戴维罗默高级宏观经济学第四章答案

4.1-4.2 （1）对中国进行与表
（2）对下列项做与表4.1 ，表 4.2 或表4.3 相类似的计算4.3 相类似计算
（a）GDP
（b）就业率
（c）失业率
（d）工资总额
（e）财政赤字( 张驰)
解：
1990 至2009 年20 年间中国GDP趋势
400000
国内生产总值
350000
300000
250000
200000
150000
国内生产总值100000
50000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
其中纵轴单位是亿元，横轴以1990 年为基年
1990 年至2009 年每年GDP的增长率
1990 /
1991 16.6795%
1992 23.6072%
1993 31.2381%
1994 36.407%
1995 26.1335%
1996 17.0789%
1997 10.9536%
1998 6.8749%
1999 6.2496%
2000 10.6354%
2001 10.5232%
2002 9.7373%
2003 12.8727%
2004 17.7109%
2005 15.6739%
2006 16.9663%
2007 22.8815%
2008 18.1464%
2009* 8.426%
三大需求对国内生产总值增长的贡献率和拉动
最终消费支出资本形成总额货物和服务净出口
年份贡献率拉动贡献率拉动贡献率拉动(%) ( 百分点) (%) ( 百分点) (%) ( 百分点) 1978 39.4 4.6 66.0 7.7 -5.4 -0.6 1980 71.8 5.6 26.4 2.1 1.8 0.1 1985 85.5 11.5 80.9 10.9 -66.4 -8.9 1990 47.8 1.8 1.8 0.1 50.4 1.9 1995 44.7 4.9 55.0 6.0 0.3
2000 65.1 5.5 22.4 1.9 12.5 1.0 2001 50.2 4.2 49.9 4.1 -0.1
2002 43.9 4.0 48.5 4.4 7.6 0.7 2003 35.8 3.6 63.2 6.3 1.0 0.1 2004 39.5 4.0 54.5 5.5 6.0 0.6 2005 37.9 4.3 39.0 4.4 23.1 2.6 2006 40.0 5.1 43.9 5.6 16.1 2.0 2007 39.2 5.6 42.7 6.1 18.1 2.5 2008 43.5 4.2 47.5 4.6 9.0 0.8 2009 45.4 4.1 95.2 8.7 -40.6 -3.7
变量经济增长中一些经济变量行为
经济增长中的平均变化增长次数
GDP +14.3574% 9/9 就业率+0.0348% 4/9 失业率-0.349% 5/9 工资总额+14.8431% 9/9 财政赤字+15.732% 4/9 表中数据跨度为2000 年至20 09 年，数据来自于中国国家统计局网站
t
1
2
2
2
E
4.3 令 A 0 表示第 0 期的 A 的值，并令 lnA 的行为由式（ 4.8 ）和式（ 4.9 ）给定。

（a ） 用 ln A 0 、
A1 、 A 2 、 A 3 、
A 和 g 来表示 ln A 1 、 ln A 2 和 ln A 3 。

（b ） 根据
A 的期望为
0 这一事实，当给定
望值。

（朱琴）
ln A 0 、 A 和 g 时，求 ln A 1 、 ln A 2 和 ln A 3 的期
解：（ a ）首先给出表示技术进步的公式，即方程（
4.8 ）和（ 4.9 ）：
ln A t A gt A % （ 1） A % A % , 1 1 （ 2） t A t 1 A,t A
由（ 1）式可得： ln A 0
A A
%，从而可求得： A % ln A A （ 3）
在时期 1，利用公式（ 1）和（ 2）可得到：
ln A 1
A % A g A % （ 4） A
% （ 5）
1
将公式（ 3）和（ 5）代入（ 4）得：
A
A,1
ln A 1
A g A (ln A 0
A)
A,1
（ 6）
在时期 2，结合公式（ 1）和（ 2）得：
ln A 2
A 2g A % （ 7） A
% A
% （ 8） 2
A 1
A,2
进而求得： ln A 2
A 2g
A
(ln A 0
A)
A A,1
A ,2 （ 9）
同理在时期 3 得：ln A 3
A 3g
3 (ln A 0 A)
2
A A,1
A A,2
A,3
（ 10）
（b ）因为 E
A ,1
0 ，通过公式（ 6）可以得到 ln A 1 的期望值，即：
E[ln A 1 ] A g
A
(ln A 0 A)
又因为 E
A A,1
A E
A ,1
0, E
A,2
0 ，通过公式（
9）可以得到 ln A 2 的期望值：
E[ln A 2 ] A 2g
A
(ln A 0 A)
同理 E
2
A A,1 2 A
A ,1
0, E
A A,2
A
E A,2
0, E
A ,3
0 ，从而通过公
式（ 10）得：
E[ln
A 3 ]
A 3g
3
(ln
A 0 A)
4.4 假设第 t 期的效用函数 u t 为 u t
ln c t b(1 1
l t ) / (1 ), b 0, 0 ，而非式（ 4.7 ）。

（a ） 考虑类似于式（ 4.12 ）~式（ 4.15 ）中研究的一期问题。

劳动力供给如何取决于工资。

（b ） 考虑类似于式（ 4.16 ）~式（ 4.21 ）中研究的两期问题。

两期中闲暇的相对需求如何取
决于相对工资？如何取决于利率？从直观上解释 为什么会影响劳动供给对工资和利率的反应程度。

（朱琴）
A A
1 2 2 1
解：（ a ）假定没有初始财富并将家庭的规模正规化为
1，则问题可表示如下：
max ln c b(1 c, l
1
l )
/ (1 )
s.t.
c wl
建立拉格朗日方程： L
ln c b (1 l )
1
/ (1
) [ wl c]
一阶条件为：
(1/ c) 0
（ 1）
b(1 l )
w 0
（ 2）
将预算约束代入公式 （ 1）得：
1/ c 1/ (wl )
（ 3）
将公式（ 3）代入公式（ 2）化简得：1/ l
b / (1 l )
（ 4）
从公式（ 4）对劳动供给量
l 的潜在定义中可以看出，劳动供给量的大小与实际工资无关。

