高数习题解答有原题

第八章 多元函数微分学
习 题 8-1
1．判断题： （1）错；（2）错；（3）错．
2．描绘下列平面区域，并指出它是开区域、闭区域、有界区域还是无界区域： （1）无界，开区域；（2）无界，开区域；（3）有界，闭区域；（4）无界，闭区域． 3．设22
(,)y
f x y x y x
+=-，求(,)f x y .
解 设,,y
u x y v x
=+=
则;11u uv x y v v ==++． 原方程变为：22222222
(1)(1)(1)
(,)(1)(1)(1)(1)u u v u v v u v f u v v v v v +--=-==++++， 所以有：2(1)
(,)1x y f x y y
-=+．
4．求下列各函数的定义域，并画出定义域的草图：
（1）解 由2221021,y x y x -+>⇒>-所以定义域为{
}
2
(,)21D x y y x =>-． （2）解 (){},00D x y x y x y =+>->且；
（3）解 ()()
{}
2
22,2D x y x y y x =-+≥>4且；
（4）解 (){}
2
2,,,0D x y z x
y z z =
+≤≠；
（5）解 由222222222
2222
0,0
R x y z r x y z R x y z r ⎧---≥⎪⇒<++≤⎨++->⎪⎩． 所以定义域为：(){}
2
2222,,.D x y z r
x y z R =
<++≤
（6）解 要使函数有定义，须
220,
0,
10.y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩
即{
}
22
(,)0,0,1D x y y x x x y =->≥+<． 5．计算下列各极限：
（1）2201lim 1x y x y x xy →→++-；（2
）0x y →→（3）222222001cos(lim (e x y x y x y x y →→-++））；
（4
）0x y →→ ；（5）122
1
lim e
sin x x y x y -
→→+；（6）22200
sin()lim x y x y x y →→+.
（1）解 220011
01
lim
lim 11100x x y y x y x xy →→→→++==+-+-． （2）解 原式
=0
00
1)2x x y y →→→→==． （3）解 变形化为能利用一元函数极限公式的形式．
原式22
2
02022
0222sin
2=lim 42x y x y e x y x y
→→+⋅⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭，令222t x y =+， 则有原式2
22
00
1sin 1=lim lim()10022t x y t x y t →→→⎛⎫+=⋅⋅= ⎪⎝⎭． （4）解
因为0xy
y x
≤
≤
=，
由夹逼准则可知：00
0x y →→=
，所以0x y →→．
（5）解 因为函数221
sin x y +是有界的，而21
00
lim 0x x y e -→→=， 所以根据极限的性质可知：122
1
lim sin
=0x x y e
x y -→→+．
（6）解 222
2
22220000
sin()sin()lim lim 100x x y y x y x y x y
x y x y x y →→→→=⋅=⨯=++． 这里22200
lim =0x y x y x y →→+，其原因是222220=x y x y
y x y x ≤≤+，由夹逼准则得证． 6．证明下列极限不存在：
（1） 22200lim x y x xy x y →→++； （2）2
2400
lim x y xy x y →→+．
（1）解 设动点沿y kx =趋于(0,0)，则原极限22222222200
(1)(1)
=lim (1)(1)x y x kx k x k x k x k x k →→+++==+++， 显然极限随k 值而变，故极限不存在．
（2）解 设动点沿2
x ky =趋于(0,0),则原极限444200
=lim 1x y ky k
ky y k →→=++， 显然极限随k 值而变，故极限不存在．
7
．证明函数,)(0,0)(,)(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩
，0， 在全平面连续.
