山东省潍坊市诸城市树一中学2013年中考数学二模试卷(解析版)

2013年山东省潍坊市诸城市树一中学中考数学二模试卷
一、选择题（本题共12小题，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记0分.）
1．（3分）（2013•枣庄）下列计算正确的是（）
A．﹣|﹣3|=﹣3 B．30=0 C．3﹣1=﹣3 D．=±3
考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂．
分析：A、根据绝对值的定义计算即可；
B、任何不等于0的数的0次幂都等于1；
C、根据负整数指数幂的法则计算；
D、根据算术平方根计算．
再比较结果即可．
解答：解：A、﹣|﹣3|=﹣3，此选项正确；
B、30=1，此选项错误；
C、3﹣1=，此选项错误；
D、=3，此选项错误．
故选A．
点评：本题考查了绝对值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，解题的关键是掌握这些运算的运算法则．
2．（3分）据潍坊新闻网报道，为期四天的中国（潍坊）第三届文化艺术展示交易会，到场观众与客商累计21.4万人次，交易额共计3.2亿元．其中21.4万用科学记数法表示为（）
A．2.14×105B．21.4×104C．2.14×106D．2.14×104
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将21.4万用科学记数法表示为2.14×105．
故选A．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2010•珠海）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是（）
A．（﹣2，6）B．（﹣2，0）C．（﹣5，3）D．（1，3）
考点：坐标与图形变化-平移．
分析：直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解答：解：将点P（﹣2，3）向右平移3个单位到Q点，
即Q点的横坐标加3，纵坐标不变，即Q点的坐标为（1，3），故选D．
点评：本题考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
4．（3分）（2009•成都）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠0
考点：根的判别式．
专题：压轴题．
分析：方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．注意考虑“一元二次方程二次项系数不为0”这一条件．
解答：解：因为方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
则b2﹣4ac＞0，即（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1．又结合一元二次方程可知k≠0，
故选B．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
本题容易出现的错误是忽视k≠0这一条件．
5．（3分）（2010•汕头）如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）
A．A B=BE B．A D=DC C．A D=DE D．A D=EC
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据折叠前后对应线段相等易判断A、C正确；根据∠C=45°可判断△CDE是等腰直角三角形，EC=DE，CD＞DE．故D正确，B错误．
解答：解：根据折叠性质，有AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEC=90°．
∴A、C正确；
又∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，EC=DE，CD＞DE．
∴D正确，B错误．
故选B．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
6．（3分）（2011•梅州）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：℃），这组数据的中位数和众数分别是（）
A．22℃，26℃B．22℃，20℃C．21℃，26℃D．21℃，20℃
考点：中位数；众数．
专题：压轴题．
分析：首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数和众数定义即可求出．
解答：解：把所给数据按照由小到大的顺序排序后为20、20、21、23、26，
∴中位数为21，众数为20．
故选D．
点评：此题考查了中位数、众数的求法：
①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，
位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．一组数据是不一定存在众数的；
如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
7．（3分）（2004•深圳）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（）
A．B．C．D．
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析：先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解答：解：由（1）得x≥﹣1，
由（2）得x≤3，
根据“小大大小中间找”的原则可知
不等式组的解集为﹣1≤x≤3．
故选D．
点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
8．（3分）（2010•菏泽）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm
考点：菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
分析：首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
连接AC，
∵∠B=∠D=60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥B C，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE=cm，
∴周长是3cm．
故选B．
点评：此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．
9．（3分）（2009•孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得
△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
考点：坐标与图形变化-旋转；锐角三角函数的定义．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据旋转的概念“旋转不改变图形的大小和形状”，即可解决问题．
解答：解：已知B′A′=BA=1，∠A′OB′=∠AOB=30°，OB′=OB=，
做B′C⊥x轴于点C，那么∠B′OC=60°，OC=OB′×cos60°=，
B′C=OB′×sin60°=×=，
∴B′点的坐标为（，）．
故选D．
点评：需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，再由三角函数的意义，计算可得答案．
10．（3分）（2010•烟台）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题：压轴题．
分析：已知OE是⊙O的半径，D是弦AB的中点，可根据垂径定理的推论来判断所给出的结论是否正确．解答：解：∵OE是⊙O的半径，且D是AB的中点，
∴OE⊥AB，弧AE=弧BE=弧AEB；（故①⑤正确）
∴AE=BE；（故②正确）
由于没有条件能够证明③④一定成立，所以一定正确的结论是①②⑤；
故选B．
点评：此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的推论；
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧．11．（3分）（2010•盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）
