光纤光栅法布里_珀罗腔的V_I传输矩阵法研究

=
r1 1 +
2
+
2
r2 r2
2 2
r1
12 期
李卓轩等： 光纤光栅法布里 -珀罗腔的 V-I 传输矩阵法研究
8617
其中 r 1 和 r 2 是 由 （ 9 ） 式 计 算 得 到 的 光 纤 光 栅 反 射 β = 2 π n / λ 表示波长为 λ 的光波在折射率为 n 系数， 的光纤中传输时的 传 播 常 数， Φ r1 和 Φ r2 分 别 是 光 栅 反射系数 r 1 和 r 2 的相位 .
李卓轩 裴 丽

祁春慧 彭万敬 宁提纲 赵瑞峰 高 嵩
100044 ）
（ 北京交通大学光波技术研究所， 全光网络与现代通信网教育部重点实验室，北京 （ 2009 年 12 月 6 日收到；2010 年 7 月 8 日收到修改稿）
快 速 有 效 地 获 得 多 级 联 光 纤 光 栅 法 布 里 -珀 罗 （ F-P ） 腔 的 光 谱 特 性 ， 是优化设计基于上述结构建立的级联多 波长激光器、 放 大 器 等 各 种 光 器 件 以 及 复 杂 分 布 式 传 感 网 络 的 重 要 基 础 和 保 障 . 将 V-I 传 输 矩 阵 法 用 于 光 纤 光 栅 F-P 腔 反 射 光 谱 特 性 的 分 析 ， 并 建 立 了 V-I 传 输 矩 阵 模 型 . 采 用 该 模 型 对 三 种 不 同 结 构 的 光 纤 光 栅 F-P 腔 在 不 同 并与传统多层膜法的分析结果相比较， 表 明 V-I 传 输 矩 阵 法 能 够 在 保 证 分 析 精 度 的 参数下的光谱特性进行分析， V-I 传 输 矩 阵 法 对 光 纤 光 栅 F-P 腔 谱 特 性 的 分 析 结 果 比 耦 合 模 法 更 前提下大大节省运算时间. 实验 结 果 表 明， 准确.
第 59 卷 第 12 期 2010 年 12 月 10003290 /2010 /59 （ 12 ） /8615-10
物
理
学
报
ACTA PHYSICA SINICA
Vol. 59 ， No. 12 ， December ， 2010 2010 Chin. Phys. Soc.
I 光纤光栅法布里 珀罗腔的 V* 传输矩阵法研究
3. 数值仿真
图 2 所示为将两个光栅串联在一起形成本征型 L2 和 h 分 别 的光纤光 栅 F-P 腔 结 构 . 图 2 中 的 L 1 ， 为光栅 1 的 长 度 、 光 栅 2 的 长 度 和 光 纤 光 栅 F-P 腔 腔长 . 下面将 利 用 建 立 的 V-I 传 输 矩 阵 模 型 分 别 对 三 种 结 构 的 光 纤 光 栅 F-P 腔 反 射 光 谱 特 性 进 行 分析 .
关键词 ： V-I 传输矩阵法，光纤光栅法布里 -珀罗腔特性，分析精度，运算时间
PACC ： 4280F ，4281W
度， 但求解 速 度 较 慢 . 要 快 速 实 时 获 得 基 于 多 级 联
1. 引
言
光栅 F-P 腔 的 光 器 件 、 光通信系统以及光传感系统 等的特性， 由于庞大 的 运 算 量 而 引 起 耗 费 时 间 过 长 将成为突出问题 . 2003 年， Capmany 等［8 ］提 出 了 基 于 多 层 膜 方 法 的 V-I 传输矩 阵 法， 并将该方法用于计算光纤光栅 反射谱特性 . 本 文 将 V-I 传 输 矩 阵 法 用 于 光 纤 光 栅 F-P 腔特性的 分 析， 建 立 了 分 析 光 纤 光 栅 F-P 腔 特 性的 V-I 传输 矩 阵 模 型， 利用此模型讨论了在均匀 光纤光栅 F-P 腔 、 啁啾光纤光栅 F-P 腔 、 非匹配光栅 F-P 腔三种结 构 下 的 数 值 分 析 结 果， 实验结果与理 论分析结果相一致 .