（ b ）计算两期中的相对闲暇，即
(1 l 1) / (1 l 2 ) 。

假设家庭生存两期，没有初始财富，家
庭规模正规化为 1，没有不确定性。

问题可表述为：
max ln c b(1 l )
1
/ (1 ) e ln c
e b(1 l )
1
/ (1 )
1
1
2
2
s.t.
建立拉格朗日方程：
c 1 c 2 / (1 r ) w 1l 1 w 2l 2 / (1 r )
L ln c 1 b(1 l 1)
/ (1 ) e ln c 2 e b(1 l 2)
/ (1 ) w 1l 1 w 2l 2 / (1 r ) c 1 c 2 / (1 r )
一阶条件为：
(1/
c 1 )
（ 5）
(e / c 2 )
/ (1 r )
（ 6）
b (1 l 1)
l 1
（ 7）
e b(1 l 2 )
l 2 / (1 r ) 0
（ 8）
将式（ 7）和（ 8）关于
的表达式联立求解，化简可得：
(1 l ) / (1 l ) [( w / w )(1/ e (1 r ))]
1/
（ 9）
如果 w 2 / w 1 上升， 则 (1
l 1 ) / (1 1 2 2 1
l 2 ) 也会随之上升。

因此， 假设第二期的实际工资相对于第
一期的实际工资上升， 第一期的空闲时间相对于第二期来说就会增加，
或者说第一期的劳动
时间相对于第二期而言就会减少。

从公式（ 9）中也可看出，如果
r 升高， (1 l 1 ) / (1
l 2 ) 就会减小。

因此，假设实际利率增
加，则第一期的闲暇时间相对于第二期来说就会减少， 或者说第一期的劳动供给相对于第二
期而言就会增加。

下面计算弹性，从直观上解释
为什么会影响劳动供给对工资和利率的反应程度：
令 (1 l ) / (1 l ) l *
和 w / w w *
，从而得到， ( l * / w *
)( w *
/ l *
) 1/
令1
r r * ，则 ( l * / r * )( r *
/ l *
)
1/
因此 越小，即 1/
越大，个人越有可能对实际工资和实际利率的变化做出反应。

1
1
4.5 考虑式（ 4.16 ）~式（ 4.21 ）中研究的问题：
（a ） 证明：当
w 1 / w 2 保持不变时， w 1 和 w 2 的增加不会影响 l 1 和l 2 。

（b ） 现在假设家庭的初始财富为
Z>0。

（ 1）式（ 4.23 ）是否继续成立？为什么？ （ 2）（ a ）部分的结论是否继续成立？为什么？
解：（ a ）证明：
max ln c 1 b ln(1 l 1 ) e [ln c 2 b l n(1 l 2 )]
（ 1）
s.t.
建立拉格朗日方程：
c 1 c 2 / (1 r ) w 1l 1 w 2 l 2 / (1 r )
（ 2）
L ln c 1 b ln(1 l 1 ) e [ln c 2 b l n(1 l 2 )]
[ w 1l 1 w 2l 2 / (1 r ) c 1 c 2 / (1 r )] （ 3）
其一阶条件及其代数运算为： 由 L / c 1
1/ c 1
0 可推出： c 1 1/ （ 4）
由 L / c 2
e / c 2 / (1 r ) 0 可推出： c 2
e (1 r ) /
（ 5）
由 L / l 1
b / (1 l 1 )
w 1
0 可推出： l 1 1 b / w 1 （ 6）
由 L / l 2
e b / (1 l 2 )
w 2 / (1 r ) 0 可推出： l 2
1 (1 r ) e b / w 2
（ 7）
将方程（ 4） ~（ 7）代入方程（ 2），得：
1/
e /
w 1[1 b / w 1 ] w 2 / (1 r )[1 (1 r )e b / w 2 ]
解得：
(1 e )(1 b) / [ w 1 w 2 / (1 r )]
（ 8）
将（ 8）式代入（ 6）式可以得到第一期劳动供给量的表达式：
l 1 1 b[1 (w 2 / w 1 )(1/ (1 r ))] / [(1 e )(1 b)]
l 1 是关于相对工资
持不变。

w 2 / w 1 的函数，因此，无论 w 1 、 w 2 怎么变化，只要 w 2 / w 1 不变， l 1 将保
同理将（ 8）式代入（ 7）式可以得到第二期劳动供给量的表达式：
l 2 1 (1 r )e b[( w 1 / w 2 ) 1/ (1 r )] / [(1 e )(1 b)]
l 2 是关于相对工资
保持不变。

w 2 / w 1 的函数，因此，无论 w 1 、 w 2 怎么变化，只要 w 2 / w 1 不变， l 2 将
（b ）（ 1）家庭的初始财富为 Z>0，并不影响 1/ c t
e E t [(1/ c t 1 )(1 r t 1 )] ，它将继续成立。

考虑家庭在 t 期的情况。

假设家庭将每成员平均消费减少微小的数量，如△ c ，然后利用由此得到的更多财富来把下一期的每成员平均消费增加到原有消费的水平之上。

如果家庭的行为是最优化的，则这种边际变化必定使期望效用保持不变。

由家庭效用函数 U
e t
u(c ,1 l ) N / H 和 u
ln c
b ln(1 l ) 得：
t
t
t
t 0
t
t
t
t
在第 t 期每成员平均消费的边际效用为
e ( N t / H )(1/ c t ) 。

因此这种变动的效用成本为，
（朱琴）
e t
( N / H )( c / c )
（ 9）
t
t
由于家庭在第
t+1 期的成员数是第
t 期的 n
e 倍，因而第 t+1 期每成员消费的增加为
e n
(1 r t 1 ) c 。

第 t+1 期每成员平均消费的边际效用为
e
(t 1)
(N
1 / H )(1/ c t 1) 。

因此，
从第 t 期来看的期望效用收益为，
E [ e
(t 1)
( N
/ H )e n
(1 r ) / c ] c （ 10） t t 1 t 1 t 1
令（ 9）式和（ 10）式相等，即 e t ( N / H )( c / c ) E [e (t 1) ( N / H )e n
(1 r ) / c ] c
由于 N t 1
n
N t e
，化简上式可得：
t t t t 1 t 1 t 1
1/ c t
e E t [(1/ c t 1 )(1 r t 1 )]
因此，家庭的初始财富为
Z>0，并不影响该式继续成立。

（2）如果家庭拥有初始财富
Z>0，则（ a ）部分的结论不再继续成立。

新的预算约束线为： c 1 c 2 / (1 r )
Z w 1l 1 w 2l 2 / (1 r )
（ 11）
明显在约束中加入一个常数项不会影响一阶条件。

将一阶条件（
4） ~（ 7）代入（ 11）得：
1/
e /
Z w 1[1 b / w 1] w 2 / (1 r )[1 (1 r )e b / w 2 ]
化简求得：
(1 e )(1 b) / [ Z w 1 w 2 / (1 r )]
（ 12）
将方程（ 12）代入（ 6）式可以得到第一期劳动供给量的表达式：
l 1 1 b[( Z / w 1 ) 1 ( w 2 / w 1)(1/ (1 r ))] / [(1 e )(1 b)]
由上式可以看出，当 w 1 变化时，即使 w 2 也随之变化，而相对工资 w 2 / w 1 不变， 第一期的劳
动供给量也会发生变化，且第一期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。

