与平面垂直的性质
题点根据线面垂直的性质判定线线垂直
答案 A
2.关于直线m,n与平面α,β,有下列四个命题:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
答案 D
解析①m,n可能异面、相交或平行,④m,n可能平行、异面或相交,所以①④错误.3.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出如下命题:
①若α⊥β,α∩β=m,nα,n⊥m,则n⊥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若α⊥β,m⊥β,m⃘α,则m∥α;
④若α⊥β,m∥α,则m⊥β;
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
答案 B
解析根据平面与平面垂直的性质知①正确;②中,α,β可能平行,也可能相交,不正确;
③中,α⊥β,m⊥β,m⃘α时,只可能有m∥α,正确;④中,m与β的位置关系可能是m∥β或mβ或m与β相交,不正确.综上,可知正确命题的个数为2,故选B.
4.如图所示,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
考点直线与平面垂直的性质
题点根据线面垂直的性质判定线线垂直
答案 A
解析∵AB是圆O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴△ABC是直角三角形.
又∵PA⊥平面ABC,
∴△PAC,△PAB是直角三角形.
又BC平面ABC,
∴PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC平面PAC,
∴BC⊥平面PAC,
又PC平面PAC,∴BC⊥PC,
∴△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形,故选A. 5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出下列结论:①C1M⊥平面A1ABB1;②A1B⊥NB1;③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
答案 D
解析由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M.由A1C1=B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1,∵AA1∩A1B1=A1,AA1,A1B1平面A1ABB1,
∴C1M⊥平面A1ABB1,∴①正确;
由C1M⊥平面A1ABB1,
可得C1M⊥A1B,
又已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,
∴A1B⊥平面AMC1,从而可得A1B⊥AM,
又易证得AM∥NB1,
∴A1B⊥NB1,∴②正确;
易证得AM∥NB1,MC1∥CN,从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC1∥平面CNB1,∴③正确,故选D.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A-BCD,则在几何体A-BCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
考点平面与平面垂直的判定
题点判定两平面垂直
答案 D
解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,
又平面ABD⊥平面BCD,
∴CD⊥平面ABD,
从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.
又AB平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ADC.
7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,AB=BC,则下列结论中正确的是( )
A.BD1∥B1C
B.A1D1∥平面AB1C
C.BD1⊥AC
D.BD1⊥平面AB1C
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
答案 C
解析连接BD.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,
∴AC⊥BD.又AC⊥DD1,BD∩DD1=D,
∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1⊂平面BDD1,
∴AC⊥BD1.故选C.
8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,A1B1的中点,点P在正方体的表面上运动,则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是( )
A.4 B.2+ 2
C.3+ 5 D.2+ 5
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的计算与探索性问题
答案 D
解析如图,取CC1的中点G,连接DG,MG,则MG∥BC.设BN交AM于点E.
∵BC⊥平面ABB1A1,NB平面ABB1A1,
∴NB⊥MG.
∵正方体的棱长为1,M,N分别是BB1,A1B1的中点,
∴△ABM≌△BB1N,
∴∠MAB=∠NBB1,∴∠MBE+∠BME=90°,
∴∠MEB=90°,即BN⊥AM,
又MG∩AM=M,MG,AM平面ADGM,
∴NB⊥平面ADGM,
∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点).∵正方体的棱长为1,∴矩形ADGM的周长等于2+ 5.故选D.
二、填空题
9.下列四个命题中,真命题的个数为________.
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若点M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
考点平面的基本性质
题点确定平面问题
答案 1
解析只有③正确.
10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,
BC=2,则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
考点异面直线所成的角
题点求异面直线所成的角
答案60°
解析 因为几何体是棱柱,BC
∥B 1C 1,则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥平面ABC ,AB =AC =AA 1=1,BC =2,BA 1=
AA 21+AB 2=2,
则CA 1=AA 21+AC 2
=2,所以△BCA 1是正三角形,故异面直线所成角为60°.
11.如图,已知点E ,F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1,CC 1上,且B 1E =2EB ,CF =2FC 1,则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________.
考点 二面角 题点 知题作角 答案
2
3
解析 在平面BC 1内延长FE ,CB ,相交于点G ,连接AG ,过点B 作BH 垂直AG 于点H ,连接EH .
∵BE ⊥平面ABCD ,AG 平面ABCD , ∴BE ⊥AG .
∵BH ⊥AG ,BH ∩EB =B ,
BH ,EB 平面BEH ,
∴AG ⊥平面BEH ,
∴AG ⊥EH .故∠BHE 是平面AEF 与平面ABC 所成二面角的平面角. 设正方体的棱长为a ,
则BE =a 3,CF =2
3
a ,
∴GB ∶GC =BE ∶CF =1∶2, ∴BG =a ,∴BH =
2
2
a , 故tan∠BHE =BE BH =a
32
2
a
=2
3.
三、解答题
12.已知△ABC是边长为1的等边三角形,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC
的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到三棱锥A-BCF,其中BC=
2 2
.
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF.
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行、垂直综合问题的证明
证明(1)在等边三角形ABC中,AD=AE,
∴AD
DB
=
AE
EC
,
在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,∴DE∥BC. ∵DE⊈平面BCF,BC平面BCF,
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,
∴AF⊥BC,折叠后,AF⊥CF.
∵在△BFC中,BC=
2
2
,BF=CF=
1
2
,
∴BC2=BF2+CF2,因此CF⊥BF.
又AF∩BF=F,AF,BF平面ABF,
∴CF⊥平面ABF.
13.如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点平行与垂直的判定
证明(1)在平面ABD内,
因为AB⊥AD,EF⊥AD,
则AB∥EF.
又因为EF⊈平面ABC,AB平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,BC平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB平面ABC,
BC平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC平面ABC,
所以AD⊥AC.
四、探究与拓展
14.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,P到β的距离为3,Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为( )
A. 3 B.2 C.2 3 D.4
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点垂直的计算与探索性问题
答案 C
解析如图,分别作QA⊥α于点A,AC⊥l于点C,PB⊥β于点B,PD⊥l于点D,连接CQ,BD,则∠ACQ=∠PDB=60°,AQ=23,BP=3,∴AC=PD=2.又∵PQ=AQ2+AP2=12+AP2≥23,当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故选C.
15.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,点M为A1B的中点.
(1)证明:A1M⊥平面MAC;
(2)在棱B1C1上是否存在点N,使MN∥平面A1ACC1?若存在,试确定点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
考点线、面平行、垂直的综合应用
题点垂直的计算与探索性问题
(1)证明在Rt△BAC中,BC=AB2+AC2=22+22=2 2.在Rt△A1AC中,
A1C=A1A2+AC2=22+22=2 2.
∴BC=A1C,即△A1CB为等腰三角形.
又点M为A1B的中点,∴A1M⊥MC.
又∵四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点,
∴A1M⊥MA.
又MC∩MA=M,MC平面MAC,MA平面MAC,
∴A1M⊥平面MAC.
(2)解当N为B1C1的中点时,满足MN∥平面A1ACC1,
证明如下:
取A1B1的中点P,连接MP,NP.
∵M,P分别为A1B与A1B1的中点,
∴MP∥BB1∥AA1.
又MP⊈平面A1ACC1,AA1平面A1ACC1,
∴MP∥平面A1ACC1,同理可证NP∥平面A1ACC1.
又MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面A1ACC1.
∵MN平面MNP,∴MN∥平面A1ACC1.。