高二数学上学期《第25课时平面向量的数量积》学案

《第25课时 平面向量的数量积》学案
【基础训练】
1．（1）已知||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为120︒，则b a ∙= .
（2）已知(1,2)a =，(1,1)b =-，则b a ∙= .
2．已知a ，b 是两个非零向量：
（1）若()2
22+=+，则a 与b 的夹角的大小为 . （2）若||||||a b a b ==-，则a 与b 的夹角的大小为 .
（3）若||||||a b a b ==+，则a 与b 的夹角的大小为 .
3．向量c b a ,,满足0=++c b a ，且b a c b a ⊥⊥-,)(,1= = .
4．已知向量a ，b 满足1,2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，则||a b -= .
5．已知(4,3)a =，(1,2)b =-，m a b λ=-，2n a b =+，则当λ= 时，m n ⊥； 当λ= 时，//m n .
【重点讲解】
1．夹角
2．平面向量的数量积
（1）平面向量的数量积的定义
（2）一向量在另一向量上的投影
①定义
②⋅a b 的几何意义：
3.向量的数量积的性质
设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 （1）⋅=⋅e a a e = ； （2）⊥⇔⋅a b a b = ； （3）当a 和b 同向时，⋅a b = ，当a 和b 反向时，⋅a b = . 特别地：22||⋅==a a a a 或||=⋅a a a ；
（4）||⋅a b ||||a b ⋅；（5）cos α= (α是a 与b 的夹角）.
4.向量数量积的运算律
5.平面向量数量积的坐标表示
1122(,),(,)a x y b x y ==
（1）⋅a b = . （2）||a = ，||b = . （3）a b ⊥⇔ . （4）若a 与b 的夹角为θ，则cos θ= .
（5）若c 的起点坐标和终点坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则||c = .
【典题拓展】
例1．已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，22π
π
θ-<<
（1）若a b ⊥，求θ的值； （2）求||a b +的最大值。

变式：在ABC ∆中，,1,22C AC BC π
===，则()|2(1)|f CA CB λλλ=+-的最小值是 .
例2．已知a ，b 是两个非零向量，3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角的大小.
变式：与的夹角为3
2π2=3=，记23-=，k +=2. （1）若⊥，求实数k 的值；（2）是否存在实数k 使//，若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由。

例3．已知向量123,,OP OP OP 满足1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：
123P P P ∆是正三角形.
变式：平面内有四点,,,O A B C ，记,,OA a OB b OC c ===，若0a b c ++=， 且1-=⋅=⋅=⋅，试判断ABC ∆的形状，并求其面积。

例4．ABC ∆中，AC AB ⊥，M 是BC 的中点
（1）若||||AB AC =，求向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角的余弦值；
（2）若O 是线段AM 上任意一点，且||||2AB AC ==
OA OC OB OA ⋅+⋅的最小值；
【巩固迁移】
1.在边长为1的等边三角形中，设,,BC a CA b AB c ===，则=⋅+⋅+⋅a c c b b a .
2.已知(3,1)a =， (,2)c k =，若c a
与的夹角是锐角，则k 的取值范围 3.向量a 与b 不共线，0a b ≠，且b a ⎪⎭
⎫⎝⎛⋅-==，则向量a 与c 的夹角大小为 . 4.在直角三角形ABC 中，),1(),3,2(k ==,则实数k 的值 .
5.已知O 为平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -+-=，则ABC ∆的形状是 .
6.如图，在OAB ∆中，已知P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+。

（1）若BP PA =，求,x y 的值；（2）若3
BP PA =，||4OA =，||2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求AB OP ⋅的值。

O B P A。