证明 当x y ≠(,)(0,0)时，函数显然连续；当(0,0)x y =(,)时，因为222xy x y ≤+，
即22
1()2
xy x y ≤+
，所以有220≤
≤=
而000x y →→=
，由夹逼准则可知0
x y →→，故函数在全平面连续．
8．判断函数sin(2)
,2,2(,)0,2x x y x y x y f x y x y -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
在何处间断. 解 因为00
sin(2)
lim
0(0,0)2x y x x y f x y →→-==-，所以函数(,)f x y 在点(0,0)处连续；
除去(0,0)点外，函数在2x y =处无定义，所以函数(,)f x y 在直线2x y =上除点(0,0)外，其他点都不连续．
习 题 8-2
1．选择题：
（1）C （2）D （3）B 2．判断题：
（1）错 （2）错 （3）对 （4）对 （5）错 3．求下列各函数的偏导数：
（1）3
3
z x y xy =-；（2）22u v s uv
+=；（3）(1)y
z xy =+；
（4）y
z
u x =；（5）2ln tan
e x+y x z y
=+；（6
）z =（1）解
23323;3z z
x y y x xy x y
∂∂=-=-∂∂．
（2）解 u v s v u =+ ，21s v u v u ∂∴=-∂；21s u v v u
∂=-+∂． （3）解 ln(1)
y xy z e
+=
22ln(1)21(1)(1)11y xy y
y z y y e xy y xy x xy xy
+-∂=⋅=+⋅=+∂++ln(1)[ln(1)](1)[ln(1)]11y xy y z xy xy e xy xy xy y xy xy
+∂=⋅++=+++∂++． （4）解 ln y
z
u e x =
ln 1y y y x z z z u y y y e x x x zx zx z ⋅-∂=⋅=⋅=⋅∂；ln 11ln ln y y
x z z u e x x x y z z ⋅∂=⋅⋅=⋅⋅∂； ln 222ln ln ()()ln y y y
x z z z u y x y x y
e x x x z z z z
⋅∂=⋅-=⋅-=-⋅⋅∂． （5）解
222222sec 2csc
11sec 222tan tan x y x y x y x x
z x y y
e e e x x x y y
y y y
y +++∂=⋅⋅+=+=+∂；
2
2222222sec 122sec ()1csc tan tan
x y x y x y x
x z x x x x y e e e x x y y y y y y y y
+++∂=⋅⋅-+⋅=-+=-+∂．
（6）解
23222
()
z
y x
x y ∂=
=
∂+；
3222
()
z xy y
x y ∂==-∂+．
4．求下列各函数在指定点的偏导数：
(1) (,)ln()2y
f x y x x
=+
，求(1,0)y f . (2) ()xy z x y =+，求
11
x y z x
==∂∂和
10
x y z y
==∂∂.
（1）解 (1,0)
2211
1
2,(1,0)222
2y y
x
f f y x y x y
x x
=
=
==
+++． （2）解 l n ()
x y x
y z e
+=
ln()[ln()]()[ln()]xy x y xy z xy xy e y x y x y y x y x x y x y
+∂=⋅++=+⋅++∂++1
1
1
2[ln 2]2ln 212x y z x ==∂∴
=⋅+=+∂； ln()[ln()]()[ln()]xy x y xy z xy xy e x x y x y x x y y x y x y +∂=⋅++=+⋅++∂++；1
0x y z
y
==∂∴=∂．
5
．设(,)(1)arcsin
f x y x y =+-求(,1)x f x . 解 (,1)f x x = ，(,1)1x f x ∴=． WHY 6．求下列各函数的高阶偏导数：
(1)设4
4
2
2
4z x y x y =+-，求22z x ∂∂,2z x y ∂∂∂和22
z
y ∂∂；
(2)设2
2
(,)arctan arctan y x f x y x y x y =-，求2f x y
∂∂∂；
(3)设ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂和32
z
x y
∂∂∂. （1）解 32
48z x xy x ∂=-∂，2222128z x y x
∂=-∂； 3248z y x y y ∂=-∂，222
2128z y x y ∂=-∂；216z xy x y
∂=-∂∂． （2）解 232
2222
2212arctan 2arctan 1()1()y
f y y x y y y x x x y x y x x x x x y x y
-∂+=+⋅-⋅=-∂+++；
2
222223222222
2
2(3)()()22()1()f x y x y x y y y x y x x y x y x y x y x
∂++-+⋅-=⋅-=∂∂+++． （3）解 ln()ln()1z y xy x xy x xy ∂=+⋅=+∂；221z y x xy x ∂==∂；320z
x y
∂=∂∂；
21z x x y xy y ∂==∂∂；322
1
z x y y
∂=-∂∂． 7．求下列各函数的全微分： （1）x
z xy y =+
； （2）sin(cos )z x y =； （3）yz u x =； （4）sin e 2
yz y
u x =++. （1）解 1z y x y ∂=+∂
，2z x x y y ∂=-∂；21()()z z x
dz dx dy y dx x dy x y y y ∂∂∴=+=++-∂∂． WHY
（2）解 c o s (c o s )c o s z x y y x ∂=⋅∂
，cos(cos )(sin )z
x y x y y
∂=⋅-∂； WHY cos(cos )cos cos(cos )sin cos(cos )[cos sin ]z z
dz dx dy x y ydx x y x ydy x y ydx x ydy x y
∂∂∴=
+=⋅-⋅=-∂∂（3）解 1yz u x yz x -∂=⋅∂
；ln yz u
x x z y
∂=⋅⋅∂；ln yz u x x y z ∂=⋅⋅∂； WHY 1ln ln yz yz yz u u u
du dx dy dz yzx dx z x x dy y x x dz x y z
-∂∂∂∴=
++=+⋅+⋅∂∂∂． （4）解 1u x ∂=∂
；11cos cos 2222
yz yz u y y
e z ze y ∂=⋅+⋅=+∂；yz u ye z ∂=∂； WHY 1(cos )22
yz yz y
du dx ze dy ye dz ∴=+++．
8．求函数2
2
ln(1)z x y =++当x =1，y =2时的全微分. 解 122
2
2113x y z x x x y ==∂=
=∂++
；122
2
22
13
x y z y y x y ==∂=
=
∂++；1233dz dx dy ∴=+． WHY
9．求函数xy
z e =当x =1，y =1，x ∆=0.15，y ∆=0.1时的全微分.
