专题--复合数列教案

复合数列
关于复合数列,很难给出确切的定义.比较简单的复合数列可以是由一个已知数列{a n }派生出新的子数列,或和数列{S n },或另一个新的数列{b n }(其中b n 可由a n 表示)；也可以是由两个已知数列{a n }、{b n }的通项的线性表示产生出的新的数列{c n }等等.总之不再是单一的数列,而是有了数列与数列之间的关系,使得问题变得复杂一些,这也是多年来高考数列综合题的一大热点.
例1．（2004武汉市期未）数列{n a }满足递推式365),2(13341=≥-+=-a n a a n n n 其中 （1）求a 1,a 2,a 3；
（2）若存在一个实数λ,使得⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n
n a 3λ为等差数列,求λ值;
（3）求数列{n a }的前n 项之和.
解答：（1）由a n =3a n-1+3n -1,及a 4=365,知a 4=3a 3+34-1=365,则a 3=95.同理求得a 2=23,a 1=5. (2)∵{a n +λ3n }为一个等差数列,于是设a n +λ
3
n ＝xn +y ,∴a n =(xn+y )·3n -λ,
又由a 1=5,a 2=23,a 3=95,知
⎩⎨⎧5=a 1=(x+y )·3-λ23=a 2=(2x +y )·9-λ95=a 3=(3x +y )·27-λ
,解得λ＝-12,x =1,y =1
2.
∴a n =(n +12)·3n +12,而a n =(n +12)·3n +12满足递推式,因此λ＝-1
2
.
(3)∵a n =(n +12)·3n +12,先求b n =(n +12)·3n 的前n 项和,记T n =(1+12)·31+(2+12)·32+…+(n +12)·3n
,
则3T n =(1+12)·32+(2+12)·33+…+(n +12
)·3n +1
两式相减得,－2T n =(1+12)·3+32+33+…+3n -(n +12)·3n +1=-n ·3n +1
,
∴T n =12
n ·3n +1
.
因此,｛a n ｝的前n 项和为n
2
(3n +1+1).
例2．（2004浦东新区期未）已知数列}{n a 满足：11=a ,a n +1=
a n
2a n +1
n ∈N ) )(N n ∈,数列}{n b 的前n 项和S n =12-12(2
3
)n (n ∈N ).
(1) 求数列}{n a 和{b n }的通项公式；
(2) 设c n =b n
a n
,是否存在N m ∈,使c m ≥9成立？并说明理由.
解答：（1）由2111211
+=⇒=+++n
n n
n a a a a n a ,∴12)1(211-=-+=n n n
a ,1
21-=
n n a )(N n ∈.
由n n S )(121232-=及13
21)(1212---=n n S )2(≥n ,可得1321)(4--=-=n n n n S S b )2(≥n , 令1=n ,则412123211=⋅-==S b 也满足上式,∴132)(4-=n n b )(N n ∈. （2）(理)13
2132)()12(4)(4)12(---=⋅-==
n n a b n n n C n
n
,设m
C 为数列}{n C 中的最大项,则
⎪⎩⎪⎨
⎧≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥--≥⋅-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+≥--≥-⇒⎩⎨⎧≥≥---+-2
527
323
23213223213211)12(1232)12()()12(4)()12(4)()32(4)()12(4m m m m m m m m m m C C C C m m m m m m m m ,∴3=m .
即3C 为}{n C 中的最大项.∵9)(209802323<==C ,∴不存在N m ∈,使9≥m C 成立. 思考：(文) 求使6≥n C 的自然数n 的值.
(文)∵13
2132)()12(4)(4)12(---=⋅-==
n n a b n n n C n
n
, ∴1)()12(6)()12(463
2132≥-⇔≥-⇔≥-n n n n n C . 设n n n f )()12()(32-=,1)1(32
<=f ,1)2(34>=f ,1)3(27
40>=f ,1)4(81112>=f ,1)5(243
288
>=f ,
1)6(729
704
<=f .当6≥n 时,13
624)
()1(<=
-++n n n f n f ,即)()1(n f n f <+.故)(n f 在),6[∞+上单调递减.
∴使6≥n C 的自然数n 的值为2,3,4,5.
例3．(2004厦门市高三质量检测)设正项数列{n a }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =(S n -1+2)2(n >1且n ∈N *) （1）求n a 的表达式；
（2）在平面直角坐标系内,直线L n 的斜率为a n ,且L n 与曲线y=x 2有且仅有一个公共
点,L n 又与y 轴交于点D n (0,b n ),当n ∈N *
时,记d n =14|D n +1D n |-1,若c n =d n +12+d n 2
2d n +1·d n
求证：
C 1+C 2+C 3+…+C n －n <1.
解：(1)由S n =(S n -1+2)2,得S n -S n -1=2,所以数列{S n }是以2为首项、2为公差的等差数列,∴S n =2n ,S n =2n 2,
当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n -2,又a 1=2,∴a n = 4n -2
(2)设L n ：y=a n x+b n ,由⎩⎨⎧y=a n x+b n
y=x 2
得x 2-a n x -b n =0,据题意方程有相等实根, ∴△=a n 2+4b n =0,∴b n =-14a n 2=-1
4
(4n -2)2=-(2n -1)2.