同理将（ 12）式代入（ 7）式可以得到第二期劳动供给量的表达式：
l 2 1 (1 r )e b[( Z / w 2 ) (w 1 / w 2 ) 1/ (1 r )] / [(1 e )(1 b)]
从而可以看出， 当 w 2 变化时，即使 w 1 也随之变化， 而相对工资 w 2 / w 1 不变，第二期的劳动
供给量也会发生变化，且第二期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。

4.6 假设一个人存活两期，其效用函数为
ln C 1 ln C 2 。

（a ）假设这个人在其生命第一期的劳动收入为
Y 1 ，在第二期为 0。

因此，第二期的消费为
(1 r )( Y 1 C 1 ) ；收益率 r 可能是随机的。

（ 1）求这个人在选择 C 1 时的一阶条件。

（ 2）假设 r 由确定变为不确定，而
E[r] 不变。

C 如何对这一变化做出反应。

（ b ）假设这个人在第一期的劳动收入为
0，在第二期为 Y 2 。

因此，第二期的消费为
Y 2 (1 r )C 1 。

Y 2 是确定的； r 同样可能是随机的。

（ 1）求这个人在选择 C 1 时的一阶条件。

t
（2）假设r 由确定变为不确定，而E[r] 不变。

C
如何对这一变化做出反应。

（朱琴）
1
解：（a）（1）实际利率可能是随机的，定义r Er ，其中是一均值为0 的随机误差项。

max U ln C1 E ln C2（1）
将C
代入（1）式，可得：U ln C1 E ln[(1 Er )( Y1C1 )] （2）2
对（2）两边取导数，即令U / C11/ C1E[( 1)(1 Er ) / [(1 Er )(Y1C1)]] 0
由于1/ (Y
C1 ) 不是随机的，所以E[1/ (Y1C1)] 1/ (Y1C1 )
1
化简求解得：C1Y1 / 2
(2) 在上述情况下，C
并不受r 的确定性的影响。

即使r 是随机变量，个人仅消费第一期
1
收入的一半而将另一半储蓄起来。

（b）（1）在这种情况下个人在第一期没有收入，而在第二期收入Y
，从而：
2
C2 Y2(1 Er )C1（3）将（3）代入预期效应函数（1）得：U ln C1 E ln[ Y2(1 Er )C1] （4）在（4）中求关于C
的导数，得到一阶条件：
1
U / C11/ C1E[(1 Er ) / C2 ] 0 （5）利用两个变量的积的期望公式E[ XY ]E[ X ]E[Y ] cov( X , Y) ，可得：
1/ C1(1 Er )E[1/ C2 ] cov(1 Er ,1/ C2 ) （6）
在上式中，越高，意味着个人不得不付出更多的借款利息，从而降低了第二期的消费
C2 ，即1/ C2 变大，因此协方差是正的。

（2）如果r 是确定的，因此r=Er ，此时=0，则（6）式可以变为：
1/ C1(1 Er )(1/ C2 ) (1 Er ) / [Y2(1 Er )C1 ]
整理求解得：C1 Y2 / [2(1 Er )] （7）
如果r 是不确定的，因为1/ C2 是C
的凸函数，根据詹森Jensen 不等式，
2
E[1/ C2 ] 1/ E[ C2 ] ，且由协方差为正，（6）式可整理为：
1/ C1(1 Er ) E[1/ C2 ] cov(1 Er ,1/ C2 ) (1 Er )[1/ E[ C2 ]]
将E[C
] Y2 (1 Er )C1 代入可得：1/ C1(1 Er ) / [Y2(1 Er )C1 ]
2
从而，C
Y2 / [2(1 Er )] （8）1
由（7）可以知道，（8）式的右边是在确定性条件下C1 的最优选择。

因此，如果r 由确定变
为不确定，而E[r] 不变，C1 的最优选择变小了。

本质上说，如果个人在第二期支付的利率
面临不确定，他在决定第一期借款消费时必定会非常谨慎。

4.7 （a）用类似于推导方程（ 4.23 ）的论证方法来证明：家庭最优化要求b
=
1-l t
t=0
t
= e - ρ E t b ( 1+r t+1 ) w t
[ ( 1-l t+1 ) w t+1
] 。

（b ）证明这一条件可由式（ 4.23 ）和式（ 4.26 ）得出。

（郭亚红）
解：（ a ）证明：假定家庭在 t 期增加其劳动供给，数量为 l 。

因此，这会为家庭带来更大
的财富，从而使家庭可以在
t 1 期减少劳动供应，并且使各期的消费保持不变。

如果家庭
最优化其行为，这种边际变化不会改变其终生效用。

家庭的总效用函数为：
U = ∑t= ∞ e - ρt u(c H t ， 1 - l t )
N t
(1)
家庭的代表性个人的
t 时期的效用函数为：
在 t 期工作的负边际效用为：
u ㏑c t + b ㏑
(1 - l t) (2)
-
?u = e
- ρ t ( N
t ) ( b ) (3)
?l t
H 1-l t
因此劳动供给量每增加
l 的效用成本为： e - ρt
( N t
) (
b
)?l ，这一变化提高了
t 期的收入，
H
1-l t
为w t ?l ，家庭的人口增长率为 e n ，因此在 t
1期增加的人均财富为： e -n （ 1 + r t+1 )w t ?l 。

如果消费路径不变，需要决定在 t 1期每人劳动供给可以减少多少，在 t 1 期每人放
弃 1 单位劳动的成本为 w t+1 ，即放弃 [e -n （ 1 + r t+1 )w t ?l]/w
t+1
单位劳动导致没人收入减少
e -n （ 1 + r t+1 )w t ?l 。

恰好等于上期增加劳动带来的额外的财富。

预期的效用收益为：
E t [e -
ρ (t+1 ) N t+1 H b 1 - l t +1 e -n ( 1 + r t+1 )w t ?l ] w t+1 将效用成本和效用收益联立，可得：
e - ρt ( N t H ) ( b 1 - l t
) ?l = E t [e - ρ
(t+1 ) N t+1
H b
1 - l t +1
e -n ( 1 + r t+1 ) w t ?l
]
w t+1
因为 e - ρ( t+1 )
N t+1 H
e
-n
是确定的，并且 N
t+1 = N t e n , 所以上式可以化简为：
b = e
- ρ
E [ b ( 1 + r t+1 ) w t ] 1 - l t
t
( 1 - l t+1 ) w t+1
（ b ） 证明：考虑 t 期的家庭。

