江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二(下)期中数学试卷(解析版)

江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二（下）期中数学试卷
【参考答案】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．函数f（x）＝x2+sin x在区间[0，π]上的平均变化率为（）
A．1 B．2 C．πD．π2
【答案】C
【解析】根据题意，f（x）＝x2+sin x，
在区间[0，π]上，有△y＝f（π）﹣f（0）＝π2，△x＝π﹣0＝π，
则其平均变化率＝π，
故选：C．
2．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目．小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（）A．4种B．6种C．8种D．12种
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①小明必选化学，需要在思想政治、地理、生物中再选出一门，有C31＝3种选法，
②小明在物理、历史两门选出一门，有C21＝2种选法，
则有3×2＝6种选择方法，
故选：B．
3．若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，则f（2）+f′（2）＝（）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y＝x﹣1，
可得f（2）＝2﹣1＝1，f′（2）＝1，
则f（2）+f′（2）＝2．
故选：B．
4．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）其有T性质．下列函数中具有T性质的是（）
A．y＝lnx B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝
【答案】B
【解析】由y＝lnx的导数为y′＝，由x＞0，可得切线的斜率大于0，不存在两点，使得函数f（x）＝lnx的图象在这两点处的切线互相垂直；
由y＝cos x的导数y′＝﹣sin x，由sin x∈[﹣1，1]，可得存在两点，使得函数y＝cos x的图象在这两点处的切线互相垂直；
由y＝e x的导数为y′＝e x，由e x＞0，可得不存在两点，使得函数f（x）＝e x的图象在这两点处的切线互相垂直；
由y＝的导数为y′＝，由＞0，可得不存在两点，使得函数f（x）＝的图象在这两点处的切线互相垂直．
故选：B．
5．若函数f（x）＝x+t sin x在（0，）上单调递增，则实数t的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．[﹣1，+∞）
【答案】D
【解析】f′（x）＝1+t cos x≥0在（0，）恒成立，
故t≥﹣在（0，）恒成立，
y＝﹣在（0，）递减，
故y的最大值是﹣1，故t≥﹣1，
故选：D．
6．5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（）
A．60种B．90种C．150种D．240种
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1、2、2的三组，有＝15种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法，
则有10+15＝25种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的安排方法，
故选：C．
7．若曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线与曲线y＝e x相切于点Q（x2，y2），则+x2＝（）
A．﹣1 B．1 C．0 D．e
【答案】C
【解析】y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线方程为y﹣lnx1＝（x﹣
x1），
y＝e x的导数为y′＝e x，可得在点Q（x2，y2）处的切线的方程为y﹣e x2＝e x2（x﹣x2），
由两条切线重合的条件，可得＝e x2，且lnx1﹣1＝e x2（1﹣x2），
则x2＝﹣lnx1，即有lnx1﹣1＝（1+lnx1），
可得lnx1＝，
则+x2＝lnx1﹣lnx1＝0．
故选：C．
8．若a＜4且4a＝a4，b＜5且5b＝b5，c＜6且6c＝c6，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【答案】B
【解析】令f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝．
由f′（x）＞0得：0＜x＜e．
∴函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∵4a＝a4，5b＝b5，6c＝c6，∴aln4＝4lna，bln5＝5lnb，cln6＝6lnc，
∴f（4）＝＝＝f（a），f（5）＝＝＝f（b），f（6）＝＝＝f（c）．
∵6＞5＞4＞e，∴f（6）＜f（5）＜f（4），∴f（c）＜f（b）＜f（a），
又∵c＜6，b＜5，a＜4，∴c，a，b都小于e，∴c＜b＜a．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【答案】BC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有C62＝15种选法，女生的选法有C42＝6种选法，则4人中男生女生各有2人选法有15×6＝90种选法，A错误；
对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，