采用下列变量替换： V m = E m， i + E m， r， Im = 1 （ E i － E m， r）， Z m m，
［ 8］
其中 Z m = 120 π / n m （ n m 为 第 m 层 光 场 的 折 射 率 ） . V-I 传输矩阵法将传输光场表示为
[ ]
Vm Im
= VI m
[ ]
光纤光栅法布里 -珀罗（ F-P ） 腔以其优良的选频 特性 、 灵活 的 可 调 谐 性 、 低差损以及与光通信系统 的良好兼容性等优 点， 在 光 器 件、 光 传 感、 光网络等 研究领域发挥着越 来 越 重 要 的 作 用 . 尤 其 是 近 年 来 全光网络研究的迅 速 发 展， 对于能有效降低光网络 成本的高性能光器 件 的 需 求 更 为 迫 切， 基于多级联 光纤光 栅 F-P 腔 可 满 足 更 大 波 长 范 围 的 光 纤 激 光 器
Vm +1 Im +1
［ 9， 10 ］ 进而得到光纤光栅 F-P 腔的反射率为
R F-P = r F-P
2

－ 2 r1 － 2 r1 r 2 cos （ 2 β h － Φ r1 － Φ r2 ） r 2 cos （ 2 β h － Φ r1 － Φ r2 ） ， （ 10 ）
.
对比（ 2 ） 和 （ 8 ） 式 可 以 发 现： V-I 传 输 矩 阵 法 利 用 变 量替换将界面矩阵 演 变 为 单 位 矩 阵， 与多层膜法相 V-I 传输 矩 阵 法 参 与 运 算 的 矩 阵 数 量 减 少 了 一 比， 半， 有效缩短了运算时间 . 根据多层 膜 法 计 算 单 一 光 栅 的 反 射 系 数 公 式 r = A 21 / A 11 ， 利用（ 5 ） 式 可 得 V-I 传 输 矩 阵 法 计 算 单 一光栅的反射系数表达式 r = VI 11 + VI 12 / Z 2 － VI 21 Z 1 － VI 22 Z 1 / Z 2 . （9） VI 11 + VI 12 / Z 2 + VI 21 Z 1 + VI 22 Z 1 / Z 2
图1 光纤光栅相邻两层膜光传播示意图
与（ 1 ） 式进行比较后可得 VI m11 1 / 2 Z /2 VI m12 = 2 VI 1 / 2Z 1 m21 VI m22 Z2 / 2Z1 A m11 A m12 × . A m21 A m22 利用（ 5 ） 式， 可得第 m 层界面矩阵 VI m t = 1 /2 － Z2 / 2 1 / 2Z1 － Z2 / 2Z1 1 /2 Z2 / 2 － 1 / 2Z1 － Z2 / 2Z1 － Z2 / 2 － 1 / 2Z1 Z2 / 2Z1 1 /2
图2
光纤光栅 F-P 腔结构
3. 1. 均匀光纤光栅 FP 腔结构 3. 1. 1. V-I 传输矩阵法分析的准确性和快速性 两均匀光纤 光 栅 参 数 选 取 如 下： 光 栅 长 度 L = L 1 = L 2 = 5 mm ， 有效折射率 n = 1. 4513 ， 折射率调制
－4 条纹可见度 v = 1， 光栅周期 Λ 量 Δ n = 1. 26 × 10 ，
图4
V-I 传输矩阵法与多层膜法计算均匀光纤光栅 F-P 腔
反射谱的误差
3. 1. 2. 不同光栅长度的 V-I 传输矩阵法分析 5， 8 mm ， 光栅长度参数分别 取 L = 3 ， 其他参数 不变 . 图 5 所 示 为 V-I 传 输 矩 阵 法 计 算 F-P 腔 反 射 率随 L 的变化 . 由图 5 可以看出， 随着光栅长度 L 的 F-P 腔谐 振 峰 宽 度 变 窄， 增大， 峰 值 反 射 率 增 大， 通
[ ]
E1， i E1， r
= A 0 t A 0 p A 1t A 1p … A （ N － 1 ） t A （ N － 1 ） p A N t
[ ]
V1 I1 （2） （ 3a ） （ 3b ）
= VI 0p VI 1p … VI （ N － 1 ） p
[ ]
VN IN
.