假设家庭每个成员降低当前的消费，数量为 ?c ，将增加的
财富用于增加下一期的消费。

下面是教材中
4.23 给定的公式，假定家庭的行为是最优的：
1 = e - ρ
E t ?t
1 + r t +1 [
]
c t+1
假设家庭每个成员
t 时期增加劳动供给，数量为 ?l ，将增加的财富用于增加下一期的消
费。

下面是教材中 4.26 给定的公式，假定家庭的行为是最优的：
c t
w t
1-l t
b
1
求出
?t
1 b
c t
= (1-l t)w
（ 5）
由于（ 4.26 ）和（ 5）在每期都成立，因此在
t 1期有
将（ 5）和（ 6）代入（ 4.23 ）得
1 c t+1
b
= (1-l
t+1)w
（ 6）
t
t+1
t=0
b
(1 - l t)w t = e - ρ
E t b （ 1 + r t+1)
[
] (1 - l t+1)w t+1
两边同乘以 w t ，由于 E t [ w t ] = w t ，从而
b
= e
- ρ
E [
b( 1+r t+1 ) w t
] （ 7）
这个条件和（ a ）中得到的一样。

1-l t
t ( 1-l t+1 )w
t+1
4.8 一个具有可加性技术冲击的简化真实经济周期模型。

考虑一个由长生不老的个人组成的
经济。

代表性个人最大化的期望值
∑∞
u (c t )
(1+ ρ ) t
，ρ > 0 。

瞬时效用函数 u ( c t ) ， u( c t ) = c t -
Θc t 2 ，Θ > 0 。

假设 C 总处在使 u ,( c) 为正的区间里。

产出是资本的线性函数再加上一个可加性扰动，即
Y t = Ak t + e t 。

没有折旧，因而
K t+1= K t + Y t - C t ，利率为 A 。

假设
A = ρ。

最后， 该扰动服从一个一阶自回归过程： e t = ?
e t-1 +∈t ，其中 -1 < ? < 1，
∈t 为 0 均值、独立同分布的冲击。

（ a ）求将 c t 和c t+1 的期望联系起来的一阶条件（欧拉方程） 。

（ b ）假设消费具有以下形式； c t = α + β k t + γe t 。

根据这个假设， 把K t+1 表示为 K t 和 e t 的函数。

（ c ）参数α、β 和γ必须取何指才能使（ a ）部分中的一阶条件对 K t 和 e t 的所有值
都成立。

（ d ）一次性的 ∈冲击对 Y 、K 和 C 的路径有何影响？ （郭亚红） 解：（ a ）假定代表性个人降低 t 期的消费为 ?c ，将增加的财富用于增加下一期的消费。

t 期
的效用成本为：
1
t
,
1
t
[ ρ+1 ] u ( c t ) ?c = [ ρ+1 ] [ 1 - 2 Θ c t ]?c
利用 u ( c t ) = c t - Θ c t 2 ，计算 u ,
(c t ) 。

通过上面的实验可以得出 t 1期的预期效用增加为：
1 E [( ) t+1 u ,( c 1 ) (1 + A)?c] = ( ) t+1 E [ 1 - 2Θ c ] (1 + A)?c t 1+ ρ
t+1 1+ ρ
t
t+1
其中实际利率为 A ，化简上式得预期效用增加为：
( 1
) t+1 [1 - 2Θ E （
c ） ](1 + A)?c
1 + ρ
t
t+1
如果个人实现最优化自己的行为，则效用成本等与预期的效用收益：
[
上式化简得：
1
t
ρ + 1 ]
[ 1 - 2 Θ c t ] ?c = ( 1
1 + ρ
) t+1 [1 - 2 Θ E t （ c t+1 ）](1 + A)?c
1
1 - 2Θ c t = (1+ ρ )(1 + A)[1 - 2Θ E t （
c t+1 ）] 由于ρ = A ，进一步化简上式得：
c t = E t （c t+1 ）
(1)
说明消费遵循随机游走，下一起的预期消费等与本期的实际消费。

（ b ）假设消费函数表示如下：
c t = α + β k t + γ e t
(2)
将方程（ 2）和生产函数 Y t = Ak t + e t 代入资本积累方程 K t+1= K t + Y t - C t
可以得到：
K t+1 = K t + AK t + e t - （α + β k t + γ e t )
化简得：
K t+1 = - α + ( 1 - A - β) k t + (1 - γ)e t(3)
（c）将方程（2）和带一阶滞后的方程（2）代入一阶条件（1）中，可得：
α + β k t+ ye t = E t [ α + β k t+1 + γe t+1] (4)
将方程（3）代入方程（4）得：
α+ βk t + γe t = α+ βE t[ - α+ ( 1 - A - β)k t + ( 1 - γ) e t] + γE t [e t+1 ]
由于
所以将其代入上式可得：
E t[ e t+1] = E t[ ?e t +∈t+1] = ?e t
α+ βk t + γe t= α( 1 - β) + β( 1 + A - β) k t + [ β+ γ( ? - β)] e t(5) 为使（5）成立，需要使两边的k t和e t的系数以及常数项相等，首先使k t的系数相等，可得：
得出1 =( 1 + A - β) ，得出
其次使e
t
的系数相等，可得：利用方程（6）并化简上式得：再转化得：
β = β(1 + A - β)
β= A (6) γ= β+ γ（? - β）
γ(1 - ? + A) = A
最后使常数项相等，可得：除非β = A = 1，否则要求
γ= A
1- ?+A
α = α（1 - β）
(7)
α= 0 (8)
注意这里忽略了条件β= 0，γ= 0，并且对α无任何限制。

(d) 将（6）- （8）带入消费方程（2）和资本积累方程（3）得：
A
C t = AK t + (
1- ?+A
)e t (9)
1- ?
K t+1= K t + (
1- ?+A
)e t(10)为使分析简化，又不失一般性，假定直到t 期∈和e都等于0，在t 期存在一次性的正的冲击∈t= 1 - ? + A，在t 1期，∈再次等于0。

在下面的分析中，一个变量的变化指它的实
际值与不存在冲击时的值的差别。

在t 期，K t 不受影响。

由（10）可知，K t 由上期的资本存量和上期的e决定。

由生产函数Y t= Ak t+ e t可以推出：
?Y t = A?k t + ?e t = 0 + (1 - ? + A)
因此，在存在冲击时产出高出(1 - ? + A) 。