解 11
xy x y z
e y e x
==∂=⋅=∂
；
11
xy x y z
e x e y
==∂=⋅=∂；1
0.252
dz e x e y e ∴=∆+∆
=． WHY
习 题 8-3
1．设2
ln z u v =，x u y =
，32v x y =-，求z x ∂∂，z
y
∂∂.
解 22
22
2323ln ln(32)(32)
z z u z v u u x x v x y x u x v x y v y y x y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+=-+∂∂∂∂∂-； 222222232222222ln ln(32)ln(32)(32)(32)
z z u z v x u x x x x x u v x y x y y u y v y y v y y y x y y y x y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅⋅-=-⋅⋅--=---∂∂∂∂∂--2．设2x y
z e -=，sin x t =，3y t =，求
d d z
t
. 解
3222sin 22cos 6(cos 6)x y x y t t dz z dx z dy
e t t e e t t dt x dt y dt
---∂∂=⋅+⋅=⋅-=-∂∂． 3．设2
()
1
ax e y z u a -=+，sin y a x =，cos z x =，求d d u x . 解
22222()cos sin (1)sin sin 1111
ax ax ax ax ax
du u x dy u dz ae y z e a x e x a e x e x dx x y dx z dx a a a a ∂∂∂-+=+⋅+⋅=++==∂∂∂++++． 4．设()z
u x y =-，2
2
z x y =+，求
u x ∂∂，u
y
∂∂. 解 ln()
z x y u e
-=．
22
22ln()[ln()]()[2ln()]z x y x y u z z x y e x y x y x x y x x x y x y -+∂∂+=⋅-+=--+∂∂--． 22
22ln()[ln()]()[2ln()]z x y x y u z z x y e x y x y y x y y x x y y x
-+∂∂+=⋅--=--+∂∂--． 5．求下列函数的一阶偏导数：
（1）22(,)xy
u f x y e =-；（2）(,)x y
u f y z
=；（3）(,,)u f x xy xyz =；
（4）(,,),(,),(,)u f x y z z y t t y x ϕψ===，其中,ϕψ均可微. （1）解 设22,,(,)xy w x y v e u f w v =-==
''1222xy xy u f w f v f f x ye xf ye f x w x v x w v
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂； ''1222xy xy u f w f v f f y xe yf xe f y w y v y w v
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂∂∂． （2）解 设,,(,)x y
w v u f w v y z
=
== '111
0u f w f v f f f x w x v x y w v y
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂∂； ''122211u f w f v x f f x f f y w y v y y w z v y z ∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂∂∂； '2220u f w f v f y f y f z w z v z w z v z
∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂∂∂∂∂∂． （3）解
'''123u
f yf yzf x ∂=++∂；'''233;u u xf xzf xyf y z
∂∂=+=∂∂． （4）解 依题意，这里,x y 是自变量，t 是中间变量，所以
u f f z t f f x x z t x x z t x
ϕψ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅⋅=+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂； u f f z f z t f f f y y z y z t y y z y z t y
ϕϕψ
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅⋅=+⋅+⋅⋅
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂． 6．设2
2
()z f x y =+，其中f 具有二阶导数，求22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂及22
z
y ∂∂.
解 2
''2''22;24z z x f f x f x x
∂∂=⋅=+∂∂； 2''''2''24;2;24z z z xy f yf f y f x y y y
∂∂∂=⋅==+∂∂∂∂． 7．设(2,sin )z f x y y x =-，f 具有二阶连续偏导数，求2z x y
∂∂∂.