（8）
×
[ ]
E N， i E N， r
利用（ 5 ） 式， 可得第 m 层传输矩阵 VI m p cos m = sin m j Zm （7）
其中 m = （ 2 π n m / λ ） Z m . 由于界面矩阵为单位矩阵， 联乘的结果等 于 1 ， 因 此 对 于 整 个 光 栅 段， 利 用 V-I 传输矩阵法有
选 取 相 同 参 数， 图 4 所 示 为 V-I 传 输 矩 阵 法 与 多层膜法求解的均匀光纤光栅 F-P 腔反射谱的比较
－4 结果， 两种分 析 方 法 获 得 的 结 果 误 差 在 10 量 级 .
在相同参数和相同 求 解 目 的 下， 两种方法的运算时 间分别为 4. 553 和 7. 422 s. 当 V-I 传 输 矩 阵 法 用 于 求解 级 联 F-P 腔 反 射 谱 特 性 时， 这种运算效率的提 升与 F-P 腔级联个数成正比 .
* 国家自然科学基金（ 批准号：60771008 ， 60837002 ） 、 北京市自然科学 基 金 （ 批 准 号：4082024 ） 、 教育部留学回国人员科研启动基金（ 批准 号：2008890 ） 和高等学校博士学科点专项科研基金（ 批准号：200800040002 ） 资助的课题 . 通讯联系人 . E-mail ： lipei@ bjtu. edu. cn
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理
学
报
59 卷
=
[
VI m11 VI m21
VI m12 VI m22
][ ]
Vm +1 Im +1
.
（4）
这里 VI m 的物理意义为用 V-I 传输矩阵法求解的第 m 层薄层分矩阵， 它可以 写 成 第 m 层 界 面 矩 阵 VI m t 与传输矩阵 VI m p 的乘积 . 将 V m 和 I m 代入（ 4 ） 式， 再
［ 1， 2］
、 光纤放 大 器 、 光 纤 上 下 话 路 器、 光纤滤波器
［ 3］
等光器件 已 成 为 研 究 的 热 点
. 此 外， 随着光纤传
感在越来越多领域的应用， 基于多级联光纤光栅 F-P 腔的分布式传感对 于 实 现 三 维 空 间 、 长距离信号检 测的研究也引起了各国研究者的广泛关注 性分析多 采 用 耦 合 模 理 论
［ 5， 6］ ［ 4］
2. 模
型
. 多层膜法将光 栅 看 成 多 层 膜 结 构， 相邻两层膜 之间的光场可以表 示 为 正 向 波 与 反 向 波 之 和， 如图 1 所 示. 每 层 薄 膜 内 传 输 的 光 场 可 用 界 面 矩 阵 和 传 输矩阵的乘 积 来 表 示， 将 各 层 矩 阵 连 乘， 得到一个 二阶矩阵， 继而分析光纤光栅的特性 .
A m21
]
，
（ 1a ）
（5）
1 （ am + 1） 2am （ a － 1） m
[
（ am － 1） （ am + 1）
]
， （ 1b ）
[
e
j m
0 e
－ j m
0
[ 0 1] .
1 0 j Z m sin m ， cos m
（6）
这里 A m t 为第 m 层 的 界 面 矩 阵， 且 am = nm + 1 / nm 为 且 相邻层的 折 射 率 比； A m p 为 第 m 层 的 传 输 矩 阵， m = βm lm = （ 2 πnm / λ ） lm ， 其 中 lm 为 第 m 层 薄 膜 厚 度， βm 表 示 波 长 为 λ 的 光 波 在 折 射 率 为 nm 的 光 纤 中传输时的传播常数 . 由于多层 膜 法 求 解 的 第 m 层 薄层分矩阵 A m 可以 写 成 第 m 层 界 面 矩 阵 A m t 与 传 对于整个光栅段有 输矩阵 A m p 的乘积 . 因此，
用 E m 和 E m + 1 分别表示第 m 层和第 m + 1 层的 光场， 两者有如下关系：
[ ] [ [
E m， i E m， r = = A mt = A mp =
E m +1， i E m +1， r
] ][ ]
. E m +1， i E m +1， r
A m11
A m12 A m22
目前， 对于由结 构 简 单 的 光 栅 构 成 F-P 腔 的 特 . 但对于复杂结构光 栅， 由于难 以 得 到 耦 合 模 方 程 的 解 析 解， 一般采用 四阶 Runge-Kutta 法进 行 数 值 求 解 或 采 用 多 层 膜 法 进行分 析 计 算
［ 7］
. 这两种方法都可以保证分析精