2023-2024学年广东省江门市高二上册10月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省江门市高二上册10月月考数学试题
一、单选题
1．已知()()2,1,3,2,,1a b x =-=- ，若a b ⊥
，则x =（）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
【正确答案】A
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，化简求得x 的值.【详解】由于a b ⊥
，
所以()()221310,430,1x x x ⨯-+-⨯+⨯=--+==-.故选：A
2．若(1,2)A --，(4,8)B ，(5,)C x ，且,,A B C 三点共线，则x =()
A ．－2
B ．5
C ．10
D ．12
【正确答案】C
【分析】由三点共线可得直线,AB AC 的斜率存在并且相等求解即可.【详解】解：由题意，可知直线,AB AC 的斜率存在并且相等，即()()
()()
8224151x ----=----，解得x =10.
故选：C.
3．已知点()3,1,4A --，()7,1,0B ，则线段AB 的中点M 关于平面Oyz 对称的点的坐标为（）
A ．(2,1,2)--
B ．(2,1,2)
-C ．(2,1,2)
--D ．(2,1,2)
【正确答案】A
【分析】求出AB 的中点M 的坐标，再求出关于平面Oyz 对称的点的坐标即可.【详解】因为点()3,1,4A --，()7,1,0B 所以AB 的中点()2,1,2M -，
所以M 关于平面Oyz 对称的点的坐标为()2,1,2--，故选：A.
4．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c === ，则()a b c ⋅+ 的值为（
）
A ．1
B ．0
C ．-1
D ．-2
【正确答案】B
【分析】由正方体的性质可知1,,AB AD AA 两两垂直，从而对()a b c ⋅+
化简可得答案
【详解】由题意可得1,AB AD AB AA ⊥⊥,
所以,a b a c ⊥⊥ ，所以0,0a b a c ⋅=⋅=
，所以()0a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅=
，
故选：B
5．已知空间四面体OABC 中，对空间内任一点M ，满足1146
OM OB OC λ=++
下列条件
中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．1
2
λ=
B ．13
λ=C ．512
λ=D ．712
λ=
【正确答案】D
【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.
【详解】根据空间中四点共面可知11
146λ++=，解得712
λ=.
故选：D
6．如图所示,在四面体O ABC -中,OA a = ,OB b = ,OC c = ,点M 在OA 上,且2OM MA =
,N 为BC 的中点,则MN =
（
）
A ．121232a b c
-+ B ．211322a b c
-++
C ．112223
a b c
+-r r r D ．221332
a b c
+- 【正确答案】B
【分析】连接ON ,再根据空间向量加法和减法的三角形法则即可得出．【详解】解:由题知,连接ON ,画图如下:
N Q 是BC 的中点,
1122ON OB OC ∴=+ ,
2OM MA = ,23OM OA =∴ ,
MN ON OM ∴=- 122213OB OC OA +-=
211322
a b c =-++ .
故选:B
7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若
1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（
）
A 5
B ．22
C 10
D 15
【正确答案】C
【分析】将1,,AB AD AA 作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示1AC uuu r
，然后对其平方
化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得11,2AB AD AA === ，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒
，
因为11
AC AB BC CC =++ 1AB AD AA =++uu u r uuu r uuu r ,
所以()
2
211
AC AB AD AA =++ 212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒
10=，
所以1AC =uuu r
故选：C
8．已知三棱锥S ABC -中，SC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，且22AB BC SC ==，D ，E 分别为SA ，BC 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为（）A ．
35
B ．
45
C
．
10D
．
10
【正确答案】B
【分析】取SC 的中点F ，连接DF ，则FDE ∠（或其补角）为异面直线DE 与AC 所成的角，根据所给的线、面关系设出边长，利用余弦定理求解即可.
【详解】如图所示，分别取SC ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，EF ，EG ，DG ，则DF AC ∥，所以FDE ∠（或其补角）为异面直线DE 与AC 所成的角，设222AB BC SC ===，则由90ABC ∠=︒和SC ⊥平面ABC ，
易得12EF SB ==
12DF AC ==112GE AB ==，1122DG SC ==，
所以在Rt DGE △
中，2DE =，由余定理得551
4442cos 5FDE +-∠==，
所以异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为4
5
．故选：B ．
二、多选题
9．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -，则下列向量相等的是（
）
A ．DO 与BO
B ．A
C 与DB C ．A
D 与11
B C uuu u
r D ．1A B uuu r 与1D C
【正确答案】CD
【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，
A ：DO BO = ，但DO 与BO
方向相反，故A 不符题意；B ：AC DB = ，但AC 与DB
方向不同，故B 不符题意；C ：11AD B C = ，且AD 与11B C uuu u r 方向相同，故C 符题意；D ：11
A B D C = ，且1A B uuu r 与1D C 方向相同，故D 符题意.故选：CD.
