2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数层级快练23 文

层级快练(二十三)
1．(2018·江苏无锡模拟)函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π
2
，π]上的简图是( )
答案 A
解析 令x ＝0得y ＝sin(－π3)＝－32，排除B 、D f(π
6
)＝0，排除C 项．故选A.
2．(2018·西安九校联考)将f(x)＝cosx 图像上所有的点向右平移π
6个单位，得到函数y ＝
g(x)的图像，则g(π
)＝( )
B ．－
32
D ．－12
g(π2)＝cos(π2－π6)＝sin π6＝1
2
.
3－π
3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移π
3
个单位
答案 B
解析 y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图像向右平移π
12个单位．故
选B.
4．(2017·课标全国Ⅰ，理)已知曲线C 1：y ＝cosx ，C 2：y ＝sin(2x ＋2π
3)，则下面结论正
确的是( )
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单
位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单
位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单
位长度，得到曲线C 2 答案 D
解析 ：y ＝cosx 可化为y ＝sin(x ＋π
2)，所
以C 1＋π
2)的图像，再将得到的曲线
＋12)＋2]，即y ＝sin(2x ＋2π
3)的图像，故选D.
5－π3)图像上的点P(π
4，t)向左平移s(s>0)个单位
的图像上，则( ) A B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C D ．t ＝
32，s 的最小值为π3
解析 因为点P(π4，t)在函数y ＝sin(2x －π3)的图像上，所以t ＝sin (2×π4－π3)＝sin
π6＝12.又P ′(π4－s ，12)在函数y ＝sin2x 的图像上，所以12＝sin2(π4－s)，则2(π
4－s)＝2k π＋π6或2(π4－s)＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π
6，k ∈Z .又s>0，
故s 的最小值为π
6
.故选A.
6．(2017·河北石家庄模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π6)的图像向右平移2π
3个单位长度
后与原图像重合，则ω的最小值为( ) A.4
3 B.23 C ．3 D ．4
答案 C
解析 由题意知2π3＝k·2πω(k∈N *)，所以ω＝3k(k∈N *
)，所以ω的最小值为3.故选C.
7．设函数f(x)＝2sin(π2x ＋π
5)．若对任意x∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－
x 2|的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.12 答案 B
解析 f(x)的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝T
2
＝2.
8．(2013·湖北)将函数y ＝3cosx ＋sinx (x∈R )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π
6 C.π3 D.5π6 答案 B
解析 y ＝3cosx ＋sinx ＝2(
32cosx ＋12sinx)＝2sin(x ＋π
3
)的图像向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)的图像，此图像关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin(m ＋π
3)
＝±2，所以m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，由于m>0，所以m min ＝π
6
，故选B.
9．(2017·天津)设函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f(5π
8)＝2，
f(11π8)＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
答案 A
解析 由f(5π8)＝2，得5π8ω＋φ＝π
2＋2k π(k∈Z )，①
由f(11π8)＝0，得11π
8
ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z )，②
由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k)，又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝2
3，又|φ|<
π，将ω＝23代入①得φ＝π
12
.选项A 符合．
10．(2018·河南百校联考)已知将函数f(x)＝tan(ωx ＋π3)(2<ω<10)的图像向右平移π
6个
单位长度后与f(x)的图像重合，则ω＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．8
答案 B
解析 函数f(x)＝tan(ωx π
6
个单位长度得函数y ＝tan[ω(x －π6)＋π3]＝tan(ωx 的图像，所以－ωπ
6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝－
6k ，k ∈Z .因为2<ω<10，所以k ＝－1时，ω＝6.故选B.
11．(2018·河南名校联考)已知函数f(x)＝43sin(ωx ＋π
3)(ω>0)在平面直角坐标系中的
部分图像如图所示，若∠ABC＝90°，则ω＝( )
A.π4
B.π8
C.π6
D.π12
答案 B
解析 由三角函数图像的对称性知P 为AC 的中点，又∠ABC＝90°，故|PA|＝|PB|＝|PC|
＝T 2，则|AC|＝T.由勾股定理，得T 2＝(83)2
＋(T 2)2，解得T ＝16，所以ω＝2πT ＝π8. 12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx －π6)(ω>0)，若f(0)＝－f(π2
)且在(0，π
2)上有且仅有三个零点，则ω＝( ) A.23 B ．2 C.263 D.14
3
或6 答案 D
解析 由f(0)＝－f(π2)，得π2ω－π6＝π6＋2k π，k ∈Z 或π2ω－π6＝5π
6＋2k π，k ∈Z ，
解得ω＝23＋4k ，k ∈Z 或ω＝2＋4k ，k ∈Z .因为函数f(x)在(0，π
2)上有且仅有三个零点，
所以T ＋T 12<π2≤3T 2＋T 12，T ＝2πω，则133<ω≤193，因此ω＝14
3
或6.故选D.
13．(2018·湖南长沙联考)把函数y ＝sin2x 的图像向左平移π
4个单位长度，再把所得图像
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图像的解析式为________． 答案 y ＝cosx
解析 把函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位长度，得函数y ＝sin2(x ＋π
4)＝sin(2x ＋
π
2
)＝cos2x 的图像，再把y ＝cos2x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cosx 的图像．
14．(2015·湖南，文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________． 答案
π2
解析 由题意，两函数图像交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，易知|PQ|2
＝(x 2－x 1)2
＋(y 2－y 1)2
，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin(ωx －π
4)的两个相邻零点之间的距
离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝(2π2ω)2＋(22)2
，ω＝π2
.