A．38 B．52 C．66 D．74
考点：规律型：数字的变化类．
专题：压轴题；规律型．
分析：分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10．
解答：解：8×10﹣6=74，故选D．
点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出阴影部分的数．
12．（3分）（2011•宜宾）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象．
专题：压轴题；图表型．
分析：根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点p在DC山运动时，y 随着x的增大而增大，当点p在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．
解答：解：当点P由点A向点D运动时，y的值为0；
当点p在DC上运动时，y随着x的增大而增大；
当点p在CB上运动时，y不变；
当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
二、填空题（本题共6小题，共18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13．（3分）（2010•天津）如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠C=∠E（答案不惟一，也可以是AB=FD或AD=FB）．
考点：全等三角形的判定．
专题：开放型．
分析：要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，BC=DE，具备了两组边对应相等，故添加∠C=∠E，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解答：解：增加一个条件：∠C=∠E，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等．（答案不唯一）．
故填：∠C=∠E．
点评：本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
14．（3分）已知ab=1，a+b=﹣2，则式子= 2 ．
考点：分式的化简求值．
专题：探究型．
分析：先通分，再把ab=1，a+b=﹣2代入进行计算即可．
解答：解：原式=
=，
当ab=1，a+b=﹣2时，
原式==2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
15．（3分）（2009•中山）分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y= （x+y）（x﹣y﹣3）．
考点：因式分解-分组分解法．
分析：根据观察可知，此题有4项且前2项适合平方差公式，后2项可提公因式，分解后也有公因式（x+y），直接提取即可．
解答：解：x2﹣y2﹣3x﹣3y，
=（x2﹣y2）﹣（3x+3y），
=（x+y）（x﹣y）﹣3（x+y），
=（x+y）（x﹣y﹣3）．
点评：本题考查了分组分解法进行因式分解，关键是分组后组与组之间可以继续进行因式分解．
16．（3分）（2009•呼和浩特）如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5，则该四边形的面积是．
考点：解直角三角形．
专题：压轴题．
分析：如图，延长DA、CB交于点E，则∠ABE=60°，∴∠E=30°．而AB=4，由此可以求出AE，然后在Rt△DEC 中求出CE；根据三角形的面积公式和图形的割补法求出图形的面积．
解答：解：延长DA、CB交于点E，则∠ABE=60°，
∴∠E=30°．
∵AB=4，∴BE=8，
∴AE=4．
在Rt△DEC中，∠E=30°，
∴CE=CD=15，
∴S△ABE=×4×4=8，
S△CDE=×15×5=，
所以该图形的面积为：﹣8=．
点评：考查运用“割补法”求图形面积．
17．（3分）（2009•台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为=．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
分析：要求的未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下”；等量关系为：小林跳90下的时间=小群跳120下的时间．
解答：解：小林跳90下的时间为：，小群跳120下的时间为：．所列方程为：．
点评：题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
18．（3分）如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．阴影部分面积为（结果保留π）8﹣π．
考点：扇形面积的计算；正方形的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据图形可得，阴影部分的面积等于三角形BCD的面积减去扇形OCE的面积，代入面积公式进行计算即可．
解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=4，
∴OC=2，
∴S阴影=S△BCD﹣S扇形OCE=×4×4﹣=8﹣π．
故答案为8﹣π．
点评：本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，是基础知识要熟练掌握．
三、解答题（本题共6个小题，共计66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（10分）（2013•枣阳市模拟）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）求△AEF的面积．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）由于四边形ABCD是正方形，可得∠B=90°，AB=BC，而G、E是AB、BC中点，易证BG=BE，可求∠BGE=∠BEG=45°，利用三角形外角性质可得∠BGE=∠1+∠2=45°，又知∠AEF=90°，易求∠1+∠4=45°，从而可证∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，可求∠AGE=135°，而CF是外角平分线，可求∠FCE=45°，进而可求∠ECF=135°，那么∠AGE=∠ECF，根据正方形的性质以及重点定义，易证AG=EC，又知∠4=∠2，利用ASA可证△AGE≌△ECF，于是EA=EF，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AE2=a2，进而可求△AEF 的面积．
解答：证明：如右图，
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵G、E是AB、BC中点，
∴BG=AB，BE=BC，
∴BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠BGE=∠1+∠2=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠1+∠4=180°﹣45°﹣90°=45°，
∴∠2=∠4，
即∠BAE=∠FEC；
（2）由（1）知∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°，
∵CF是∠DCH的角平分线，
∴∠FCH=×90°=45°，
∴∠ECF=135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵G、E是AB、BC中点，
∴AG=AB，EC=BC，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECF中，
，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
在Rt△ABE中，∵AE2=AB2+BE2，
∴AE2=a2，
∴S△AEF=×AE×EF=AE2=×a2=a2．
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形外角性质，解题的关键是证明∠BAE=∠FEC，以及证明△AGE≌△ECF．
20．（10分）（2013•沐川县二模）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）将该条形统计图补充完整；