由（9 ）可知，消费的变化为：?C t = A?K t +
A A
(
1- ?+A ) ?e t = 0 + (
1- ?+A
) (1 - ? + A) = A
在存在冲击时，消费高出A。

在t 1期，尽管∈t+1 再次为0，e t+1 也不同于不存在冲击时的情况，因为e的一阶自回归过程，更精确的是：
?e t+1 = ??e t = ?(1 - ? + A)
由（ 10）可知，资本存量的变化为：
?K t+1 = ?K t + (
1 - ?
) ?e t = 0 + (
1 - ?
) (1 - ? + A) = （1 - ?）
1 - ? + A
1 - ? + A
在上一期，产出上升 (1 - ? + A) ，但消费仅上升 A ，剩余的部分是由于投资或资本存量的增加。

由生产函数 Y t+1 = Ak t+1 + e t+1 可知，产出的变化为：
?Y t+1 = A?k t+1 + ?e t+1 = A(1 - ?) + ?(1 - ?) + A = A + ?(1 - ?)
由（ 9）可知，消费的变化为：
?C t+1 = A?K t+1 + (
A
1 - ? + A
) ?e t+1 = A(1 - ?) + ( A
1 - ? + A
) ?(1 - ? + A) = A
因此，此处消费没有进一步的动态变化，它仍然比未受冲击影响时高出 A 。

同理， t + 2 期的变化为：
?e t+2 = ??e t+1 = ? 2(1 - ? + A)
?K t+2
= ?K
t+1
1 - ? + ( 1 - ? + A
) ?e t+1 = (1 - ?) + [
(1 - ?)?(1 - ? + A) ] = 1 - ? 2
(1 - ? + A)
?Y t+2 = A?k t+2 + ?e t+2 = A(1 - ?) + A?(1 - ?) + ? 2(1 - ? + A) = A + ? 2 (1 - ?)
?C t+2 = A?K t+2 A + ( 1 - ? + A ) ?e 2 t+2 = A(1 - ?) A
+ (
1 - ? + A ) ?
2 (1 - ? + A) = A 假设有一期的冲击为 ∈t = 1 - ? + A 。

在冲击时，消费上升 A 然后永久的保持在新水平上，
不存在进一步的变化。

除此以外， 冲击发生 n 期后，产出的变化为： ?Y t+n = A + ? n (1 - ?) 资本存量的变化为： ?K t+n = 1 - ? n 。

Y 和 K 的动态性质依赖于 ? 。

在特殊情况下， ? = 0 ， 此时技术冲击不存在持久性，
t 1 期后没有进一步的动态变化。

在冲击之后，资本高于
1
而产出高于 A 。

对于 0 < ? < 1 ，冲击发生后资本存量上升
(1 - ?) ，接着它继续上升直到达
到新的长期水平上。

产出在冲击发生后上升 (1 - ? + A) ，接着它继续下降直到到达新的长期水平上。

对于 -1 < ? < 0 ，资本和产出震荡，在它们的新的长期水平上不断上下变化，最终稳定在 1 和 A 上。

4.9 一个具有偏好冲击的简化真实经济周期模。

。

考虑习题 4.8 中的结构。

但是假设没有技
术扰动，且瞬时效用函数为
u(c t ) = c t - Θ (c t + v t ) 2。

V 是 0 均值、独立同分布的冲击。

（ a ）求将 c t 和c t+1 的期望联系起来的一阶条件（欧拉方程） 。

（ b ）猜测消费具有以下形式； c t = α + β k t + γ v t 。

根据这个猜测，把 K t+1 表示为 K t
和 v t 的函数。

（ c ）参数α、β 和γ必须取何指才能使（ a ）部分中的一阶条件对 K t 和 v t 的所有值都成立。

（ d ）一次性的 v 冲击对 Y 、K 和 C 的路径有何影响？ ( 郭亚红 )
解：（ a ）假设代表性个人降低 t 期的消费 ?c ，他将增加的财富用于增加
做的效用成本为：
t 1期的消费，这样
1 t
[ ρ + 1 ] u ,( c t ) ?c = [ 1
t
ρ + 1 ]
[ 1 - 2 Θ c t ]?c 上步用到了瞬时效用函数 u (c t ) = c t - Θ (c t + v t ) 2 来计算 u ,( c t )。

通过上面的计算可以得出
t 1期的预期效用，即：预期效用等于：
1
E t [(
1 + ρ) t+1 u,(c t+1 ) (1 + A)?c] = (
1
1 + ρ
) t+1 E t[1 - 2Θ（c t+1 + v t+1 )](1 + A)?c
其中 A 表示实际利率。

因为v是白噪声序列，所以E t[ v t+1 ] = 0 ，因此上式可以化简为：预期效用等于：
1
( ) t+1 [1 - 2ΘE （c）](1 + A)?c
1 + ρt t+1
如果代表性个人是最优的，则效用成本等于效用收益，即：
1
(
1 + ρ上式化简得：) t[1 -
2 Θ（c t+ v t
1
)]?c = (
1 + ρ
1
) t+1 [1 - 2 ΘE t（c t+1 ）](1 + A)?c 1 - 2 Θ（c t + v t ) = (
已知ρ = A，进一步化简上式得：1 + ρ
)[1 - 2Θ E t（c t+1）](1 + A)
（b）设定效用函数形式为：
c t + v t = E t（c t+1）(1)
c t = α + β k t + γv t(2)
将方程（2）和生产函数Y t= AK t代入资本积累方程K t+1=K t + Y t - C t得出：K t+1= K t +
AK t- （α+ βk t+ γv t)
化简得：
K t+1 = - α + ( 1 - A - β)k t - γv t(3)
（c）将方程（2）和带有滞后项的方程（2）代入一阶方程（1）中，可得：
α + β k t+ γ v t + v t = E t [ α + βk t+1 + γ v t+1 ]
其中E t [ v t+1] =0 。

化简上式，可以得到：
α+ βk t+ ( γ+ 1 ) v t= α+ βE t [k t+1 ] (4)
将方程（3）代入方程（4），并且去掉期望值，这是由于k t+1 是k t 和v t 的函数，而后两者在t 期是已知的。

得：
α+ βk t+ (γ+ 1 ) v t= α+ β[- α+ ( 1 - A - β) k t - γv t]
化简得:
α+ βk t+ ( γ+ 1 ) v t= α(1 - β) + β(1 - A - β) k t- βγv t(5)
为使（5）成立，需要使两边的k t 、v t 和常数项相等，即表示如下：
β= β( 1 - A - β) ，β= A (6)
γ + 1 = - βγ，γ = - 1
1+A
(7)
α( 1 - β) = α，α ( 1 - A) = α，α= 0 (8)
存在另一种约束：β= 0、γ= -1 和α不受限制。

