抛物线的标准方程

抛物线的标准方程
新课讲授：
问题1：抛物线是满足什么条件的动点的轨迹？
我们知道圆、椭圆、双曲线的几何性质都是由距离刻画的，那么抛物线上的点的性质能否用距离来刻画呢？
我们可以从考察最简单的二次函数2
x y =的图像入手来探索这个问题. 问题1．1二次函数2
x y =图像上的点具有怎样的几何性质？
问题1．2 是否所有的二次函数的图像都具有类似的几何性质？
问题1．3 函数)0(,2
≠++=a c bx ax y 图像上的点呢？
问题1．4能否从几何的角度来概括抛物线定义？ 定义：
思考：如果定点F 在定直线l 上，动点的轨迹是什么？ （二）抛物线的标准方程
问题2 如何求抛物线的标准方程？
设定点F 到定直线l 的距离为)0(>p p （定点不在定直线上），下面，我们来求抛物线的方程. 问题2.1 首先要建立直角坐标系，如何建立直角坐标系？
(1) (2) (3) 问题2.2如何分别求出不同坐标系下抛物线方程?（注意求轨迹方程的五个步骤）
（1）以准线为y 轴：
（2）以焦点为原点：
（3）以顶点为原点：
标准方程：
问题2.3 顶点在原点，焦点在y轴正半轴，焦点在x轴负半轴，焦点在y轴负半轴.你能写出这三种情况下抛物线的方程吗？除了按定义推导外，有没有简单的方法？
选择焦点在y正半轴，顶点在原点的抛物线，求它的方程.
（1）定义法：
（2）坐标变换：
1、对称性
2、顶点
3、范围
4、焦点和准线
例题讲解：
1·2
x y =焦点坐标与准线方程.
2·若抛物线x k
y 161
2-
=的焦点到准线的距离是2，则k 的值是___________
3·顶点在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件写出抛物线的方程 (1)焦点是F(3，0)；
（3）焦点在直线022=+-y x 上
（4） 过点P(-2,-4) (5)焦点到准线的距离是2．
4·抛物线的顶点在坐标原点，其准线过双曲线122
22=-b
y a x 的一个焦点，又若两曲线的交点为
)6,2
3
(±，试求此双曲线的方程 5·直线4+=kx y 和抛物线px y 22
=有一个交点是（1，2），求抛物线的焦点到此直线的距离。

6·抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(,)-525到焦点距离是6，则抛物线方程为
7·抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的直线与抛物线相交所得的线段长为16，则抛物线方程为
8·一个正三角形的两个顶点在抛物线)0(22
>=p px y 上，另一个顶点在原 点，则这个三角形的边长是 .
9·求与圆()x y -+=392
2
外切，且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程
10·一动点到y 轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是
11·若抛物线y x 22
=的顶点是抛物线上到点A （0，a ）距离最近的点，求a 的取值范围.
焦半径
12·已知),(00y x P 是抛物线px y 22
=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2
||0p x PF +=
13·已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)1,(-m M 到焦点的距离是3，求抛物线
的方程、准线方程、焦点坐标以及m 的值.
14·若抛物线的原点在顶点，对称轴为x 轴点M （－5，m ）是抛物线上的点，且点M 与焦点距离是6，
求抛物线的方程。

15·2
2x y -=的焦点坐标与准线方程.如果该曲线上有一点到焦点的距离是4，试问，它到y 轴的距离是多少，并求出它的坐标
16·过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，若B A ,两点在抛物线的准线上的射影是11,B A ，求
11FB A ∠的值。

17·过抛物线)0(2
>=a ax
y 的焦点F 作一直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与QF 的长分别为
n m ,，求
n
m 11+。

18·抛物线)0(22
>=p px y 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线的准线上，且BC 平行于x 轴，求证：直线AC 经过原点。

19·设过抛物线的焦点F 作直线与抛物线相交于M,N ，以MN 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 .
20· 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线x y 22
=的焦点，点M 在抛物线上移动时，求使MA+MF
取最小值时的点M 的坐标.
直线和抛物线
新课讲授：
交点个数 代数 1）_______________
位置关系： 2) ________________ 判定方法： 3) _________________
例题讲解：
1． k 是什么实数时，直线kx y -+=10与抛物线y x 2
4= （1）有两个交点；
（2）无交点；
（3）只有一个交点；
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点是圆022
2
=-+x y x 的圆心，过焦点作倾斜角为45°的直线，与抛物线相交于B A ,两点，求AB
已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴，直线2x －y －1=0与抛物线C 交于A 、B 两点，且线段AB 的长为210，求抛物线C 的方程。

3．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 作倾斜角是4
3π
的直线，交抛物线于B A ,两点，O 为原点。

求△OAB 的面积。

解法1：
解法2：
解法3：
4．抛物线y px 2
2=有内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程为y x =2，斜边长为
53，求P 的值
5．已知直线12-=x y 交抛物线x y 42
=于A 、B 两点，又点M 在抛物线的对称轴上，如果∠AMB=90°，求点M 的坐标。

6.抛物线2x y =上到直线42=-y x 的距离最短的点是____________
7．直线x y --=10截抛物线y x 2
8=，所截得的弦中点的坐标是
8.经过抛物线x y 42=的焦点的弦的中点轨迹的方程是 .
9．若抛物线x y 42
=的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程.
10．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 的一条直线与这抛物线相交于B A ,两点，且()()2211,,,y x B y x A
求证：4
,2
212
21p x x p y y =-=
11．已知抛物线)0(22
>=p px y ，B A ,两点在抛物线上，且OB OA ⊥，求证直线AB 过定点。

12．如图，过抛物线y px p 2
20=>()上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （x y 22,） （1）求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点F 的距离 （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求
y y y 12
+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数
13．动圆圆心Q 在x 轴上移动，且过点A （－3，0），设动圆交x 轴于P ，交y 轴于N ，过P 引y 轴的平行线，过N 引x 轴的平行线，它们的交点为M ，求M 的轨迹。

14．求过点(2p -,0)（p>0）且与直线2
p
x =相切的动圆圆心M 的轨迹方程.
15.点A 、B 分别在抛物线y x 2
=和圆()x y -+=312
2
上，求|AB|的最小值。