（2）求该校平均每班有多少名留守儿童？
（3）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；列表法与树状图法．
分析：（1）根据留守儿童有4名的班级占20%，可求得有留守儿童的总班级数，再减去其它班级数，即可补全统计图；
（2）根据班级个数和班级人数，求出总的留守儿童数，再除以总班级数，即可得出答案；
（2）根据（1）可知，只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，再设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，再根据概率公式即可得出答案．
解答：解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），
只有2名留守儿童的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），
补图如下：
（2）该校平均每班留守儿童的人数为：（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）÷20=4（个）；
（3）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设A1，A2来自一个班，B1，B2来自
一个班，如图；
由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，
则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：=．
点评：本题考查了条形统计图和扇形统计图以及及树状图的画法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（11分）（2011•宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y2=的图象与的图象关于y轴对称，在y2=的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ丄x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）根据x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐
标即可．
解答：解：（1）∵x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．
∴A点的横坐标是﹣1，
∴A（﹣1，3），
设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，
则，
解之得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y2=的图象与的图象关于y轴对称，∴y2=（x＞0），
∵B点是直线y=﹣x+2与y轴的交点，
∴B（0，2），
设p（n，）n＞2，
S四边形BCQP=S四边形OQPB﹣S△OBC=2，
∴（2+）n﹣×2×2=2，
n=，
∴P（，）．
点评：此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．
22．（11分）（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=AB；
（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．
考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．
解答：（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．（3分）（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=AB．（6分）（3）解：连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴．
∴BM2=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=2．
∴MN•MC=BM2=8．（10分）
点评：此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．23．（12分）（2011•盐城）利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
考点：二次函数的应用；二元一次方程组的应用．
专题：销售问题；压轴题；图表型．
分析：（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲乙每天分别卖出：（500+100）件，（300+100）件，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；即可得出总利润，利用二次函数最值求出即可．
解答：解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，
根据题意得：，
解得：；
答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．
∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，
甲乙每天分别卖出：（500+100）件，（300+100）件，
∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2=1元，5﹣3=2元，
每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；
w=（1﹣m）×（500+100）+（2﹣m）×（300+100），
=﹣2000m2+2200m+1100，
当m=﹣=﹣=0.55元，
故降价0.55元时，w最大，最大值为：1705元，
∴当m定为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．
点评：此题主要考查了二元一次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O1与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC，CD是⊙O1的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）求抛物线的解析式；
（3）判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）根据切线的性质得出O1C∥AD，进而得出O1A=O1C，则∠CAB=∠O1CA，即可得出答案；
（2）首先得出△CAO∽△BCO，即可得出，再利用OC2=2CO（10﹣2CO），得出A．B，C交点坐标，即可得出抛物线解析式；
（3）首先求出△AOC≌△ADC即可得出AD=AO=8，利用O1C∥AD，得出△FO1C∽△FAD，即可求出F 点坐标，求出CD解析式，再利用E点坐标代入解析式即可得出答案．
解答：（1）证明：连接O1C，
∵CD是⊙O1的切线，
∴O1C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O1C∥AD，
∴∠O1CA=∠CAD，
∵O1A=O1C，
∴∠CAB=∠O1CA，
∴∠CAD=∠CAB；（2）解：∵AB是⊙O1的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴，
即OC2=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10﹣2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（8，0），B（﹣2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；（3）解：设直线DC交x轴于点F，在△AOC和△ADC中，
，
∴△AOC≌△ADC（AAS），
∴AD=AO=8，
∵O1C∥AD，
∴△FO1C∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F（）；
设直线DC的解析式为y=kx+m，则
，
解得：，
∴直线DC的解析式为y=x+4，
由=得顶点E的坐标为（3，），
将E（3，）代入直线DC的解析式y=x+4中，
右边=×3+4==左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，得出A，B，C点坐标是解题关键．。