2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期9月阶段调研测试数学试题(含答案解析)

【解析】因为
,所以
一正一负,又因为其前 项和 有最大值,所以 第 4 页 共 14 页
,则数列 的前 10 项均为正数,从第 11 项开始都是是负数,所以又因为
,所以
,即
,所以使得 的最大值 为 19.选 B.
12．已知函数
f
x
4x 4x 2
，设 an
f
n 2019
（
n
N
），则数列
an
的前
(n
2) ，
an1 an2
2n 5 2n 1
， ， a3 a2
3 ， a2 7 a1
1 5
，
累乘得： an a1
1 3 (2n 1)(2n 1)
，
又 a1 1 ，
an
2n
3
1 2n
1
，
3
故答案为： 2n 12n 1 ．
【点睛】 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档 题．
A． 2018 年
B． 2019 年
C． 2020 年
D． 2021 年
【答案】B
【解析】试题分析：设从 2015 年开始第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200
万元，由已知得130 112%n1 200 ,1.12n1 200 ，
130
两边取常用对数得
(n 1) lg1.12
lg 200 , 130
y 4ex ex 的最小值为 4，
对于 D ： Q 0 x 1， y 0 ，其最小值不为 4，排除 D ， 故选： C ．
【点睛】
本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题
4．若集合 A x | ax2 ax 1 0 ,则实数 a 的取值范围是 ( )
A．3 或－3
B．3
C．－3
D．不确定
【答案】C
【解析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以
求出实数 x 的值.
【详解】
因为实数 1, a, x, b, 9 依次成等比数列，所以有 x2 (1) (9) x 3
当 x 3 时， a2 (1) 3 3 ，显然不存在这样的实数 a ，故 x 3 ，因此本题选
C.
【点睛】
本题考查了等比中项的性质，本题易出现选 A 的错误结果，就是没有对等比数列各项
的正负性的性质有个清晰的认识.
3．下列函数中，最小值为 4 的是（
A． y x 4 x
C． y 4ex ex
）
B． y sin x 4 （ 0 x π ） sin x
D． y log3 x log x 3 （ 0 x 1）
S5=____________．
121
【答案】 .
3
【解析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 q 的方程，应用等比数列的求和公
式，计算得到 S5 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为
q
，由已知
a1
1 3
,
a4
2
a6
，所以 (1 3
q3 )2
1 3
q5, 又 q
且： 2a
1 8b
2a
23b ，因为对于任意 x ， 2x
0 恒成立，
结合均值不等式的结论可得： 2a 23b 2 2a 23b 2
26
1
.
4
2a 23b
a 3
当且仅当
a
3b
6
，即
b 1
时等号成立.
综上可得 2a
1 8b
的最小值为
1 4
.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为
f
1
n 2019
f
2019 2019
n
a2019n
所以 an a2019n 1
则数列 an 的前 2018 项和 S2018
则 S2018 a1 a2 a2018 S2018 a2018 a2017 a1 所以 2S2018 2018
第 5 页 共 14 页
所以 S2018 1009
1 2
＝
3 1
an
＝3－2an.
3
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司 2015 年全年投入研发 奖金130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12% ，则该公司全年 投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是（ ）（参考数据： lg1.12 0.05 ，
lg1.3 0.11 ， lg 2 0.30 ）
2019
项和 S2019 的值为（
3029
A．
3
【答案】A
）
3032
B．
3
6056
C．
3
6059
D．
3
【解析】首先可得
f
x
f
1 x 1 ，又 an
f
n 2019 ，则
f
1
n 2019
f
2019 2019
n
a2019n ，即 an
a2019n
1，则可得 S2018
1009 ，再
第 6 页 共 14 页
两式相减得 an1 2an1 2an ，即 an1 2an ， 当 n 1 时， S1 a1 2a1 1，解得 a1 1，
所以数列an 是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以
S6
(1 26 ) 1 2
63
，故答案是 63
.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，
因为 A x | ax2 ax 1 0
所以 f x ax2 ax 1恒大于 0，即 0
所以 a2 4a 0 ，解得 0 a 4 。
【点睛】
本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论。
5．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S6 4a2 ， a3 3 ，则 a10 （ ）
范围．
【详解】
解： 数列 n2 2n 的通项公式为 an n2 2n ，数列{an}是递增数列，
an1 an (n 1)2 2(n 1) n2 2n
2n 1 2 0 恒成立 2n 1 2 的最小值是 2 1 1 2 3 2 0 3
A．a | 0 a 4
B．{a | 0 a 4}
C．{a | 0 a 4}
D．{a | 0 a 4}
【答案】D
【解析】本题需要考虑两种情况，a 0，a 0 ，通过二次函数性质以及即集合性质来 确定实数 a 的取值范围。
【详解】
设 f x ax2 ax 1 当 a 0 时， f x 1 0 ，满足题意 当 a 0 时， f x 时二次函数
由 a2019
f
2019 2019

f
1
41 41 2
2 3
及 S2019
S2018
a2019
计算可得；
【详解】
解：因为
f
x
4x 4x 2
，
所以
f
1
x
41 x 41x 2
2 4x 2
所以
f
x
f
1 x
2 4x 2
4x 4x
2
1
因为 an
f
n 2019
所以 an
f
n 2019 ，
类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列
是等比数列，之后令 n 1 ，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，
只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
15．已知数列an 中， a1 1, 2n 1 an 2n 3 an1（ n 2 ）则数列an 的通项
第 7 页 共 14 页
16．已知 a ,b R
，且 a
3b 6
0 ，则 2a
1 8b
的最小值为_____________.
