高考数学总复习第五章平面向量、复数第4讲数系的扩充与复数的引入课时作业(2021学年)

(浙江专用)2018年高考数学总复习第五章平面向量、复数第4讲数系的扩充与复数的引入课时作业
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第4讲数系的扩充与复数的引入
基础巩固题组
（建议用时:３0分钟)
一、选择题
１。

(2015·福建卷）若(1＋i）＋（2－3i)=a＋b i（a，b∈R，ｉ是虚数单位）,则a,b的值分别等于（）
A。

3,-2 B。

３，2 C．3,-3 D．-1,4
解析 (1＋i)＋(２－3i)＝3－2i＝ａ＋b i，∴a＝３,b=-２，故选A。

答案 A
2．(２０16·四川卷)设ｉ为虚数单位，则复数（1＋i)２＝（）
A。

0 ﻩＢ．2 ﻩ C.2i D.2＋2i
解析 (１+i）２＝1+2ｉ＋i2＝2i,故选C。

答案C
3。

(２０16·山东卷)若复数z＝＼f（2，1－ｉ)，其中i为虚数单位，则z＝( ）
A。

1+ｉB．1－i ﻩ C。

－１+i Ｄ。

－1-i
解析∵ｚ=错误!＝错误!＝1+i，∴z＝1-i,故选B.
答案 B
４。

（20１５·安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1-i）（1+2i)=( ）
A.3+３iﻩ B。

－１+3i ﻩ C.3＋ｉﻩ D。

-1+i
解析(1－i）（1＋2ｉ)＝1+２i－i－2i２=3+i。

答案Ｃ
5。

复数１-i
2－i
对应的点位于（)
A。

第一象限ﻩB。

第二象限
C.第三象限ﻩﻩD。

第四象限
解析复数错误!=错误!=错误!－错误!i，∴其对应的点为错误!,在第四象限，故选D.
答案 D
6.（2０１7·北京东城综合测试)若复数（ｍ２－m)＋ｍi为纯虚数,则实数m的值为( )
A.－1 ﻩＢ。

0 ﻩC。

１D．2
解析因为复数（m2-m）＋m i为纯虚数,所以错误!解得m=1，故选C。

答案C
7.已知复数ｚ=１＋2i
２-i
(i为虚数单位),则z的虚部为( )
A.－1
B.0 C。

１ D。

i
解析∵ｚ=错误!=错误!＝错误!＝i,故虚部为１。

答案 C
8.设z是复数,则下列命题中的假命题是( )
A。

若z2≥0,则z是实数ﻩB．若z2＜0,则z是虚数
C。

若ｚ是虚数，则z2≥0 ﻩD。

若ｚ是纯虚数,则ｚ2＜0
解析举反例说明，若z=i，则ｚ2=－1＜0,故选Ｃ．
答案C
9。

(2015·全国Ⅰ卷）已知复数ｚ满足(z-1）i=1+ｉ，则z等于( )
A。

－2－i ﻩ B。

－２＋i ﻩＣ。

2－i ﻩD。

2+i
解析由(ｚ-1)i＝1+ｉ，两边同乘以-ｉ，则有ｚ－1＝1-i,所以z=2－i。

答案C
10.设z1,ｚ２是复数，则下列命题中的假命题是( )
A。

若|z1－z2|=0,则z1＝z２
Ｂ。

若ｚ1＝ｚ2，则z1=z２
C。

若｜ｚ１｜=|z2｜，则z1·z１=ｚ2·z2
D．若|z１｜=|z2|,则z错误!＝z错误!
解析A中,｜z１-ｚ２|=0,则z1＝z２,故z1=z2，成立.B中，z1＝z２,则z1＝z2成立．Ｃ中，|z１|＝｜z2|,则|z1|２＝｜ｚ2|２,即ｚ1z１=z２z2,Ｃ正确。

Ｄ不一定成立,如z1＝1＋错误!i，ｚ2＝2,则｜z1|＝２=|ｚ2|，但z错误!＝-２＋2错误!i，ｚ错误!=4,ｚ错误!≠ｚ错误!。

答案D
１１。

(2017·浙江省三市联考)若复数z＝错误!+a在复平面上对应的点在第二象限,则实数a 可以是( ）
A。

-４B。

－3 ﻩ C。

１D。

2
解析因为z=＼f(a+3i,i）＋a＝(３+a)－ａi在复平面上对应的点在第二象限，所以a<-3，选A。

答案 A
１2.(201６·全国Ⅰ卷）设(1+ｉ)x=1+y i,其中x，y是实数,则｜x＋yｉ|=( )
A。

1 ﻩB． 2 C.错误!ﻩD．2
解析由（1+i）ｘ＝１＋ｙi,得x＋xｉ＝1＋y i⇒错误!⇒错误!所以|x＋y i｜＝错误!=错误!，故选B。

答案Ｂ
二、填空题
1３。

(201６·江苏卷改编)复数z=(1＋2i)(3－i),其中ｉ为虚数单位，则z的实部是＿______＿；z的虚部是＿＿__＿___。

解析(1＋２ｉ）(３－ｉ)＝3+5i－2i2＝5+5i，所以z的实部为5，虚部为５.
答案 5 5
１４.（2０15·四川卷)设i是虚数单位,则复数i-错误!=___＿＿__＿。

解析i－1
i
＝i－错误!＝2i。

答案２i
１5.(２0１5·江苏卷)设复数z满足z2=３＋4i(ｉ是虚数单位),则z的模为_______＿。

解析设复数ｚ＝a+b i,ａ,ｂ∈R，则ｚ2＝a２-b2＋2ab i=3＋4i,a，ｂ∈R,则错误!（a，b∈R)，解得错误!或错误!,则z=±（2+i）,故|z｜＝错误!。