有C82＝28种选法，B正确；
对于C，在10人中任选4人，有C104＝210种选法，甲乙都不在其中的选法有C84＝70，
故种男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内选法有210﹣70＝140种，C正确；
对于D，在10人中任选4人，有C104＝210种选法，只有男生的选法有C64＝15种，只有女生的选法有C44＝1种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有210﹣15﹣1＝194种，D错误；
故选：BC．
10．若2≤m≤n，m，n∈N*，则下列等式中正确的有（）
A．C＝C+C
B．mC＝nC
C．A＝mA
D．A+mA＝A
【答案】AB
【解析】2≤m≤n，m，n∈N*，由做合数的性质可得C＝C+，故A正确；
∴mC＝m•＝，而n＝n•＝，
故mC＝n，故B正确；
∵A＝n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），mA＝m（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1），故C错误；
∵A+mA＝n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+1）+m•n•（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）
＝[n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）][（n﹣m+1）+m]＝（n+1）•n（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m+2）；
而A＝（n﹣1）（n﹣2）•••（n﹣m），
故A+mA≠A，故D错误，
故选：AB．
11．若函数f（x）＝xln（x+2），则（）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．f（x）有两个零点
C．f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为﹣1
D．f（x）是奇函数
【答案】ABC
【解析】∵f（x）＝xln（x+2），∴x+2＞0，
∴函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），
对于A：f′（x）＝ln（x+2）+，x＞0时，
ln（x+2）＞0，＞0，故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故A正确；
对于B：令f（x）＝0，即xln（x+2）＝0，解得：x＝0或x＝﹣1，
故函数f（x）有2个零点，故B正确；
对于C：斜率k＝f′（﹣1）＝ln（﹣1+2）+＝﹣1，故C正确；
对于D：函数的定义域是（﹣2，+∞），不关于原点对称，故D错误；
故选：ABC．
12．若函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x，g（x）＝f（x）﹣a，则（）
A．当a＝5时，g（x）有两个零点
B．当a＝4时，g（x）有三个零点
C．当a＝2时，g（x）有一个零点
D．当a＝3时，g（x）有四个零点
【答案】AB
【解析】f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+2cos x＝，
当x＜﹣1时，f'（x）＝﹣2﹣2sin x≤0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
∴f（x）＞f（﹣1）＝2+2cos（﹣1）＝2+2cos1∈（3，4），
当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2+2cos x为偶函数，在[﹣1，0）上单调递增，在（0，1]上单调，
∴f（x）∈[f（1），f（0）]，即f（x）∈[2+2cos1，4]⊆（3，4]，
当x＞1时，f'（x）＝2﹣2sin x≥0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）＝2+2cos1∈（3，4），
由此作出函数f（x）的草图如下所示，
由图可知，当a＝5时，函数y＝f（x）与y＝a有两个交点，即g（x）有两个零点，即选项A正确；
当a＝4时，函数y＝f（x）与y＝a有三个交点，即g（x）有三个零点，即选项B正确；
当a＝2或a＝3时，函数y＝f（x）与y＝a没有交点，即g（x）没有零点，即选项C和D均错误，故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个满足条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0的函数f（x）＝x3．【答案】x3
【解析】由条件：①f（﹣x）+f（x）＝0，②f′（x）≥0，可知满足条件的是一个单调递增的偶函数．根据此分析可知函数f（x）＝x3满足条件，
故答案为：x3．
14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有20种．（用数字作答）
【答案】20
【解析】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，
假设有6个位置，在其中任选3个，安排三个“阳爻”，有C63＝20种情况，
即该重卦可以有20种情况，
故答案为：20．
15．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为α＝，传输带以0.9m3/min的速度送煤，则r关于时间t的函数是r＝，当半径为3m时，r对时间t的变化率为．