1
【答案】
4
【解析】由题意首先求得 a 3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最
终结果，注意等号成立的条件.
【详解】
由 a 3b 6 0 可知 a 3b 6 ，
n 1
lg 2 lg1.3 lg1.12
0.3 0.11 0.05
3.8,n
5
，故从
2019
年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B. 【考点】增长率问题，常用对数的应用
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等
比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式
写出通项，列出不等式或方程就可求解．
9．已知数列 n2 2n 是单调递增数列，则实数 的取值范围为（ ）
第 3 页 共 14 页
A．
3 2
,
B．
3 2
,
C． 1,
D．1,
【答案】A
【解析】由已知条件推导出 an1 an 2n 1 2 0 恒成立，由此能求出实数 的取值
【答案】C
【解析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可．
【详解】
解：对于
A
：当
x
0
时，
y
x
4 x
4 ，该函数的最小值不是 4，排除 A ；
第 1 页 共 14 页
对于 B ：若取到最小值，则 sin x 2 ，显然不成立，故排除 B ； 对于 C ： y 4ex ex 2 4ex ex 4 ，当且仅当 4ex ex 即 x ln2 时取等号，
A． 3
B．3
C． 6
D．6
【答案】A
【解析】 6a1
15d
4a1
4d , a1
2d
3
d
6 7
a10
a3
7d
3 ，选
A.
6．在正数组成的等比数列{an}中，若 a1a20＝100，则 a7＋a14 的最小值为( )
A．20 B．25
第 2 页 共 14 页
C．50 D．不存在 【答案】A
【解析】∵正数组成的等比数列 ，
0
，
所以
q
3, 所以
S5
a1(1 q5 ) 1 q
1 (1 35 ) 3
13
121 3
．
【点睛】 准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式 计算，部分考生易出现运算错误．
14．记 Sn 为数列an 的前 n 项和，若 Sn 2an 1 ，则 S6 _____________．
，∴
，
∴
，当且仅当
时，
取最小值 20，
故选 A.
2 7．设首项为1，公比为
3
的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，则（
）
A． Sn 2an 1
B． Sn 3an 2
C． Sn 4 3an
D． Sn 3 2an
【答案】D
【解析】Sn＝ a1 1 qn 1 q
＝
a1 q an 1 q
【答案】 63
【解析】首先根据题中所给的 Sn 2an 1 ，类比着写出 Sn1 2an1 1 ，两式相减，
整理得到 an1 2an ，从而确定出数列an 为等比数列，再令 n 1 ，结合 a1, S1 的关系，
求得 a1 1，之后应用等比数列的求和公式求得 S6 的值.
【详解】
根据 Sn 2an 1 ，可得 Sn1 2an1 1 ，
2019-2020 学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期 9 月阶段调 研测试数学试题
一、单选题 1．在等差数列 A．-1 【答案】B
中，若 =4， =2，则 = （ ）
B．0
C．1
【解析】在等差数列 中，若
，则
故选 B.
D．6 ，解得 ，
2．已知实数 1, a, x, b, 9 依次成等比数列，则实数 x 的值为( )
若
a<b<0,则
a2>b2，A
不成立；若
ab 0
{ a
b
a
2b
ab
2
,
B
不成立；若
a=1，b=2，则
b 2, a 1 b a ,所以 D 不成立 ,故选 C. a b2 ab
11．已知数列 为等差数列,若 为
,且其前 项和 有最大值,则使得
A．11 B．19 C．20 D．21
【答案】B
的最大值
公式为 an ______.
3
【答案】 2n 12n 1
【解析】通过对 (2n 1)an (2n 3)an1(n
2)
变形可知
an an1
2n 2n
3 1
(n
2) ，进而利用累
乘法计算即得结论．
【详解】
解： (2n 1)an (2n 3)an1(n 2) ，
an an1
2n 2n
3 1
又 a2019
f
2019 2019
f
1
41 41 2
2 3
S2019
S2018
a2019
1009
2 3
3029 3
故选： A
【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题.
二、填空题
13．记
Sn 为等比数列{an}的前
n
项和．若 a1
1 3
，a42
a6
，则
正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出
现错误．
三、解答题
17．解不等式组
3x 2 1 x6
2x2 x 1 0
1
【答案】[－2，－ )∪(1，6)．
2
【解析】先解分式不等式，再解一元二次不等式，最后求两者交集. 【详解】
2
即实数
的取值范围是
3 2
,
．
故选： A ．
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用，属于中
档题．
10．已知 a, b 为非零实数，且 a b ，则下列命题成立的是
A． a2 b2
【答案】C
B． ab2 a2b
C．
1 ab2
1 a2b
【解析】【详解】
D． b a ab