10．已知空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1A B C -，则下列结论正确的有（）
A ．A
B AC
⊥ B ．与AB
共线的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 55
11
D ．平面ABC 的一个法向量是()
1,2,5-
【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD ，根据共线向量和单位向量判断B ，根据向量夹角的坐标运算判断C.
【详解】由题意可得()2,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-
，选项A ：2200AB AC ⋅=-++=
，故AB AC ⊥ ，正确；
选项B ：()1,1,0不是单位向量，且()1,1,0与()2,1,0AB =
不共线，错误；
选项C
：cos ,11AB BC AB BC AB BC
⋅===
，正确；选项D ：设()1,2,5m =- ，则2200m AB ⋅=-+= ，1450m AC ⋅=--+=
，
所以m AB ⊥ ，m AC ⊥
，又AB AC A ⋂=，所以平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-，正确；
故选：ACD
11．已知向量(1,2,3),(3,0,1),(1,5,3)a b c ==-=--
，下列等式中正确的是（）
A ．()a b c b c
⋅⋅=⋅ B ．()()
a b c a b c
+⋅=⋅+ C ．(
)
2
222
a b c
a b c ++=++
D ．a b c a b c
++=-- 【正确答案】BCD
根据数量积的结果是实数判断A ；根据向量的线性运算、数量积运算、模长公式判断BCD.【详解】A .左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B .左边(4,2,2)(1,5,3)41060
=⋅--=-+-=右边123254210)()120(=⋅-=+-=,
,,,，∴左边=右边，因此正确.C .()
3,7,1a b c ++=-
左边22237(1)59=++-=，右边2222222212330(1)(1)5(3)59=+++++-+-++-=∴左边=右边，因此正确.
D .由C 可得左边
()137a b c --=--
,
,a b c ∴--= ∴左边=右边，因此正确.
故选：BCD
12．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
π
3
DAB ∠=，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则（）
A ．PA BD
⊥B ．PB 与平面ABCD 所成角为
π3
C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为5
D ．平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值为
【正确答案】AD
【分析】连接BD ，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得BD AD ⊥，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接BD ，因为π
3
DAB ∠=
，设222AB AD PD a ===，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅⋅∠，所以2222
21
4432
BD a a a a =+-⋅
=，
则BD ，
则22BD AD AB +=，即BD AD ⊥，又PD ⊥底面ABCD ，,AD BD ⊂底面ABCD ，
所以,PD AD PD BD ⊥⊥，如图，以D 为原点，,,DA DB DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()()()(
)
()
0,0,0,,0,0,0,,0,,,0,0,D A a B C a P a -
对于A ，所以(),0,PA a a =- ，
(
)
0,,0BD = ，则0000PA BD ⋅=++=
，所以PA BD ⊥，故A 正确；
对于B ，又()
,PB a =- ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以()0,0,DP a =
是平面ABCD 的一
个法向量，所以21cos ,22PB DP a PB DP a a
PB DP ⋅-===-⋅⋅
，
则PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为1
2，即PB 与平面ABCD 所成角为
π
6
，故B 错误；对于C
，(
)()
,0,,,AB a PC a a =-=-- ，
则22cos ,5AB PC AB PC AB PC
⋅==⋅
，则异面直线AB 与PC
，故C 错误；对于D ，设平面PAB 的法向量为()111,,x n y z =
，则
1111
11110000ax az x z PA n ax x y AB n ⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨
-=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩
，令11y =
，则n = ，
设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =
，则
2222222200000az PB m z x PC m ax az ⎧⎧-=⋅==⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⋅=-+-=⎪⎪⎪⎩
⎩⎩
，令21y =
，则(m = ，
所以cos ,7n m n m n m ⋅===⋅
，则平面PAB 与平面PBC
故
D 正确.故选：AD.
三、填空题
13．若()2,3,6AB =
，则AB = ______．
【正确答案】7
【分析】利用向量模的公式计算出正确答案.
【详解】依题意
7AB == .故7
14
．已知(A 、()10B ,
，则直线AB 的倾斜角为______．【正确答案】
3
π
##60 【分析】结合两点求斜率以及斜率与倾斜角的关系即可求出结果.
【详解】设直线的倾斜角为α
，则0
tan 21
α==-[)0,απ∈，所以3πα=，
故答案为.
3
π
15．已知向量()2,0,1n =
为平面α的法向量，点()1,2,1A -在α内，则点()5,1,4P 到平面α的
距离为______．
【正确答案】【分析】把点到平面的距离问题转化为向量的数量积，从而求解即可.【详解】解：由题意可得()6,1,3PA =--
，
所以15PA n ⋅=-
，
所以||
|cos ,|||||
PA n PA n PA n ⋅<>=⋅
设点()5,1,4P 到平面α的距离为d ，
则|||||||cos ,|||||||||PA n PA n d PA PA n PA PA n n ⋅⋅=⋅<>=⋅===⋅
故16．已知P 是棱长为1的正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任意一点，则AP AC ⋅
的
最大值为______.【正确答案】2
【分析】利用向量AP 在AC
上的投影的最大值可求得结果.