【答案】r＝；．
【解析】由题意值，tanα＝，所以h＝r tanα＝r tan＝r，
设tmin时煤堆的体积为V，
则V＝πr2h＝πr3＝0.9t，①
所以r＝，②
对t求导可得r′（t）＝，③
当r＝3时，对应的时刻为t0，
由①得t0＝10π，
代入③式可得r′（t）＝＝＝×＝．
故答案为：r＝；．
16．已知函数f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，若存在x0，使得f（x0）≤，则实数a的值是．【答案】
【解析】∵f（x）＝（x+a）2+（lnx+ea）2，
∴函数f（x）可看作动点M（x，lnx）与动点N（﹣a，﹣ea）之间距离的平方，
动点M在y＝lnx的图像上，N在y＝ex的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y＝lnx，得y′＝＝e，则x＝，
故曲线上的点M（，﹣1）到直线y＝ex距离的最小值是d＝，
则f（x）≥，根据题意若存在x0，使得f（x0）≤，
则f（x0）＝，此时N恰为垂足，
由K MN＝﹣，故＝﹣，解得：a＝，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）若3A﹣6A＝4C，求n；
（2）已知x＞0，求（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10的展开式中x3的系数．（用数字表示结果）
【答案】见解析
【解析】（1）∵3A﹣6A＝4C，
∴3n（n﹣1）（n﹣2）﹣6n（n﹣）＝4×＝2n（n+1）⇒3n2﹣17n+10＝0⇒n＝5（舍），
即n为5，
（2）由题意可得：展开式中x3的系数为：+……+＝+……+＝＝330．（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）10展开式中x3的系数：330．
18．（12分）用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
【答案】见解析
【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位，有A42＝12种情况，
则有2×12＝24个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2、3、4、5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位、十位、个位，有A43＝24种情况，
则有4×24＝96个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有A32C21＝12种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有A33＝6种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有6﹣2＝4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有12×4＝48个符合题意的五位数．
19．（12分）已知函数f（n，x）＝（+）n（m＞0，x＞0）．
（1）当m＝2时，求f（7，x）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若f（10，x）＝a0+++…+，且a2＝180，
①求a i；
②求a i（0≤i≤10，i∈N）的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）当m＝2时，f（7，x）＝（1+）7的展开式共有8项，
二项式系数最大的项为第四项或第五项，
所以T或T；
（2）①f（10，x）＝（）10的通项公式为T r+1＝C（）10﹣r（r＝2x﹣r，且f（10，x）＝a，所以的系数为a＝180，解得m＝2，所以f（10，x）的通项公式为T，
所以a r＝2，当r＝0时，a0＝1，
令x＝1，，
②设a为a i（0≤i≤10）中的最大值，则，
解得，即，r∈N，所以r＝7，
所以（a i）max＝a．
20．（12分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+．
（1）当m＝1时，求曲线f（x）上过点（1，f（1））的切线方程；
（2）若f（x）___，求实数m的取值范围．
①在区间（m，m+1）上是单调减函数；
②在（，2）上存在减区间；
③在区间（m，+∞）上存在极小值．
【答案】见解析
【解析】（1）当m＝1时，f（x）＝，所以f（1）＝0，
则有①当点（1，f（1））为切点时，f'（x）＝x2+x﹣1⇒f'（1）＝1，
根据函数导数的几何意义可得，函数在点（1，0）处的切线方程即为：y＝x﹣1；
②当（1，0）不是切点时，设切点为（x0，y0），则可得切线方程为：y﹣y0＝f'（x0）（x﹣x0），
因为，，
所以切线方程即为：，
代入点（1，0）化简可得，，
解之可得，，⇒切线方程为：，
综上可得，过点（1，0）的切线方程为x﹣y﹣1＝0，或11x+16y﹣11＝0．
（2）∵f'（x）＝x2+mx﹣1，
∴若选①函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调减函数，则有：
f'（x）≤0在区间（m，m+1）上恒成立，即x2+mx﹣1≤0在（m，m+1）上恒成立，
∴，解之可得；
若选②函数f（x）在（，2）上存在减区间，则有：f'（x）＜0在区间（，2）上有解，即得在区间（，2）上有解，
此时令g（x）＝，因为g（x）在区间（，2）上单调递减，
所以g（x）＜g（）＝，故有m＜；
若选③函数在区间（m，+∞）上存在极小值，则有：函数f（x）的极小值点应落在（m，+∞）；
令f'（x）＝x2+mx﹣1＝0，求得，，
