高考数学二轮复习：(理数)专题20 填空题解题方法

专题20填空题解题方法
1．如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．
【答案】93
【解析】由三视图可知，该几何体是斜四棱柱，四棱柱底面是矩形，长3，宽3，四棱柱的高h ＝22－12＝3，∴体积V ＝3×3×3＝9 3.
2.已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为________．
【答案】12π【解析】由已知得：BC ＝22，球O 的半径R ＝
22＋1＝3，故其表面积S ＝4πR 2
＝4π·(3)2＝12π.
3.已知椭圆x 24＋y 23
＝1，A 、C 分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则∠BDF 的余弦值是________．
【答案】
714【解析】
4.设0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是________(填序号)．①a 1b 1＋a 2b 2
②a 1a 2＋b 1b 2③a 1b 2＋a 2b 1
④12【答案】①
【解析】取a 1＝13，b 1＝14，则a 1b 1＋a 2b 2＝112＋12＝712>12，a 1a 2＋b 1b 2＝59144<12
，a 1b 2＋a 2b 1＝512<12
，故最大的是a 1b 1＋a 2b 2.5.已知函数y ＝f (x )，对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，且f (0)≠0，则f (－2014)·f (－2013)·…·f (2013)·f (2014)的值是________．
【答案】1
【解析】f (x )为抽象函数，只知满足条件f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，且f (0)≠0，故可取满足此条件的特殊函数来求解．
令f (x )＝2x ，则对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，f (0)＝20＝1，f (－2014)·f (2014)＝f (0)＝1，f (－2013)·f (2013)＝f (0)＝1，…，所以f (－2014)·f (－2013)·…·f (2013)·f (2014)＝1.
6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高相交于点H ，若OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，
则实数m ＝________.
【答案】1
【解析】如图在Rt △ABC 中，外接圆圆心O 为斜边AB 的中点，垂心H 即为C 点，由已知OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)＝mOC →，则m ＝1.
7．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线，若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
【答案】43
8.已知椭圆C ：x 29＋y 24
＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.
【答案】12
【解析】如图．
设MN 与椭圆的交点为D ，由中位线定理．
|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)
由椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.
∴|AN |＋|BN |＝12.
9.向量OB →＝(1,0)，OA →＝(3＋cos θ，1＋sin θ)，则OA →与OB →夹角的取值范围是________．
【答案】0，π3
]
【解析】
10．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．
【答案】(－∞，－12]∪12
，＋∞)【解析】由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，显然函数f (x )和g (x )的定义域都为－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f (x )的图象是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．
而函数g (x )的图象是直线l ：y ＝kx －1在－2,2]内的部分，该直线过点C (0，－1)，斜率为k .
如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C (0，－1)连线的斜率．
由图可知A (－2,0)，B (2,0)，故k AC ＝0－－1
－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12
.要使直线和半圆有公共点，则k ≥12或k ≤－12
.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪12
，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6
，则B ＝________.【答案】π3【解析】12．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014
，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a >b >c
【解析】令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x
.当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．
∵1>12012>12013>12014
>0，∴a >b >c .13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．
【答案】6π
【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝
22＋22＋22＝2R ，
所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.
14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则y x
的最大值为________．【答案】3＋22
【解析】设y x
＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d ≤r )解决．
15.已知P (x ，y )是椭圆x 216＋y 29
＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．【答案】5
16．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________．
【答案】6，＋∞)
【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有
Δ＝m 2－4m －12≥0，
m >0，
m ＋3>0.
解得m ≥6，
即a ＋b ≥6，故a ＋b 的取值范围是6，＋∞)．
17.已知x >0，比较x 与ln(1＋x )的大小，结果为________．
【答案】x >ln(1＋x )
【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2，
∴x >ln(1＋x )．
解法二：令f (x )＝x －ln(x ＋1)．
∵x >0，f ′(x )＝1－11＋x ＝x 1＋x >0，又因为函数f (x )在x ＝0处连续，
∴f (x )在0，＋∞)上是增函数．
从而当x >0时，
f (x )＝x －ln(1＋x )>f (0)＝0.
∴x >ln(1＋x )．
解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x )的图象，可见x >0时，x >ln(1＋x )．
18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】2
【解析】
19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________．
【答案】1
2
【解析】问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不
妨取α＝0°，则sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α＝14＋14－0＝12
.20．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5
等于________．【答案】1
【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，
a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5
＝1.
21．函数f (x )x －x 2＋2x x >0x ＋1x ≤0的零点个数为________个．
【答案】3
【解析】依题意，在x >0时可以画出y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f (x )有3个零点．
22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n
的最小值为________．
【答案】21 2
【解析】。