第二种方法很烦琐。

不过，因为β= 0 意味着消费不依赖于资本存量，这显然是不现实的。

因为消费依赖于产出，而产出依赖于资本。

因此，可以忽略这种情况。

（d）将（6）- （8）代入消费方程（2）和资本积累方程(3) 得：
c t = Ak t k = k
v t
-
1+A
v t
+
(9)
(10)
t+1 t 1+A
不失一般性，假设直到t 期v = 0 ，此时出现一次性的正的冲击。

为保持分析的简化，令v t = 1 + A，在t 1期之后，v = 0。

1+A
在时刻 t ，k t 不受影响， 它由上期的资本和储蓄率决定。

在生产函数 Y t = AK t 中，Y t 不
受影响，因为 K t 不受影响。

由（ 9）可知，消费降低了
v t
1+A
= 1+A = 1 。

在 t
1期，由（ 10）知道， k
t+1 v t
1+A 1+A
= 1+A = 1 。

在产出保持不变的前提下，上
期消费下降 1，意味着储蓄提高 1，反过来表明资本存量增加 1。

通过生产函数，当 k t+1 提高了 1 时，产出提高了 A 。

最后，由于 v t+1 = 0 ，而k t+1 提高了 1，c t+1 必须提高 A ，这一点由（ 9）可以看出。

在t + 2 期， v = 0 ，这将没有进一步的动态变化。

K 保持在新的水平上，比上期提高了 1。

C 保持在更高的水平上，比上一期提高了 A 。

Y 也保持在新的更高的水平上，比上一期高 A 。

4.10 第 4.3 节模型的平衡增长路径。

考虑无冲击时的
4.3 节的模型。

令 y 、k 、c 和G 表
示 Y ( AL )、K ( AL ) 、C ( AL) 和 G
( A L) 的平衡增长路径值。

令 w 为 w A 的值； l
为 L N 的
值； r 为 r
的值。

（a ）利用式（ 4.1）—式（ 4.4）、式（ 4.23）和式（ 4.26），以及 y 、k 、c 、w 、l 和 r 在 平衡增长路径上不变的事实，求关于这六个变量的六个方程
[ 提示：式（ 4.23）中的 c 为人
均消费 C N ， c 为每单位有效劳动平均消费的平衡增长路径值
C ( AL ) ,这些事实意味着，
在平衡增长路径上， c c l A ]
（b ）考虑 4.7 节中假设的参数值， 在平衡增长路径上， 消费和投资在产出中各占多少份额， 资本与年产出之比是多少？
（代义报）
解：(a) 在索洛模型、 拉姆齐模型和戴蒙德中， 在没有冲击的均衡增长路径上 , Y 、 K 、和 C
的增长率为
( g n) 。

除此之外，
w 的增长率为 g ， L 的增长率为 n ，而 r 的增长率为
0。

给定此处的对数结构，增长率意味着变量的对数变化，即
K 增长率为 (n g) ，意味着
ln( k t 1) ln( k t ) n g 。

在生产函数 Y t
K t [ A t L t ]
的两边同时除以
A t L t 得：
Y t / A t L t
K t [ A t L t ]
[ K t / A t L t ]
y
*
k
*
（ 1）
同理，将资本积累方程 K t 1
K t Y t
C t G t
K t 两边同时除以
A t L t 得：
K t 1 K t Y t C t G t K t A t L t
A t L t
A t L t
A t L t
A t L t
A t L t
提高了 1
t 由于在均衡增长路径上 出：
K t 1
e n e g
K ，因此， K t 1 / A t L t
e n e g
K / A t L t ，可以推
e n e g
k
*
k
*
y
*
c
*
G
*
k
*
（ 2）
在 实 际 工 资 方 程 w t
(1
)[ K t / A t L t ] A t 的 两 边 同 时 除 以 A t 得 到 ：
w t / A t
(1
)[ K t / A t L t ]
定义在均衡增长路径上
w/ A w
*
，从而有：
w
*
(1 )k
*
（ 3）
在均衡增长路径上利率为：
r
*
k
* (1
)
（ 4）
下面将教材中当前消费与当前劳动供给的权衡关系转化到在均衡增长路径上不存在冲
击时的表达式。

注意在教材中的（
4.26 ） c t /(1 l t ) w t / b 中， c C / N 。

在均衡增长路
径上每单位有效劳动是
C / AL , 因为 C / N (C / AL )( L / N ) A , 因此有 c c *l *
A 。

在
（4.26 ）两边同除以 A , 得到：
c * l *
A/ A
w/ A (1 l *
)
b
由 w
*
w/ A 可以得到：
c *l
*
w
*
（ 5）
(1 l *
)
b
为了转换教材中当前消费与未来消费之间的权衡关系，
首先消除预期项， 因为没有冲击时没
有不确定性。

在方程
1/ c t e E [(1 r t 1 ) / c t 1] 两边同时乘以 c t 1得：
c t 1 / c t e (1 r t 1)
在均衡增长路径上人均消费的增长率为
g ，因此 c t 1 c e g
或者 c t 1 / c t e g
，可以得到：
1 r
*
e
g
（ 6）
方程（ 1）—（ 6）分别含有 6 个变量： y * , k * , c * , w * , l *和 r * 。

(b) 假设下面的几个参数变量：
1/ 3, g 0/ 005, n 0.0025, 0.025, r * 0.015和l *
1/ 3。

t t
以上数据为季度数据。

由（4）可以得到在均衡增长路径上每单位有效劳动的资本
k * [ /(r *)]1/(1 ) ，将上面的数据代入k * ，可得：
k* [(1/ 3) /(0.015 0.025)]1/(1 1/ 3) 即：k *24.0563 。

将k * 值代入（ 1 ）中，得到在均衡增长路径上每单位有效劳动的产出的季度值：由
y* k* (24.0563)1/3 可推得：y* 2.8868。

在均衡增长路径上政府购买占产出的比率为[ G / AL] /[Y / AL] 0.2,
由此可推得：G / AL G*0.2 2.8868, 进而可推得：G*0.5774 。

由（2）可以解出在均衡增长路径上每单位有效劳动的消费：
* * * *
c k y G * n g *
k e e k (1 n g * * *
e e )k y G
将上述变量值代入 c * 的表达式，可得：
c* (1 0.025 e0.0025e0.005)(24.0563) 2.8868 0.5774 c* 1.5269
运用c和y* 求解在均衡增长路径上消费在产出中的份额，如下：
C / Y [C / AL]/[Y / AL] c* / y* 1.5269/ 2.8868 0.5289
因此消费在产出中的份额大约为53%。

