上海市2023年高中四校联考试卷

一、填空题
1.设复数z 满足()12z i i +=上海市高中2022－2023年高三下3月四校联考
复兴高级中学、奉贤中学、松江二中、金山中学
（i 为虚数单位），则z 的模为______.2.在等差数列{}n a 中，91226a a -=，则数列{}n a 的前11项和11S ＝___．
3.已知向量a 和b 满足()()1,2,2,0a b ==-
，则a 在b 方向上的数量投影为___．
4.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．
5.二项式6
2x ⎛ ⎝
的展开式中，含2
x 的项的系数为___．6.已知圆锥的底面半径为2，底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥的侧面积为___．7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5,7,60a b B ===
，则△ABC 的面积为___．
8.若1x =是函数()()()
3
2211333
f x x a x a a x =
++-+-的极大值点，则a ＝___．9.非空集合A 中所有元素乘积记为()T A ．已知集合{}1,4,5,8M =，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A ，则()T A 为偶数的概率是___（结果用最简分数表示）．10.已知函数()()πsin 20π6f x x x ⎛
⎫=+
≤≤ ⎪⎝
⎭，且()()()1
3
f f αβαβ==≠，则αβ+=___．
11.已知函数2
2,()1,x x a
f x x x x a
+<⎧=⎨
--≥⎩，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是___．
0FA FB FC ++12.已知F 为抛物线y 2
=4x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足
= ，且FA FB FC ≤≤ ，则FC
的取值范围是___．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13.设a R ∈，“21a >”是“3
1a >”的（
）条件．
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既非充分也非必要
14.已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X ，则()E X 为（）
A.
4
3
B.
53
C.2
D.
49
15.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB DC EF ，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a 、b 、c ，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n （如图）．羡除的体积公式为()6
a b c mn V ++=
，
过线段AD ，BC 的中点G ，
H 及直线EF 作该羡除的一个截面α，已知α刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分．若4AB =、2DC =，则EF 的长为（
）
A .
2
B.3
C.4
D.6
16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆Γ：2
219
x y +=上，且其中恰有两个顶
点为Γ的顶点．这样的等腰三角形的个数为（）A.8
B.12
C.16
D.20
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17.如图，AB 是圆柱底面圆的一条直径，2AB =，PA 是圆柱的母
线，3PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点，30ABC ∠= ．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若点E 在PA 上且1
3
EA PA =，求BE 与平面PAC 所成角的大小．
18.已知()a f x x x a =+-，其中R a ∈．（1）判断函数()a y f x =
的奇偶性，并说明理由；
（2）当4a =时，对任意非零实数c ，不等式()1
2a f t c c
≤+均成立，求实数t 的取值范围．
19.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB 和两段长度相等的直线型桥面AD 、BE ，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切．根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度DE 的长要不大于18米，不小于12米．已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设ADO θ∠=．（1）若桥面（线段AD ，BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 万
元，求W 关于θ的函数表达式，并写出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？（角θ的取值精确到0.1 ）
20.如图，已知椭圆22
1:184
x y Γ+=的两个焦点为1F ，2F ，且1F ，2F 的双曲线2Γ的顶点，
双曲线2Γ的一条渐近线方程为y x =-，设P 为该双曲线2Γ上异于顶点的任意一点，直线
1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，且直线1PF 和2PF 与椭圆1Γ的交点分别为A ，B 和C ，D ．
（1）求双曲线2Γ的标准方程；
（2）证明：直线1PF ，2PF 的斜率之积1k ·2k 为定值；
（3）求
AB
CD
的取值范围．21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a ，b ，c 经过第n 次“和扩充”后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ．（1）若1,2,3a b c ===，求2P ，2S ；
（2）设满足2023n P ≥的n 的最小值为0n ，求0n 及03n S ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
（其中[x ]是指不超过x 的最大
整数，如[]1.21=，[]2.63-=-）；
（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{n S }为等比数列？若存在，求,a b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．
一．填空题：1、
【详解】()12z i i +=Q ，()()()
()21211111i i i
z i i i i i i -∴=
==-=+++-，
因此，z ==.