解
''122cos z
f y xf x
∂=+∂；
2'''''''''
1112221222[sin ]cos cos [sin ]z f x f xf y x f xf x y
∂=-+⋅++-+∂∂ ''''''
'11122222(2sin cos )sin cos cos f x y x f y x xf xf =-+-++．
8．设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中()f x 二阶可导，(,)g u v 具有二阶连续偏导数，求2z x y
∂∂∂.
解 '''122z f g yg x ∂=++∂；2''''''''
1222222z f xg g yg xyg x y
∂=-++++∂∂． 9．设y y u x x x ϕψ⎛⎫⎛⎫
=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，,ϕψ均有二阶连续导数，求证： 222
2
22220u u u x xy y x x y y
∂∂∂++=∂∂∂∂. 解
''''222()()()()u y y y y y y
x x x x x x x x
ϕψψϕψψ∂=⋅-++⋅-=-+-∂； 2''''''''''''2232111111[()][]u y y
y y x y x x x x x x x x
ϕϕψψψϕϕψ∂=-+⋅+⋅-+⋅=---∂∂． 2''''
'''2
3222222111[()]()[()]u y y y y y x x x x x x x x ϕϕψψψ∂=--+⋅-+⋅---+⋅-∂22'''''3432y y y x x x ϕϕψ=++ ''''
111u x y x x x ϕψϕψ∂=⋅+⋅=+∂；2''''''''2211111u y x x x x x
ψψψψ∂=⋅+⋅=+∂； 将22222,,u u u x x y y
∂∂∂∂∂∂∂值代入，即可证得原式成立． 10．设22
(,)z f x y xy =-，f 具有连续偏导数，求
,,z z
dz x y
∂∂∂∂. 解 设22u x y =-，v xy =， 则
''''121222z f x f y xf yf x ∂=⋅+⋅=+∂；''''1212(2)2z
f y f x yf xf y
∂=⋅-+⋅=-+∂； 所以''''1221(2)(2)dz xf yf dx xf yf dy =++-．
11．设()u f xy yz zx =++，其中f 是可微函数，利用全微分形式不变性，求
,,u u u
x y z
∂∂∂∂∂∂.
解
'()u y z f x ∂=+∂，'()u x z f y
∂=+∂，'()u y x f z ∂=+∂，所以 ''()[]du f d xy yz zx f ydx xdy zdy ydz xdz zdx =++=+++++
''''[()()()]()()()f y z dx x z dy y x dz y z f dx x z f dy y x f dz =+++++=+++++.
习 题 8-4
1．设2sin 0x y e xy +-=，求
d d y x
. 解 令2(,)sin x F x y y e xy =+-；
2
x
x F e y =-；cos 2y F y xy =-；2cos 2x
x y F dy y e dx F y xy
-∴=-=
-． 2．设
x z =ln z y ，求z x ∂∂及z
y
∂∂. 解 令(,,)ln x z
F x y z z y
=
-；则 2101x z F z z z x y x F x z z z y
+∂=-=-=∂+--⋅；222()()y z y z z F z z z y y F x z y x z ⋅-⋅∂=-=-=∂++． 3．设(,)x x y z =，(,)y y x z =，(,)z z x y =都是由方程(,,)F x y z =0所确定的具有连续偏导数的
函数，证明：
x y z
y z x
∂∂∂⋅⋅∂∂∂=-1. 解 利用隐函数求偏导公式
y x F x y F ∂=-∂；z y F y z F ∂=-∂；x z F z x F ∂=-∂；()()()1y x z x y z F F F x y z
y z x F F F ∂∂∂∴⋅⋅=---=∂∂∂．
4．设z
e xyz -=0，求22z
x
∂∂.
解 令(,,)z F x y z e xyz =-；x F yz =-，z z F e xy =-；
x z
z F z yz
x F e xy ∂=-=∂-； 2
23222
23
()()
22()()z z z z z z z z y e xy yz e y z
y ze xy z y z e x x x e xy e xy ∂∂⋅
--⋅-∂--∂∂==∂--．
5．设(,)0F y z xy yz ++=，F 具有二阶连续偏导数，求,z z
x y
∂∂∂∂. 解 方程两边对x 求偏导，得
''
1
2()0z z F F y y x x ∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂；整理得'2''
12
yF z x F yF ∂=-∂+； 方程两端对y 求偏导，得
'
'
1
2(1)()0z z F F x z y y y ∂∂⋅++⋅++⋅=∂∂，整理得''12''
12()F x z F z y F yF ++∂=-
∂+． 6．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏函数：
（1）设222222z x y x y ⎧=+⎪⎨+⎪⎩，+3z =20,，求d d y x ，d d z x ；（2）设sin cos u
u
x e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，
,
，求u x ∂∂，v y ∂∂； （3）设222,,
x v u y uv ⎧=-⎨=⎩求,,,u u v v
x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂. （1）解 由方程组可确定一元隐函数组(),()y y x z z x ==；方程两边同时对x 求导
22,22,246023.