此时可得，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减；
所以x＝x2是函数f（x）的极小值点，
即得⇒，
所以当m≤0时，不等式恒成立，
当m＞0时，m2+4＞9m2，解之可得0＜m＜，
综上可得，．
21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[0，π]．
（1）当a＝1时，求f（x）的最值；
（2）若f（x）+x2≥0，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）当a＝1时，f（x）＝﹣sin x，f′（x）＝﹣cos x，x∈[0，π]，
令f′（x）＝0，得cos x＝，x∈[0，π]，解得：x＝，
x，f′（x），f（x）的变化如下：
x0 （0，）（，π）π
f′（x）﹣0 +
f（x）递减极小值递增
而f（0）＝0，f（）＝﹣，f（π）＝，
故f（x）max＝，f（x）min＝﹣．
（2）f（x）+x2≥0即x﹣sin x+x2≥0对x∈[0，π]恒成立，
令g（x）＝x﹣sin x+x2，g′（x）＝﹣cos x+2x，令h（x）＝g′（x）＝﹣cos x+2x，
则h′（x）＝sin x+2＞0，h（x）在[0，π]上单调递增，
故h（x）min＝h（0）＝﹣1，h（x）max＝h（π）＝+1+2π；
①当h（π）＝+1+2π≤0即a≤﹣4π﹣2时，h（x）≤0即g′（x）≤0，
g（x）在[0，π]上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，不合题意，舍；
②当h（π）＝+1+2π＞0，h（0）＝﹣1＜0即﹣4π﹣2＜a＜2时，
存在x0∈（0，π），使得h（x0）＝0，又h（x）在[0，π]上单调递增，
故x∈（0，x0）时，h（x）＜0即g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（x0，π）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意，舍，
③当h（0）＝﹣1≥0即a≥2时，h（x）≥h（0）≥0，即g′（x）≥0，
g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意，
综上，实数a的取值范围是[2，+∞）．
22．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx+﹣ax，g′（x）是g（x）的导函数．（1）讨论函数g（x）在（0，+∞）的单调性；
（2）若函数h（x）＝f（x）g′（x）﹣1在区间（0，2）内有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】见解析
【解析】（1）g′（x）＝，
当a≤0时，g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，令h（x）＝x2﹣ax+1，h（0）＝1，
①△≤0即0＜a≤2时，g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
②△＞0即a＞2时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞，
令g′（x）＜0，解得：＜x＜，
故g（x）在（0，）递增，在（，）递减，（，+∞）递增；
综上：0＜a≤2时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
a＞2时，g（x）在（0，）递增，在（，）递减，（，+∞）递增；
（2）h（x）＝﹣1，x∈（0，2），显然h（0）＝0，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，
h（1）＝﹣1，h′（x）＝，
①当a+1≤0即a≤﹣1时，x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）递增，且h（x）＞h（0）＝0，
x∈（1，2），h′（x）＜0，h（x）单调递减，故h（x）在（1，2）至多1个零点，与题意不符，
②当a+1≥2即a≥1时，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）递减，且h（x）＜h（0）＝0，
x∈（1，2），h′（x）＞0，h（x）单调递增，故h（x）在（1，2）至多1个零点，与题意不符，
③当a+1＝1即a＝0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）性质（0，2）至多1个零点，与题意不符，
④当0＜a+1＜1即﹣1＜a＜0时，x∈（0，a+1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，且h（x）＜h（0）＝0，
x∈（a+1，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（1，2），h′（x）＜0，h（x）递减，
要使h（x）有2个零点，只需满足：
，即，故﹣1＜a＜2﹣e，
⑤当1＜a+1＜2即0＜a＜1时，x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）递减，且h（x）＜h（0）＝0，
x∈（1，a+1），h′（x）＞0，h（x）递增，x∈（a+1，2），h′（x）＜0，h（x）递减，
要使h（x）有2个零点，则需满足：
即，
记函数φ（x）＝e x﹣x﹣1，x＞1，φ′（x）＝e x﹣1＞0，故φ（x）在（1，+∞）递增，
故φ（x）＞φ（1）＝e﹣2＞0，又1＜a＝1＜2，故e a﹣1＞2+a，
故不等式（*）无解，
综上，﹣1＜a＜2﹣e时，h（x）在区间（0，2）内有2个不同的零点．。