另解：可利用导数求点P 处的切线斜线率,2|00x y a x x n ='==
当n ∈N *时,d n =1
4
|b n -b n +1|-1=|-(2n -1)2+(2n+1)2|-1=2n -1,
∴c n =(2n+1)2
+(2n-1)22(4n 2-1)=1+(12n -1-12n +1),∴c 1+c 2+…+c n
-n =1-12n +1<1.
能力测评
1．(2004山西实验中学测试一)已知数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =2n ,b n = 3n +2,(n ∈N *),{a n },{b n }中相同项从小到大排成的新数列为{c n },则{c n }的第5项是（ D ） A ．128 B ．512 C ．1024 D ．2048. 2．（2004苏州中学第一学期期未）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制就
是“逢二进一”,如（1011）2表示二进制数,将它转换成十进制数就是1×23+0×22+1×21+1×20=11,那么将二进制数（11…1）2
（16个1组成）转换成十进制数是…（ ） A ．216 －1 B ．216 －2 C ．217 －1 D ．215
－1 3．（2004上海春季高考）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图
中有 12
+-n n 个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
4．(2004扬州中学)给定))(2(log *1N n n a n n ∈+=+,定义使321a a a ⋅⋅……k a 为整数的数)(*N k k ∈叫做企盼数,则区间[1,2004]内的所有企盼数的和M ＝ 2026 .
5．(2004重庆市联合诊断)已知数列{a n }中,a 1=40,a n +1－a n =na +b ,其中a 、b 为常数且n ∈N *,a
∈N *,b 为负整数.
（1）用a 、b 表示a n ；
（2）若a 7>0,a 8<0,求通项a n .
解：（1）a n －a n -1=(n -1)a +b , a n -1－a n -2=(n -2)a +b ,…,a 2－a 1=a +b ,相加得a n =n(n-1)
2
a+(n-1)b +40.
（2）由a 7>0,a 8<0,得⎩⎨⎧21a +6b +40>0
28a +7b +40<0
,∴21a +6b +40>28a +7b +40,解得b <-7a .
∴-6b >42a ,解得a <4021.又∵a ∈N *
,∴a =1.∴-1016<b <-957,∴b =-10.∴a n =n 22-21n 2
+50.
6．（2004黄冈市期未）已知数列{a n }（n ∈N *）满足3a 5=8a 12>0,且三点P(n -2,a n )、Q(n ,a n +1)、R(n +2,a n +2)在一条直线上.
（1）若a 1=76,求通项公式a n ；
（2）若b n =a n a n +1a n +2（n ∈N *）,则数列{b n }的项中是否有正数？如果没有,则说明理由；如果有,则数列{b n }的项中哪些为正数？
解答：(1)由题意有a n +1- a n n -(n -2) = a n +2- a n +1
(n +2)-n
,即a n +1- a n = a n +2- a n +1 .∴数列{a n }为等差数列.
设公差为d ,又3a 5=8 a 12,∴3(a 1+4d )=8(a 1+11d ),即5 a 1+76d =0.而a 1=76,∴d = -5.
故a n =76-5(n -1)=81-5n . (2)由(1)可知a 1= -
765d ,∴a 5= - 56
5
d > 0,∴d < 0.∴数列{a n }是首项为正数的递减等差数列.由a n =a 1+(n -1)d =-765+(n -1)d ≥0,解得n ≤161
5
,即n ≤16.
∴b 1> b 2> b 3>…> b 14> 0,b 16>0,b 15<0,b n <0(n ≥17).∴数列{b n }的项中共有15项为正数.。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

7．(2004海淀区期中)已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=
3+a n
2
. (1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；
(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；
(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,试证明：S n <5
2
.
解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n
2
=a n ,又依a 1>0,可以推得a n >0
并解出：a n =32.即a 1=a 2=3
2
（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-1
2(3+a n 2+3+a n-1
2
)
(n ≥2)
注意到：2(3+a n 2+3+a n-1
2
)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n
对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<3
2
.
（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得
当a 1>3
2
时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0
∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1 又：a n +2<a n +1 即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=5
2
. 8．(2004山东实验中学)数列}{n a 的前n 项和为S n ,满足:
a 1=1,3tS n -(2t +3)S n -1=3t,其中t >0,n ∈N *,n ≥2.
(1)求证：数列}{n a 是等比数列；
(2)设数列}{n a 的公比为f (t ),数列}{n b 满足b 1=1,b n =f (1
b n -1
n≥2),求{b n }的通项公式.
(3)记T n =b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-b 4b 5+…+b 2n-1b 2n -b 2n b 2n+1,求证：T n ≤- 20
9
.
解答：(1)3tS n -(2t +3)S n -1=3t,3tS n +1-(2t +3)S n =3t,∴3ta n +1-(2t +3)a n =0.∴a n +1a n =2t+3
3t .
∴从第二项起……,又a 1=1,3t (a 1+a 2)-(2t +3)a 1=3t,解得a 2=2t +3
3t .∴{a n }是等比数列.
(2)由(1)知f (t )=
2t +33t ,∴b n =b n-1+23,∴{b n }是等差数列，且b n =2n +1
3
(3))()()(12122534312+--++-+-=n n n n b b b b b b b b b T =-43(b 2+b 4+…+b 2n )=-4
9(2n 2+3n ),
当n ≥2时，2n 2+3n 为增函数，∴T n ≤-4×59=-20
9
.。