dz dy dy dz
x y y x dx dx dx dx
dy dz dy dz x y z y z x dx dx dx dx ⎧⎧=+-=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨
⎨⎪⎪++=+=-⎪⎪⎩⎩在620J yz y =-≠的情况下，解方程组得 (61);2(31)31
dy x z dz x dx y z dx z +=-=++． （2）解 记(,,,)sin u
F x y u v e u v x =+-，(,,,)cos u
G x y u v e u v y =--，则
(sin cos )u J ue v v u =-+，
(,)
sin (,)
F G u v x v ∂=-∂，
1(,)sin (,)(sin cos )1u u F G v x J x v e v v ∂∂∴=-=∂∂-+；1(,)sin (,)[(sin cos )1]
u u
v F G e v y J u y u e v v ∂∂+=-=∂∂-+． （3）解 方程组两边同时对x 求偏导，得
222,1,0,0.v u u v v u u v x x x x v u u v u v v u x x x
x ∂∂∂∂⎧⎧=--+=⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂⇒⎨
⎨∂∂∂∂⎪⎪=++=⎪⎪∂∂∂∂⎩⎩解方程组得 22u u x u v ∂=-∂+，22
v v x u v ∂=∂+． 同理方程组两端同时对y 求偏导数，得
022,0,1,1,v u u v v u u v y y y y v u u v u v v u y y y
y ∂∂∂∂⎧⎧=--+=⎪⎪∂∂∂∂⎪⎪
⇒⎨
⎨∂∂∂∂⎪⎪=++=⎪⎪∂∂∂∂⎩⎩解方程组得 22u v y u v ∂=∂+，22,v u
y u v
∂=∂+． 7．设(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定的函数(,)z f x y =满足
z z
a
b c x y
∂∂+=∂∂. 解 方程组两边同时对x 求偏导得''
'
11
2''12()()0c z z z c a b x x x a b φφφφφ∂∂∂-+-=⇒=
∂∂∂+； 同理，方程两边同时对y 求偏导得''
'
21
2'
'
12
()()0c z z z a c b y y y a b φφφφφ∂∂∂-+-=⇒=∂∂∂+， 所以有''12''''
1212
ac bc z z
a b c x y a b a b φφφφφφ∂∂+=+=∂∂++． 8．设()z f u =，而方程()()d x
y
u u p t t ϕ=+⎰
确定了u 是,x y 的函数，
其中(),()f u u ϕ均可微，()p t 连续且()1u ϕ'≠，证明：
()
()0z z
p y p x x y
∂∂+=∂∂. 证明 因为方程()()x
y
u u p t dt φ=+
⎰
确定了(,)u u x y =，所以方程两端对x 求偏导数，得
''()
()()1()
u u u p x u p x x x x u φφ∂∂∂=⋅+⇒=∂∂∂-； 同理方程两端对y 求偏导数，得
''()
()()()1
u u u p y u p y y y y u φφ∂∂∂=⋅-⇒=∂∂∂-．
由()z f u =得
'''
''()()()()()()1()1()z u p x f u p x f u f u x x u u φφ∂∂=⋅=⋅=
∂∂--． '''
''
()()()()()()()1()1
z u p y f u p y f u f u y y u u φφ∂∂=⋅=⋅=∂∂--． 可以验证 ()
()0z z
p y p x x y
∂∂+=∂∂． 9．设函数()f u 具有二阶连续导数，而(e sin )x
z f y =满足方程22222e x z z
z x y
∂∂+=∂∂，求()f u .
解 由(sin )x z f e y =，不妨设sin x
u e y =，则()z f u =．可求得偏导数为
'()(sin )x z f u e y x ∂=⋅∂，'()(cos )x z f u e y y
∂=⋅∂， 2''2'2()(sin )()(sin )x x z f u e y f u e y x ∂=⋅+∂，2''2'2()(cos )()(sin )x x
z f u e y f u e y y
∂=⋅+-∂， 22''222()x z z
f u e x y
∂∂∴+=∂∂，令''22(),x x f u e ze =再由()z f u =
得''()()0f u f u -=．
解此微分方程得12()u u f u c e c e -=+．这里1c ，2c 是两个任意常数．
习 题 8-5
1．填空题：
（1）{}0,,a b ；
0x a y z
a b
-==． （2）216
27284x y z +--==；2728420x y z +++=． （3）313
131
x y z ++-==；330x y z +++=． 2．求曲线2
2y mx =，2
z m x =-在点0,00(,)x y z 处的切线及法平面方程.