15．(2018·江西新余期末)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π
2)的部分图像如图所示，则φ＝________．
答案
π6
解析 由题中图像知A ＝2，∴f(x)＝2sin(ωx ＋φ)．∵点(0，1)在函数的图像上，∴1＝2sin φ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z .∵|φ|<π2，∴φ＝π
6.
16．(2018·辽宁铁岭联考)如图是函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω
的一部分．
(1)求函数y ＝f(x)的解析式；
(2)若f(α＋π)＝3，α∈[π
，π]，求tan2α的值．
(－π6)＝π，∴ω＝2π
T ＝2，∴f(x)＝3sin(2x ＋
k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .结合|φ|<π
2，得φ
＝3，∴＋3
(2)∵f(α＋π12)＝32，∴3sin(2α＋π2)＝32，∴cos2α＝12.
∵α∈[π2，π]，∴2α∈[π，2π]，∴2α＝5π
3.
∴tan2α＝tan 5π3＝tan(－π3)＝－tan π
3
＝－ 3.
17.(2018·湖北七校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π
2)的部分图像如图所示，其中点P(1，2)为函数f(x)
图像的一个最高点，Q(4，0)为函数f(x)的图像与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y ＝f(x)的图像向右平移2个单位长度得到y ＝g(x)的图像，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的图像的对称中心．
答案 (1)f(x)＝2sin(π6x ＋π3) (2)(3k ＋1
2，1)(k∈Z )
解析 (1)由题意得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12. 又∵2πω＝12，∴ω＝π
6
.
将点P(1，2)代入f(x)＝2sin(π6x ＋φ)，得sin(π
6＋φ)＝1.
∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sin(π6x ＋π
3)．
(2)由题意，得g(x)＝2sin[π6(x －2)＋π3]＝2sin π
6x.
∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin(
π6x ＋π3)·sin π6x ＝2sin 2π
6x ＋23·sin π6x ·cos π6
x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin(π3x －π
6)．
由π3x －π6＝k π(k∈Z )，得x ＝3k ＋1
2(k∈Z )． ∴函数y ＝h(x)图像的对称中心为(3k ＋1
2
，1)(k∈Z )．
18．(2017·上饶地区联考)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π
6
)＋a 的最大值为2.
(1)求实数a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f(x)在[0，π]上的图像． 答案 (1)a ＝－1，T ＝π (2)略
解析 (1)f(x)＝4cosx(sinxcos π6＋cosxsin π
6)＋a
＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π
6)＋a ＋1，
最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π
2＝π.
(2)列表如下：
1φ(0<φ<π
2)个单位后得到函数g(x)的图像，若对
||x 1－x 2min ＝π
3，则φ＝( )
B.π
3 D.π6
＝sin(2x －2φ)．
又∵|f(x 1)－g(x 2)|＝2，∴不妨2x 1＝π2＋2k π，2x 2－2φ＝－π2＋2m π，∴x 1－x 2＝π
2－φ
＋(k －m)π，又∵||x 1－x 2min ＝π3，∴π2－φ＝π3⇒φ＝π
6，故选D 项．
2．(2017·衡水中学调研卷)与图中曲线对应的函数是( )
A ．y ＝sinx
B ．y ＝sin|x|
C ．y ＝－sin|x|
D ．y ＝－|sinx|
答案 C
3．(2016·课标全国Ⅱ，理)若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则平移后
图像的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π
6(k∈Z )
B ．x ＝k π2＋π
6(k∈Z )
C ．x ＝k π2－π
12(k∈Z )
D ．x ＝k π2＋π
12
(k ∈Z )
答案 B
解析 函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π
12个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y ＝
2sin2(x ＋π12)，令2(x ＋π12)＝k π＋π2(k∈Z )，解得x ＝k π2＋π
6(k∈Z )，所以所求对称轴的
方程为x ＝k π2＋π
6
(k∈Z )，故选B.
4．(2018·郑州质量预测)如图，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤π
2)的图像与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P(1，0)，∠PQR
＝π
4，M(2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( ) A ．2 3 B.73
3
C.833
D ．4 3
答案 C
解析 依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ|＝6，ω＝π
3，因为
f(1＋42)＝Asin(π3×52＋φ)＝A>0，即sin(5π6＋φ)＝1，又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π
3，
因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，又点R(0，－4)在f(x)的图像上，所以Asin(－π
3)＝－4，
解得A ＝833
.故选C.
5．(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A ．(k π－14，k π＋3
4)，k ∈Z
B ．(2k π－14，2k π＋3
4)，k ∈Z
C ．(k －14，k ＋3
4)，k ∈Z
D ．(2k －14，2k ＋3
4
)，k ∈Z
答案 D
解析 观察题目中函数图像，得T ＝2(54－14)＝2＝2π
ω，从而ω＝ππx
＋φ)．将点(14，0)的坐标代入上式，得0＝cos(π4＋φ)2k π
(k∈Z )．
取k ＝0，得φ＝π4.所以f(x)＝cos(πx ＋π
4
)．
由2k π<πx ＋π4<π＋2k π(k∈Z )，解得2k －146．(2016·浙江)函数y ＝sinx 2
的图像是( )
A 、C 的图像都关于原点对称，所以不正确；
B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sinx 2
<1，显
1，而π2<π
2
，故选D.。