答案5
１6.(2０17·丽水质测)若错误!=a+b i（a，b为实数，ｉ为虚数单位)，则ａ=___＿_＿__；b＝_____＿__．
解析错误!=错误!＝错误![(3－b）＋(3＋b）i］＝错误!+错误!i.∴错误!解得错误!∴a+ｂ=3．
答案 0 ３
能力提升题组
(建议用时：2０分钟)
1７.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数ｚ，则表示复数错误!的点
是（）
A。

Eﻩ B.F
C。

ＧﻩﻩD。

H
解析由题图知复数z=3＋i,
∴错误!=错误!=错误!＝错误!=2－i。

∴表示复数错误!的点为H．
答案D
18. z是z的共轭复数,若z＋z＝2，（ｚ-z)i＝2(i为虚数单位），则z等于（）
A。

1+i ﻩＢ.－1－i ﻩＣ.－1+i ﻩＤ．1－i
解析法一设z=a＋b i，a,b为实数,则z＝a－ｂi．
∵z＋z=2a＝2，∴a＝1。

又(z-z)i=2ｂi2=－2b＝２,∴ｂ＝－1.故z=1-i.
法二∵(z－z）i＝2，∴z-z=错误!＝－2i。

又z＋z＝2，∴（ｚ-z）+（z＋z)＝-2ｉ+2,
∴2z=－2i＋2,∴z=1-i。

答案 D
19。

(２０14·全国Ⅰ卷）设z=错误!＋i，则|z|=( ）
A。

错误!ﻩB。

错误! C.错误! D.2
解析∵z=错误!＋i＝错误!+ｉ=错误!＋i＝错误!+错误!ｉ,
∴｜z|=错误!＝错误!，故选Ｂ。

答案Ｂ
2０。

（2017·温州月考）已知复数ｚ=(cｏs θ-isｉｎθ）·（１＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是（）
A.θ＝错误! B。

θ=错误! C.θ=错误! D．θ＝错误!
解析因为z＝(cos θ+sin θ)＋(ｃos θ－sｉｎθ)i,所以当θ＝3π
4
时,z=-错误!i为纯
虚数,当z为纯虚数时，θ=kπ-错误!。

故选C。

答案Ｃ
２1。

（20１7·哈尔滨六中期中）若复数ｚ满足i·ｚ=-１
2
(１+i),则z的共轭复数的虚部是
( )
A。

－错误!i B。

错误!i Ｃ。

－错误!ﻩD。

错误!
解析i·ｚ=-＼f（１，2)(1＋i）⇒z=错误!＝错误!=错误!（－1+ｉ），则z的共轭复数z＝错误! (-1-i）,其虚部是－错误!。

答案 C
22.(２0１7·绍兴月考)ｉ是虚数单位,若错误!=a＋bｉ（a,b∈Ｒ）,则ｌg（a+b）的值是( ）A。

－２ﻩB．-１ﻩ C.0 ﻩＤ。

错误!
解析∵错误!＝错误!＝错误!-错误!i=a＋b i，
∴错误!∴lｇ(ａ+b）＝ｌg １=0。

答案C
23。

下面是关于复数z＝错误!的四个命题:
p
:|z｜＝2；ｐ2:ｚ2=2i；
1
p
：z的共轭复数为1+ｉ；p4：z的虚部为-1．
3
其中的真命题为( )
Ａ。

p２,p3ﻩＢ.p１,ｐ2 C.p2,p4ﻩＤ。

p3,p4
解析∵ｚ=错误!=-1－i,
∴|z｜=（-12＋(－1)2）＝＼ｒ（2）,∴ｐ1是假命题;
∵z2=(-１－i)２＝2i，∴ｐ２是真命题；∵z＝－1＋i,
∴p3是假命题；∵z的虚部为-1,∴p４是真命题。

其中的真命题共有２个:p２,p4。

答案C
24.(2017·广州综合测试)若1－i(ｉ是虚数单位)是关于x的方程ｘ2＋2pｘ+q＝０（p，ｑ∈Ｒ）的一个解，则p+ｑ＝（)
A。

-３ B。

－1 C.1 D。

3
解析依题意得(1-i)2+2p(1-ｉ)+q=(２p+ｑ）－2(p＋1)i＝0,即错误!解得p＝-1,q=2，所以ｐ＋q=１，故选Ｃ。

答案C
25.复数（3+i）m-（２＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是＿____＿__.
解析z＝(3ｍ－2)＋（ｍ－１)i,其对应点（3ｍ-2,m-1)在第三象限内,故3ｍ－2〈0且m-1<０,∴m〈错误!.
答案错误!
26。

设f（n)=错误!错误!＋错误!错误!(n∈Ｎ＊)，则集合{f（n）｝中元素的个数为_＿______。

解析f（ｎ)=错误!错误!+错误!错误!=i n＋(－i)ｎ，
f（1）＝０,ｆ(2）=－２,f(3)＝０，f（4）＝2,f（5）＝0,…
∴集合中共有3个元素.
答案 3
２7．(20１7·杭州调研)已知复数z＝x＋yｉ,且|z－2|＝＼ｒ（3),则＼ｆ(y,x）的最大值为___＿＿＿＿_；最小值为_＿______.
解析∵|ｚ-2｜＝错误!=错误!,
∴(x－2)2＋ｙ２=３.
由图可知错误!错误!=错误!=错误!。

错误!错误!＝-错误!。

答案＼r(3）－＼r(３)
2８．定义运算=ad－bc．若复数x＝＼f(1-ｉ,１＋i),ｙ=,则y=___＿_＿__.解析因为x＝＼ｆ（1－i,1＋ｉ)=错误!=－i。

所以ｙ=＝＝-２。

答案－2
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