解 曲线方程为2
2,2,.x x y mx z m x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
让方程对x 求导可得切向量{}000000011,
,2,2,(,,)
2m y z mz y x y z y z ⎧⎫
-=-⎨⎬⎩⎭． 所以切线方程为
000
0000
22x x y y z z y z mz y ---==
-； 法平面方程为00000002()2()()0y z x x mz y y y z z -+---=．
3．求椭球面22221x y z ++=上平行于平面20x y z -+=的切平面方程.
解 记2
2
2
(,,)21F x y z x y z =++-，则其法向量为{}{}2,4,22,2,n x y z x y z ==
；
又1n 平行于2n ，所以有
22112
x y z x y ==⇒=--，4z y =-；
代入椭球面方程得2
2
2
(2)2(4)1y y y y -++-=⇒=，
所以切点坐标为⎧⎪±±⎨⎪⎩，
切平面方程为[[2[0x y z ±+±±=． WHY 即
2x y z -+=． 4．求椭球面2
2
2
316x y z ++=上点(-1,-2,3)处切平面与xOy 面的夹角. 解 切平面的法向量为{}
{}6,2,223,2,3(1,2,3)
x y z =----；
xoy 面的法向量为{}0,0,1k =，所以
1212cos n n n n θ=
==
，r ∴=． 5
0)a >上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .
解 设曲面上任一点处的法向量为
12n M ⎧⎫⎧⎫==．
000)))0x x y y z z ---=，即
==，化为截距式有
1
=，所以截距之和为a．why
6．试求曲面1
xyz=上任意点(,,)
a b c处的法线方程及切平面方程，并证明切平面与三坐标面所围成的立体的体积是一个常量.
解设(,,)1
F x y z xyz
=-，则切平面的法向量为{}
,,
n yz xz xy
=．
在点(,,)
a b c处的法向量为{}
,,
n bc ac ab
=，所以曲面1
xyz=在点(,,)
a b c处的切平面方程为
()()()0
bc x a ac y b ab z c
-+-+-=，整理得30
bcx acy abz abc
++-=．
此切平面在三个坐标轴上的截距分别为
1
3
d a
=，
2
3
d b
=，
3
3
d c
=．
所以切平面与三个坐标面所围成得立体体积为
127
333
22
V a b c abc
=⋅⋅⋅=，显然是一个常数．7．证明：曲面
y
z xf
x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在任一点处的切平面都通过原点，其中f具有连续导数.
解设(,,)()
y
F x y z xf z
x
=-，则曲面上点{}
,,
x y z处的法向量为{}
,,
x y z
n F F F
=，其中
''
2
()()()()()
x
y y y y y y
F f xf f f
x x x x x x
=+-=-，''
1
()(),1
y z
y y
F xf f F
x x x
=⋅==-．
所以''
(),,1
y y
n f f f
x x
⎧⎫
=--
⎨⎬
⎩⎭
．曲面在点{}
000
,,
x y z处的切平面方程为
''
0000
000
0000
[()()]()()()()0
y y y y
f f x x f y y z z
x x x x
--+---=，将(,,)(0,0,0)
x y z=代入切平面方程，经验证方程成立，这说明曲面上任一点处的切平面都通过原点．
8．设直线
0,
30
x y b
x ay z
++=
⎧
⎨
+--=
⎩
在平面π上，而平面π与曲面22
z x y
=+相切于点(1,2,5)
-，确定,a b 的值.
解设22
(,,)
F x y z z x y
=--，曲面22
z x y
=+在点(1,2,5)
-处的切平面的法向量可取为{}{}
,,2,2,1
x y z
n F F F x y
==--，将(1,2,5)
-代入，得{}
2,4,1
n=-，所以切平面方程为
2(1)4(2)(5)0
x y z
--+++-=，整理得2450
x y z
-+++=．
由于已知直线在切平面π上，而直线的方向向量为
{}{}{}1,1,01,,11,1,1T a a =⨯-=--，所以有0T n ⋅=，
即{}{}1,1,12,4,10a --⋅-=，可解得5a =-．
下面求b ．由于已知直线在切平面π上，所以若取0y =，得
,330
x b x b z b x z +=⎧⇒=-=--⎨
--=⎩，代入切平面方程中，得2b =-．
习 题 8-6
1．填空题：
（1）x 轴正向．（2）梯度．梯度的模.（3）1+．（4）
{}2
1,2,29
-． 2．求函数ln()z x y =+在抛物线2
4y x =上点(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切
线方向的方向导数.