下面求投资在产出中的份额，即：I / Y 1 C / Y G / Y 1 0.5289 0.2 0.2711
因此投资在产出中的份额大约为27%。

与美国的实际数据相比较，这里投资所占的比重较大，而消费所占的比重较小。

最后在均衡增长路径上资本与实际产出的比值为（年度数据）：K / 4Y [ K / AL] /[ 4Y / AL] k* / 4y* 24.0563/[ 4 2.8868] 2.083
4.11 通过寻求社会最优来求解一个真实经济周期模型。

【1】考虑第 4.5 节的模型。

为简单起
见，假设n g A N 0 。

令值函数V ( K
t , A
t
) 为代表性个人从当期开始的一生效用的期望
现值，它是资本存量和技术的函数。

（a）直观的解释V (?) 为什么必须满足：
V( K t , A t ) max
C t ,l t
[ln C t b ln(1 l t )] e E t [V( K t1, A t1)]
该条件被称为贝尔曼（Bellman ）方程。

根据该模型的对数线性形式，我们猜测V ( ?) 具有以下函数形式：
V ( K t , A t ) 0K ln K t A ln A
t
其中需要确定的值。

将这个猜测的函数形式以及
K
t 1
Y t C t和E t[lnA t 1 ] A ln A
t
代入贝尔曼方程，得：*
t A t V ( K t , A t ) max C t ,l t
lnC t b ln(1 l t ) e [
K
ln(Y t
C t ) A A
ln A t ]
（b ）
求C t 的一阶条件，证明该条件意味着 C t Y t 不依赖于 K t 或 A t
（c ）
求 l t 的一阶条件，利用这个条件以及（
2）部分的结果，证明 l t 不依赖于 K t 和 A t 。

（d ） 将生产函数以及（ 2）、（ 3）有关最优
C t 和 l t 的结果代入上面 V ? 的方程，证明所得表
达式的形式为 V ( K t , A t )
0 K
ln K t
A
ln A t
（d ）
K 和 A 应为何值才能使
K
K 和 A
A ?
（e ） C Y 和 l 所隐含的值是多少？他们与第
4.5 节中 n g 0 的情形下所得的值相同吗？
（代义报）
解：这里的 RBC 模型没有政府购买并且折旧率为
100%，给定下面的公式：
Y t
K t [ A t L ]
1
（ 1）
K t 1
lnA t
~ A t
Y t
A
~ A A t C t
~ gt A t
1
A,t
（ 2） （ 3）
（ 4）
lnN t
N
nt
（ 5）
u t
lnc t b ln( 1 l t ) （ 6）
在该模型中，简单地假定
n g A N
0 , 调整上面的公式：
由 lnN t
0 可得出，人口为： N t
1
（ 5 ）
将人口正规化为 1，因此每个人的劳动供给函数为：
l t 将与总的劳动供给 L t 一致，因此新的生产
Y t
K t [ A t l t ]
（ 1 ）
最后对于技术，由于
g 和 A 均为 0，因此有 lnA t
~
，将其代入（ 4）中，可得：
lnA t
A
ln A t 1
A, t
（ 3 ）
（a ）定义 t 时期的值函数为：
V t
max E t [
e
s t
( s t )
[lnC
b ln(
1 l s )]] （ 7）
1
s
A l 1
为解决这一社会计划者的问题，约束条件为生产函数（
1 ），资本积累方程（ 2）和技术方程
（ 3 ）。

因此在 t 时期的值函数是预期终生效用的贴现值，从 t 时期向前，估计所有消费和劳
动的最优选择。

此处运用的技术是将一个复杂的多期问题变为一个单期问题。

这是由于值
函数必须满足贝尔曼方程，即：
V t ( K t , A t )
max C ,l
{lnC
t
b ln( 1 l t ) e E t [V t 1 ( K t 1 , A t 1 )]}
（ 8）
式（ 8）说明在 t 时期的值函数等于在
t 时期的效用（关于 C t 和 l t 的最优选择） ，加上下期值
函数在 t
时期的贴现值。

最大化终生效用的期望值等于最大化今天的效用加上预期以后的效用。

(b ）假设值函数的形式为：
V t ( K t , A t )
0 K
lnK
t
A
lnA
t
（ 9）
动态规划的求解有三种方法，这是其中的一种：猜解法。

将（ 9）代入（ 8）中，可得：
V t ( K t , A t )
max {lnC
t
C ,l
b ln( 1 l t ) e E t [
K
lnK t 1
A
lnA
t 1
]}
（ 10）
在资本积累方程（ 2）两边取对数并取期望形式，即：
E t [ln K t 1 ]
对（ 3 ）两边取期望，得：
E t [ln( Y t C t )] ln(Y t C t )
（ 11）
E t [lnA t 1]
A
lnA t
（ 12）
上式用到了
的均值为 0，将（ 11）和（ 12）代入（ 10）中，可得：
V t ( K t , A t )
max{lnC t C ,l
b ln(1 l t ) e [
K
ln(Y t C t )
A A
lnA t ]}
（ 13）
C t 的一阶条件为：
0 1 C t e
k
( 1) Y t C t 1 C t
e
k
/(Y t C t )
最后可以求出
C t ：
Y t C t
e
k
C t C t (1 e
k
) Y t C t [1 (1 e
k
)]Y t
（ 14）
因此消费产出比为：
C t Y t
1 (1 e
k
)
（ 15）
显然，消费产出比与 K t 和 A t 无关。

（ c ） l t
的一阶条件为（其中 L t
l t ）：
b (1 l t ) [ e k
/(Y t C t )]( 1 ) K t t
t
化简得：
b (1 l
t ) [ e
k
/(Y
t
C
t
)](1 )(Y
t
l
t
) （16）
将（14）代入（16）得：b (1 l t ) [ e k /( e k C t )](1 )( Y t l t ) (Y t/ C t )[ (1 ) l t ] 将（15）代入（17）得：
b (1 l t ) (1 )(1 e k ) / l t
（17）
进而可以推出：
bl t(1 l t )(1 )(1 e k )
进一步化简可以得到：
l t[(1 )(1 e k b)] (1 )(1 e k )
因此有：
l t
(1 ) (1 )
[ b (1 e k ) ]
（18）
由此可见，人均劳动供给量既不取决于
可以求得最优的闲暇，即：
K t 也不取决于A t 。