2、
【答案】66【详解】由等差数列的性质可得26912a a a =+，
691226a a a ∴=-=，
()
1116
1161111211662
2
a a a S a +⨯∴=
=
==.3、
【答案】1-【详解】()()1,2,2,0a b ==-
,
a ∴ 在
b 方向上的数量投影为212a b b
⋅-=
=-
.4、【答案】
17
2
【详解】党员人数一共有61098740++++=，
4040%16⨯=，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，
第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是89
8.52
+=.5、
【答案】160
【详解】二项式6
2x ⎛ ⎝
的展开式的通项为(
)64
663
166C 22C r
r r r r r r T x x ---+==，令4
623
r -
=，得3r =，所以含2x 的项的系数为3
3
62C 160=.6、【答案】
83π
3
【详解】如图所示，O 为底面圆心，2OC =，OD AC ⊥，则1OD =，
参考答案
在AOC 中由等面积可知11
22
AC OD AO OC ⋅⋅=⋅⋅，
即2AC AO =，
又因为222AC AO OC =+，即()2
224AO AO =+，则4323
AC AO ==
，则该圆锥的侧面积为14383π
2ππ2233
S AC OC =⋅⋅⋅⋅=⨯⨯=
.7、【答案】
【详解】∵ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5a =，7b =，60B =︒，∴根据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，∴2492510cos 60c c =+-︒，即25240c c --=，∴8c =或3c =-（舍去），
所以△ABC 的面积为113sin 58222
ac B =⨯⨯⨯=.8、
【答案】3-【详解】由已知得()()()
22
2133f x x a x a a '=++-+-，
1x = 是函数()()()
3
2211333
f x x a x a a x =
++-+-的极大值点，()()()
21121330f a a a '∴=++-+-=，
解得2a =或3a =-，
当2a =时，()2
67f x x x '=+-，
令()0f x ¢>，得7<-x 或1x >，令()0f x '<，得71x -<<，此时()f x 的单调增区间为()(),7,1,-∞-+∞，单调减区间为()7,1-，
1x ∴=是函数()f x 的极小值点，不符合，舍去；
当3a =-时，()2
43f x x x =-+'，
令()0f x ¢>，得1x <或3x >，令()0f x '<，得13x <<，此时()f x 的单调增区间为()(),1,3,∞∞-+，单调减区间为()1,3，
1x ∴=是函数()f x 的极大值点，符合；
综上：3a =-.9、【答案】4
5
【解析】
【详解】集合{}1,4,5,8M =的非空子集有42115-=个，若()T A 为奇数，则A 中元素全部为奇数，又{}1,5的非空子集个数，共有2213-=个，所以()T A 为偶数的共有15312-=种，故()T A 为偶数的概率124155
P ==．10、【答案】
4π3
【详解】∵函数()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫
=+
≤≤ ⎪⎝
⎭
，ππ13π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，
()()1
3
f f αβ==
（αβ≠），则由正弦函数的对称性可得：ππ3π
222662
αβ+++=⋅，所以4π3αβ+=
，11、【答案】13,34⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【详解】因为函数2y x =+在定义域R 上单调递增，
函数2
2
15124⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭y x x x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
)b =，即函数()f x 的值域为R 要使对任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0，当1
2
a ≥
时()f x 在(),a +∞上单调递增，在(),a -∞上也单调递增，则只需221
1
2a a a a ⎧+≥--⎪
⎨≥
⎪⎩
，解得132a ≤≤；当12a <时()f x 在(),a +∞上的最小值为54-，则只需要524
1
2a a ⎧
+≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
，解得13142a -
≤<；综上可得1334a -
≤≤，即实数a 的取值范围是13,34⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.12、【答案】()
2,4【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为=1x -，
所以11FA x =+ ，21F x B =+ ，31FC x =+
，
0FA FB FC ++=
，又A 、B 、C 为抛物线上三点，显然三点不完全重合，
∴()()()()1122331,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，1230y y y ++=，
因为10x ≥，20x ≥，所以()31233x x x =-+≤，当且仅当120x x ==时等号成立，当120x x ==时()0,0A 、()0,0B
，此时(3,C ±，显然0FA FB FC ++=
不成立，故等号不成立，
因为FA FB FC ≤≤
，所以123111x x x ≤≤+++，
所以123x x x ≤≤，所以12333x x x x +≤+，即123
313
x x x x +≥
=+，当且仅当
1231x x x ===时等号成立，
当123
1x x x ===时显然0FA FB FC ++=
不成立，故等号不成立，所以313x <<，所以3214x <+<，即24FC <<
，即()2,4FC ∈ .