解 因为偏向x 轴正向，所以为锐角．2
4y x =在点(1,2)处的切线斜率为
21(1,2)
dy dx y ==，故有
111cos sin cos sin 2(1,2)(1,2)44323
f z z l x y x y x y ππθθ∂∂∂=+=+=⨯⨯=
∂∂∂++． 3．设方向l 与x 轴正向的夹角为α，求函数2
2
(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)处沿方向l 的方向导数，并分别确定α的值，使这导数有：
（1）最大值； （2）最小值； （3）等于0.
解 根据方向导数的公式
cos sin f f f
l x y
αα∂∂∂=+∂∂∂有 (21)1(1,1)(1,1)f x x ∂=-=∂，(21)1(1,1)
(1,1)f
y y ∂=-=∂．
所以2
2
(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)处沿l 的方向导数为
cos sin (1,1)
f
l αα∂=+∂．
函数2
2
(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)处的梯度为{}1,1gradf =．
梯度的方向与x 轴正向夹角为4
π，因此函数在(1,1)点沿与x 轴正向夹角4πα=时，其方向导数最大；
当沿梯度的反方向即54πα=时，其方向导数最小；当沿与梯度的方向即34πα=或74
π
α=时，方
向导数为零．
4．求函数222u x y z =++在曲线x t =，2y t =，3
z t =上点(1,1,1)处，沿着曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导数.
解 2
3
,
,x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩
在点(1,1,1)处的切向量为{}{}21,2,31,2,3(1,1,1)t t =，
所以cos α=
cos β=
cos γ=
cos cos cos 22f u u u p p p l x y z αβγ∂∂∂∂=++==∂∂∂∂． 5
．求函数u =
M (1,-1,0)处的梯度.
解
32222()u x x x y z ∂-=∂++，32222()u y y x y z ∂-=∂++，3
2222()
u z
z x y z ∂=∂++， 将点(1, 1.0)M -代入，得函数在点M 处的偏导数分别为
4u x ∂=-∂
，4
u y ∂=
∂，0u
z ∂=∂． 所以函数在点M
处的梯度(1,1,0)gradf ⎧⎫⎪⎪
-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
． 6．函数2
3
u xy z xyz =+-在点P (1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少？ 解
20(1,1,1)u y y z x ∂=-=∂，21(1,1,1)u xy xz y ∂=-=∂，232(1,1,1)u
z xy z
∂=-=∂，
{}0,1,2gradu ∴=，所以向量2j k +的方向即为点p 处u 的方向导数取最大值的方向，最大值为
7．设3
3
3
3u x y z xyz =++-，求（1）哪些点的梯度与z 轴垂直；（2）哪些点的梯度为零. 解 先求函数u 在点{},,x y z 处的梯度．
因为
233u x yz x ∂=-∂，233u y zx y
∂=-∂，233u z xy z ∂=-∂， 所以{}
222
(,,)33,33,33gradu x y z x yz y zx z xy =---．
（1）要使gradu 与z 轴垂直，则{}0,0,10gradu ⋅=，从而2z xy =．即曲面2z xy =上的点的梯度与z 轴垂直．
（2）要使0gradu =这个0是零向量，则必有
22
2330,330,330.x yz y zx x y z z xy ⎧-=⎪-=⇒==⎨⎪-=⎩
．即满足x y z ==的点，其梯度为零．
习 题 8-7
1．求下列函数的极值：
(1) 2
2
4()z x y x y =---； (2) 22
(2)x
z e x y y =++.