另外，运用简单的代数运算，
(1 l
t ) b [(1 )(1 e
k
) b] （19）
(d)现在将消费和闲暇的最优选择和生产函数代入值函数，可以发现设定的关于值函数猜
解形式关于资本和技术为对数线性是有效的。

将方程（14）和（19）代入（13）得：
V t (K t , A t ) ln[Y t (1 e k )] bln{b (1 )(1 e k ) b} e { 0
（20）
k ln[ e k Y t /(1 e
k
)]
A A
lnA
t
}
将生产函数（1）代入（20），并将其对数形式展开，得：
V t (K t , A t ) lnK t (1 ) lnA t (1 ) ln l t ln(1 e k )
b ln{ b [(1 )(1 e
k ) b]} e
e
k
{ln( e
k
) ln(1 e
k
) (21)
lnK
t (1 ) lnA
t
(1 ) l n l
t
} e
A A
lnA
t
此处没有必要将l t代入，因为l t 并不依赖于K t 和A t ，而lnK t 和lnA t 的系数才是求值函数的最
优解所关注的。

将（21）重写为：
V t ( K t , A t ) 0k ln K t A ln A t（22）
其中
并不依赖于K t和A t ，而k(1 e k ) ， A (1 )(1 e k ) e A A (e)为证明原先的猜想是正确的，应该使（22）中的系数等于k，即k(1 e k ) ，
求解
k
：
1- k
(1 e ) (23)
同时使（22）中ln A
t
的系数等于A的系数：
A (1 )(1 e
K
) e
A A
)(24)
将K 的表达式及方程（23）代入（24）得：
合并同类项化简得：A
(1 ){1 [ e /(1 e )]} e
A A
最终可得到：A
(1 e
A
) (1 ) (1 e )
A
(1 ) /[( 1 e )(1
A
e )] (25)
(f) 将k 值代入
C t Y t C t
1
和l t中，将（23）代入（15）：
1
Y t
化简得：
1 [ e /(1 e )] [(1 e e
C t Y t ) /(1
1
e )]
e (26)
在n 0 的假设下，这与本模型的竞争解是相同的。

同理，将方程（23）代入（18）可得劳动供给量：
简化为：l
t
(1 ) b [1
(1 )
( a e /(1 e ))]
l
t
(1 ) [(1 ) b(1 e )] (27)
在n 0 的假定下，这里劳动供给的表达式与本模型的竞争解是相同的。

4.12假设技术不服从lnA t =??+gt+ ???t 和???t = A ???t-1 + A,t ，-1< A <1，而是服从其他过程。

那么，对所有的t ，s t =??和? l t =?l认识滴 4.5 节模型的解吗？为什么？( 曹思齐)
解：不变的储蓄率s t =??和?不变的人均劳动供给l t =?l不依赖与技术的行为。

对数效用函数、柯
布- 道格拉斯生产函数即100%折旧率引起资本和技术的变动，会将储蓄的收入效用和替代效
用相互抵消。

一旦建立不变的储蓄率，在劳动供给不变的条件下，技术不发挥作用。

这一点
依赖于效用函数的形式和柯布- 道格拉斯生产函数的假定，这一点非常重要，这样收入中劳
动的份额才能保持不变。

4.13考虑4.5 节模型。

但是，假设瞬时效用函数不是由u t =lnc t +bln(1-l t ) ，b>0 给定，而是由u t =lnc t +bln(1-l t ) /1- ，b>0, >0 给定。

（a）求与
????
=????类似，且工资给定将当期闲暇和消费联系起来的一阶条件。

1-???? ??
（b ） 在对模型做了这种修改后，储蓄率 s 是否仍然不变？
（c ） 人均闲暇 1-l 是否仍然不变？ （曹思齐）
解：（ a ）家庭增加在 t 期的劳动供给 l ，将增加的收入用于增加当期的消费。

家庭的效用
函数和瞬时效用函数分别为：
t
U=
e ρt
t 0
u(c t ,1-l
t)
N t /H (1)
1-
u t =lnc t +bln(1-l
t
) /1-
(2)
由（ 1）和（ 2）知道在 t 期工作的负边际效用为：
- U/ l t =e - t
人均劳动供给
l 的增加带来的效用成本为：
(N t /H)b (1-l
t
)
(3)
e
- t
(N t /H)b (1-l
t
)
-
l 由于这一变化导致消费增加
w t
l ，从而产生效用收益为： e - t (N t /H)(1/c
t
) w t
l
如果家庭行为时最优的， 这一边际变化导致预期的终生效用不变。

因此效用成本一定等于效
用收益：
- t ??
?? b
- t ??
?? 1
化简得：
e
?? (1-????
) l= e
w t l
?? ????
（4）式表明当前闲暇和当前消费决定了工资。

???? (1-???)?
???? ??
(4)
（ b ） 对 于 上 述 变 化 ， 储 蓄 率 保 持 不 变 。

当 前 消 费 和 预 期 的 未 来 关 系 为 ： 1/c t =e - E t
[(1+
t+1
)/c t+1 ], 此式不受瞬时效用函数形式变化的影响。

剩下的变化依赖于柯布 - 道格拉斯生产函数和 100%的折旧率的设定，而不依赖于效用如何对闲暇做出变化。

因此
?=?? e ??- 仍然成立。

（c ）人均闲暇仍保持不变。

（4）式中 c t 是人均消费，可以写为： c t C t /N t =(1- ?)??Y t /N t ，其中储蓄率 ??保?持不变。

在（ 4）式两边取对数并将上式代入，可得：
ln[(1- ?)??Y t /N t ]- ln(1-l
t
)=lnw t -lnb (5)
因为生产函数是柯布 - 道格拉斯生产函数，因此产出中劳动的份额（ 1- ），可得：
w t l t N t =(1- )Y t ，上式中用到了 L t l t N t ，总的劳动供给为人均劳动供给 l t 乘以人口数 N t 。

上
式整理为 w t =(1- ) Y t /N t 。

将上式代入（ 5）中： ln(1- ?)??+lnY t -lnN t - ln(1-l t
)=ln(1- )+lnY t -lnl t -lnN t -lnb
整理得：
lnl t - ln(1-l
t
)=ln(1- )-ln(1- ?)?-?l n b
(6)
在（ 6）式两边取指数，得：
???? (1-???)?
(1- )
=
??(1-??)?
(7)
(7) 式潜在的定义了作为
、 、b 和?的??函数的人均闲暇。

因此人均闲暇保持不变。

4
.1 （ a ） 若 ??? t 始 终 未 0 ， 且 lnY t = ln ??+? lnY t-1 +(1- ) (lnA t +ln ? +lnN t )=
=
-。