【详解】由题意画出图形，如图所示，
因为||||cos ,AP AC AP AC AP AC ⋅=⋅<> ，且||cos ,AP AP AC ⋅<> 是向量AP 在AC
上的投
影，
所以当P 在棱C 1C 上时，投影最大，所以AP AC ⋅
的最大值为22||2AC == .
故2
关键点点睛：利用向量AP 在AC
上的投影的最大值求解是解题关键.
四、解答题
17．已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r
．
(1)求a 与b
夹角的余弦值；
(2)当()()
ka b a kb +⊥-
时，求实数k 的值．
【正确答案】
(1)7
(2)32
k =或23
k =-
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.
（2）根据
()()
ka b a kb +⊥-
列方程，从而求得k 的值.【详解】（1
）cos ,7a b a b a b ⋅==⋅
.
（2）由于
()(
)
ka b a kb +⊥-
，所以
()(
)
0ka b a kb +⋅-= ，所以()22
210ka k a b kb +-⋅-= ，()22146190,6560k k k k k +--=--=，解得3
2k =或23
k =-.
18．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且1
3
CG CD =，H 是1C G 的中点．
(1)求1
cos ,EF C G ．(2)求FH 的长．
【正确答案】301522
3
【分析】（1）将1,EF C G 分别用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律分别求出
11,,EF C G EF C G ⋅ ，再根据111cos ,EF C G EF C G EF C G
⋅= 即可得解；（2）将FH 用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）由题意，
()
11122
EF ED DF DD DA DC =+=-++ ，11113C G C C CG DD DC =+=-- ，则()
211122EF DD DA DC ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ 22211112222
DD DA DC DD DA DD DC DC DA =++-⋅-⋅+⋅ 144432=++=22211111112103933C G DD DC DD DC DD DC ⎛⎫=--=++⋅= ⎪⎝⎭
，()
111111223EF C G DD DA DC DD DC ⎡⎤⎛⎫⋅=-++⋅-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
22111111111142626263DD DD DC DD DA DA DC DD DC DC =+⋅-⋅-⋅-⋅-= ，
所以11143cos ,EF C G EF C G EF C G ⋅== （2）()11111122FH FB BC CC C H DA DC DA DD C G =+++=+-++ ()
11111223DA DC DA DD DD DC ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭
1111232DA DC DD =-++ ，
所以FH =
3
=，所以
FH 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，1
1BCC B 都是正方形，∠ABC 为直角，2AB =，M ，N 分别为1AB ，AC 的中点.
(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；
(2)求直线AB 与平面AMN 所成角的正弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接1B C ，则由三角形中位线定理可得MN ∥1B C ，然后由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由题意可得11B B BC B B AC ⊥⊥，，BA BC ⊥，所以以B 为原点，以1,,BC BA BB 所在的
直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】（1）连接1B C ，在1B CA 中，
因为,M N 是1AB ，AC 的中点，
所以MN ∥1B C ，
又1B C ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11
BCC B 所以//MN 平面11BCC B .
（2）在三棱柱111ABC A B C -中，
因为侧面1111ABB A BCC B ，都是正方形
所以11B B BC B B AC
⊥⊥，又ABC ∠为直角，所以BA BC ⊥.
所以以B 为原点，以1,,BC BA BB 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
则()0,0,0B ，()0,2,0A ，(2,0,0)C ，1(0,0,2)
B 设直线AB 与平面AMN 所成的角为θ
设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =
，因为1(2,2,0),(022)AC AB =-=- ，
，，(0,2,0)AB =- ，所以1220220n AC x y n AB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，令1x =，则(1,1,1)n = ，
所以sin cos ,
3AB n AB n AB n
θ⋅=== ，
所以直线AB 与平面AMN 所成的角的正弦值为3
.20．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥==
E 为PD 上一点，2PE ED =.
(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；
(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）利用勾股定理得到PA AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面AEC 的法向量()1,1,2n =--
，再假设F 存在，求得(),1,BF λλλ=-- ，由0BF n ⋅= 求得12
λ=，即F 是PC 的中点，可使得//BF 平面AEC .
【详解】（1）1,PA AD PD === 222PA AD PD ∴+=，
PA AD ∴⊥，
又,,PA CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂、面ABCD ，
PA ∴⊥平面ABCD .
（2）点A 为原点，以,,AB AD PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则()()()()()210,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,,33A B D C P E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故()1,1,0AC = ,210,,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
设平面AEC 的法向量(),,n x y z = ，则
00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即02103
3x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，则1,2x z =-=-，故则()1,1,2n =-- ，
假设侧棱PC 上存在一点F ,且
(),,CF CP λλλλ==-- ，使得//BF 平面AEC ,即0BF n ⋅= ，又因为()()()0,1,0,,,1,BF BC CF λλλλλλ=+=+--=-- ，
故()()()()1112120BF n λλλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯=-= ，即12λ=，所以存在PC 的中点F ,使得//BF 平面AEC
．。