（1）解 令 4202x z x x =-=⇒=；4202y z y y =--=⇒=-，又
2xx z =-，0xy z =，2yy z =-，即2A =-，0B =，2C =-．
因为2
0AC B ->，且20A =-<，所以函数有极大值，极大值为
(2,2)4(22)448z -=+--=．
(2)解 令22
212(2)02
x
x
x z e x y y e
x =+++=⇒=
，2(22)01x
y z e y y =+=⇒=-， 又2222(2241)221
(,1)2
x x
xx z e x y y e e =++++⋅=-，
，
因为2
2
22040AC B e e e -=⋅-=>，20A e =>，所以函数有极小值，极小值为2
e z =-
． 2
．说明函数z =(0,0)处的偏导数不存在，但函数在该点处有极大值．
2(44)0
1(,1)2
x xy z e y =+=-2221(,1)2
x yy z e e
==-
解
用定义求z =(0,0)
处的偏导数，设(,)z f x y ==
000(0,0)(0,0)0
(0,0)lim lim lim ,x x h h x f x f f x x x
→→→+-===- 不存在． WHY
000(0,0)(0,0)
(0,0)lim lim lim y y y h y f y f f y y
→→→+-===-
，不存在 但在(0,0)点的一个(0)δδ>邻域内，除去(0,0)点外的任一点(,)x y 处，其函数
值
(,)(0,0)0f x y f =<=，所以由极值的定义，可知函数(,)z f x y =在(0,0)点取得极大
值．
3．证明函数(1)cos y
y
z e x ye =+-有无穷多个极大值点，但无极小值点. 证明 (1)sin ,cos y y y y x y z e x z e x e ye =-+=--，
(1)cos ,sin y y xx xy z e x z e x =-+=-，cos (2)y y yy z e x y e =-+，
令200x y x k z z y π=⎧==⇒⎨
=⎩或(21),
2.
x k y π=+⎧⎨=-⎩
在点2x k π=，0y =处，2A =-，0B =，1C =-，2
0AC B ->，0A <，故有无穷多极大值．
在点(21)x k π=+，2y =-处，211A e =+
，0B =，2
1C e
=-，2
0AC B -<，故没有极小值． 4．求函数z xy =在附加条件1x y +=下的极大值. 解 令(,)(1)F x y xy x y λ=++-，则
0,0,10,x y
F y F x F x y λλλ⎧=+=⎪=+=⎨⎪
=+-=⎩解此方程组得1,21.2
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以函数的极大值为111224z =⨯=． 5．在平面xOy 上求一点，使它到0x =，0y =及2160x y +-=三条直线的距离平方和为最小.
解 设所求点为(,)x y ，则它到三直线的距离分别为x ，y
．
下面求这三距离的平方和22
2
(216)5
x y z x y +-=++．令
22(216)0,542(216)0.5x y z x x y z y x y ⎧=++-=⎪⎪⎨
⎪=++-=⎪⎩解方程组得8,5
16.
5x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
此为唯一驻点，即为所求． 6．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离. 解 设(,,)x y z 是该椭圆上任意一点，它必须同时满足抛物面及平面方程，于是得约束条件
22,1.
z x y x y z ⎧=+⎨
++=⎩
目标函数为d =2222d x y z =++． 构造拉格朗日函数
22
220,220,
20,0,10.x y z L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ⎧=-+=⎪
=-+=⎪⎪
=++=⎨⎪=--=⎪
⎪=++-=⎩
解此方程组得x y ==
2z =± WHY
所以得到两个驻点±，计算两个驻点处的函数值得
22222
2(29d x y z =++=+±=±± WHY
所以1d =
2d =
7．将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周形成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，可使圆柱体的体积最大？
解 设矩形的长为x ，则宽为
222
p x
p x -=-，绕宽边旋转，得圆柱体的体积为 23V px x ππ=-，求V 对x 的导数，并令其等于零2230dV px x dx ππ=-=，得23
p
x =． 宽为233p p p x p -=-=，所以长方形的边长分别为3
p 和23p ，且绕短边旋转体积最大． 8．在椭球面222
2221x y z a b c
++=()0,0,0x y z >>>上找一点，使过该点的切平面与三个坐标面围成
的四面体的体积最小.
解 设222
222(,,)1x y z F x y z a b c
=++-，则切平面法向量为22x x F a =，22y y F b =，22z z F c =，
曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c
-+-+-=． 令0y z ==，有220000222222()0x y z x x a b c
---=．解之得切平面在x 轴上的截距为 22222
00022200
222()2x y z a a x x a b c x =++=． 同理可得切平面在y 轴和z 轴上的截距分别为20b y 和2
c z ，于是四面体的体积为 222222
000000
1122a b c a b c V x y z x y z ==． 要求000(,,)x y z 使得V 最小，即求000(,,)x y z 使得0000002222(,,)x y z G x y z a b c
=最大． 作辅助函数2220000000002222222(,,)(1)x y z x y z L x y z a b c a b c
λ=+++-，得方程组 00022220
0002222000022220222000222220,(1)220,(2)220,(3)1.(4)y z x L x a b c a x z y L y a b c b x y z L z a b c c x y z a b c λλλ∂⎧=+=⎪∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解此方程组得220022x y a b =，同理可得220022y z b c =，代入（4）式得
0x
=0y =
0z =
．。