二．选择题：13、
【答案】B 【详解】因为21a >，则1a >或者1a <-，
因为31a >，则321(1)(1)0a a a a -=-++>，即1a >，则“31a >”可以推出“21a >”，反之不成立，所以“21a >”是“31a >”的必要非充分条件．故选：B .14、
【答案】A 【详解】因为盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球，所以每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为
1
3
，又摸球的过程是有放回的，故14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以()14433
E X =⨯=.故选：A.15、
【答案】B 【详解】因为4AB =、2DC =、////AB DC EF ，G ，H 为线段AD ，BC 的中点，
所以////GH AB CD 且()1
32
GH AB CD =
+=，所以()26
GHCDEF n
EF DC GH m V ++⨯=
，()26
ABHGEF n
EF AB GH m V ++⨯=
，
即()526
GHCDEF n
EF m V +⨯=
，()726
ABHGEF n
EF m V +⨯=
，
因为
5
4
ABHGEF GHCDEF V V =，即()()725
6
4
526
n EF m n EF m +⨯
=
+⨯
，解得3EF =.
故选：B 16、
【答案】D 【详解】因为椭圆的方程为2
219
x y +=，所以12(3,0)(0,1)A B -、，
①如图1连接12A B ，当12A B 为等腰三角形的底时，作12A B 的垂直平分线交椭圆于P Q 、两点，连接1212QA QB PA PB 、、、，
则此时1212QA B PA B 、
为等腰三角形，满足题意；同理当222111A B A B A B 、、为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；②如图2连接12A B ，当12A B 为等腰三角形的腰时，以2B 为圆心，12A B 为半径作圆，则圆的方程为()2
2110x y +-=，
联立()2222
110
19
x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，
解得30x y =⎧⎨=⎩或315414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或315414x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，
即圆与椭圆交于1A M N 、、，连接1212MA MB NA NB 、、、，
则此时1212MA B NA B 、
为等腰三角形，满足题意；
同理当222111A B A B A B 、、为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；③如图3，以2B 为圆心，12B B 为半径作圆，同理可以证明圆与椭圆交于1B S T 、、，连接1212SB SB TB TB 、、、，
则此时1212SB B TB B 、
为等腰三角形，满足题意；
④如图4，以1B 为圆心，12B B 为半径作圆，同理可以作出2个等腰三角形；
⑤因为由于椭圆性质知12A A 为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰；
综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个.故选：D .三．解答题：
17、【答案】（1）证明见解析；（2）15arcsin 5或arccos 5或arctan 2
.【小问1详解】
因为PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，
因为AB 为直径，所以AC
BC ⊥，
因为PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .【小问2详解】
由（1）知，BEC ∠为BE 与平面PAC 所成角．因为3PA =，30ABC ∠=︒，13
EA PA =
所以11,1,22
AE AC AB BC AB ==
===，
由勾股定理得：EC ==，EB ==
所以6tan
2
BC
BEC EC
∠=
=
所以BE 与平面PAC 所成角为6arctan
2
．或15
sin 5
BC BEC EB ∠=
=
，所以BE 与平面PAC 所成角为15arcsin 5．
或cos 5EC BEC EB ∠=
=
所以BE 与平面PAC 所成角为arccos 5
．
所以BE 与平面PAC 所成角为arcsin
5或10arccos 5或6
arctan 2
．18、【答案】（1）判断见解析．（2）[]0,4t ∈【小问1详解】函数()a y f x =
的定义域为R ，
当0a =时，()2a f x x =，
任取x ∈R ，则()22()a a f x x x f x -=-==，所以函数()a y f x =
为偶函数；
当0a ≠时，由()a f a a =，()3a f a a -=，得()()a a f a f a -≠，且()()a a f a f a -≠-，
()a f x x x a =+-为非奇非偶函数．
【小问2详解】
对于任意非零实数c ，根据基本不等式有1
24c c
+≥，所以()4a f t ≤，即4t t a +-≤，因为4a =，所以44t t +-≤，
由三角不等式可得44t t +-≥，当且仅当()40t t ⋅-≤时取等号，实数t 的取值范围为[]0,4t ∈．19、【答案】（1）cos 3.615sin W θθθ=⨯+，1πarcsin ,36θ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦；（2）29.3θ≈ .
【小问1详解】
设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥，,OB BE OC DE ⊥⊥，且
AD BE =，
在OAD △中，3cos tan sin OA AD θ
θθ
=
=，又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧ACB 长为326l θθ=⋅=，
所以20.6 2.5W AD l =⋅⋅+⋅=3cos 20.66 2.5sin θθθ⋅⋅+⋅cos 3.615sin θ
θθ
=⨯+，而3
22sin DE OD θ==⋅，且1218DE ≤≤，所以11sin 32
θ≤≤，显然θ为锐角，
所以1πarcsin ,36
θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，所以W 关于θ的函数关系式为cos 3.615sin W θθθ=⨯+，1πarcsin ,36θ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦；
【小问2详解】因为cos 3.615sin W θθθ=⨯
+，1πarcsin ,36θ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦，
设()cos 3.615sin f θθθθ=⨯
+，则()23.6
15sin f θθ
'=-，
令()0f θ'=得sin 5
θ=
，即61πarcsin arcsin 536θ⎡⎤=∈⎢⎣⎦，
当16arcsin ,arcsin 35θ⎡∈⎪⎢⎪⎣
⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减；
当πarcsin
56θ⎛⎤
∈ ⎥ ⎝⎦
时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增；所以当6
arcsin
29.35
θ=≈ 时，函数()f θ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.20、【答案】（1）22
144
x y -=；
（2）证明见解析；
（3）()1,11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【小问1详解】
设双曲线2Γ的标准方程为22
221(0,0)x y a b a b -=>>，由题意知2a =，且1b a
=，
即2a b ==，
所以双曲线2Γ的标准方程为：22
144
x y
-=；
【小问2详解】
设点()00,P x y ，由题可知()()122,0,2,0F F -，则0102y k x =
+，0
202
y k x =-，
所以2
000122000224
y y y k k x x x =⋅=+--，而由点P 在双曲线上，可知2200144x y -=，即有22
004x y -=，
从而2
2
014
y x =-，故121k k =；【小问3详解】
由上可知121k k =，且1212,,0k k k k ≠≠，且不能同时取1或1-，所以可设直线AB 的方程为()2y k x =+，则直线CD 的方程为()1
2y x k
=
-，
把直线AB 的方程为()2y k x =+代入椭圆方程22184
x y
+=，
整理得(
)()2
2
22128810k
x
k x k +++-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2
122812k
x x k +=-+，()2122
8112k x x k
-=+，因此
)
22112k AB k +=
==+
，同理可得)22
12k CD k
+=
+
，
因此)
22
22
2
2
121212123
2212AB k k k k k D k C +++++===+，又0,1,1k ≠-，所以()()2
0,11,k ∈+∞ ，所以23212k +1130,,222⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2
123
122k ++()1,11,22⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
所以AB CD 的取值范围为()1,11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
21、【答案】（1）29P =，238S =；（2）010n =，03142714n a b S c
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
=++；（3）存在；
【小问1详解】
数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，所以2549P =+=，214352353878S +++++=+=++；【小问2详解】
数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经“和扩充”后的项数为n P ，
则经第1n +次“和扩充”后增加的项数为1n P -，
所以()1121n n n n P P P P +=+-=-，所以()112221n n n P P P +-=-=-，
由（1）得114P -=，{}1n P -是首项为4，公比为2的等比数列，所以1
11422n n n P -+-=⋅=，所以121n n P +=+，
由1
212023n n P +=+≥，即122022n +≥，解得10n ≥，即010n =，
所以033n ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，数列a ，b ，c 经过第1次“和扩充”后得到数列,,,,a a b b b c c ++，且1232S a b c =++，数列a ，b ，c 经过第2次“和扩充”后得到数列,2,,2,,2,,2,a a b a b a b b b c b c b c c ++++++，且21363S S a b c =+++，
数列a ，b ，c 经过第3次“和扩充”后得到数列
,3,2,32,,a a b a b a b a b ++++23,2,3,
a b a b a b +++,3,2,32,,23,2,3,b b c b c b c b c b c b c b c c +++++++，且329189S S a b c =+++，
即
033142714n S S a b c
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
==++；
【小问3详解】
因为1232S a b c =++，()2132S S a b c =+++，()2
3232S S a b c =+++，L ，
()1132n n n S S a b c --=+++，
所以，()(
)
1231
3333
2n n S S a b c -=++++++ ()()1
312322133
n a b c a b c --=+++++⋅
-322
n
a c a c
b ++⎛⎫=+⋅+
⎪⎝⎭，若使n S 为等比数列，则0202a c a c b +⎧=⎪⎪⎨+⎪+≠⎪⎩或02
02a c b a c +⎧
+=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，
即00a c b +=⎧⎨≠⎩或20
0b a c b ++=⎧⎨≠⎩
，
综上，存在实数a ，b ，c ，满足00a c b +=⎧⎨≠⎩或200
b a
c b ++=⎧⎨≠⎩，使得数列{n S }为等比数列．。