高中数学 第2章 平面向量 2.1 向量的概念及表示达标训练 苏教版必修4(2021年整理)

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4
基础·巩固
1.下列物理量中，不是向量的有( )
①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功
A。

1个 B.2个 C。

3个 D.4个
思路解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量，而质量、路程、密度和功只有大小而没有方向,所以不是向量。

答案:D
2.下列说法中正确的有__________________个.（ )
①零向量是没有方向的向量②零向量与任意向量共线
③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线
A。

0 B.1 C。

2 D。

3
思路解析：由零向量的定义和性质知只有②③是正确的.
答案：C
3.若向量a与b不相等，则a与b（）
A。

不共线 B.长度不相等
C。

不可能都是单位向量 D.不可能都是零向量
思路解析：两个向量相等则方向相同长度相等，而不相等向量可能是方向不同也可能是长度不等.故应选择D.
答案：D
4.汽车以100千米/时的速度向东走了2小时，摩托车以10千米/时的速度向南走了2小时，则下列命题中正确的是( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B。

汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D。

以上都不对
思路解析：速度、位移都是向量，由于汽车、摩托车行走的方向不同，它们的位移和速度不能比较大小.路程不是向量是可以比较大小的.汽车所走的路程为200千米，摩托车所走的路程为20千米,故应选择C。

答案：C
5.若命题p：a=b,命题q:｜a｜=｜b｜，则p是q的_________________________条件。

思路解析：相等的向量长度相等，反过来长度相等的向量方向不一定相同，则不一定是相等向量。

所以p是q的充分不必要条件.
答案：充分不必要
6。

已知a与b是两个共线的非零向量，若非零向量c∥a，则c与b必定_________________.思路解析：非零向量可以用有向线段表示，当两个非零向量平行时，表示它们的有向线段平行或在同一条直线上.因此,若非零向量c∥a,则必有c∥b.
答案:c∥b
7。

不相等的两个向量有可能是平行向量吗？若不是，请说明理由；若有可能，请把各种可能情形一一列出.
思路分析：本题主要利用平行向量的概念和分类讨论思想，解题时要把符合条件的所有情况想到，做到不漏也不重。

解：不相等的向量有可能平行.有如下三种情况:
情况1：两个向量中有一个是零向量，而另一个是非零向量；
情况2:两个向量都是非零向量且方向相同；
情况3:两个向量都是非零向量且方向相反。

8.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，
图2-1-4
(1)写出与共线的向量；
（2)写出与EF 的模大小相等的向量；
（3)写出与相等的向量。

思路分析：利用三角形中位线位置解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量、相等的向量.
解：（1）∵E、F 分别是AC 、AB 的中点,
∴EF∥BC 且EF=2
1BC 。

又∵D 是BC 的中点，∴与共线的向量有：FE ，BD ，DB ，DC ,CD ,BC ,CB 。

（2）与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有,.
综合·应用
9.下列四个命题：
①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共四个点在同一条直线上；
②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点；
③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的；
④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB 与CD 、BC 与AD 分别是共线向量.
其中正确命题的个数是( ）
A.1 B。

2 C.3 D。

4
思路解析:根据向量的有关概念分析①②③均不正确,只有④是正确的。

答案：A
10。

下列命题中为真命题的有（）
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
②温度有零上温度与零下温度之分，因此温度也是向量
③方向为南偏西60°的向量和北偏东60°的向量是共线向量
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量
A。

1个 B。

2个 C。

3个 D.4个
思路解析：①是真命题，作用力与反作用力是一对大小相同方向相反的向量，因而它们是共线向量.
②是假命题,因为零上零下并不代表方向.
③是真命题,南偏西60°的向量和北偏东60°的向量恰好是方向相反的向量,所以它们是共线向量.
④是假命题,因为x轴和y轴虽然有方向,但没长度,故它们不是向量。

答案:B
11.如右图，点D、E、F是△ABC三边上的点，且不与三个顶点重合，EA
DF=.
求证:△BDE∽△DCF.
图2-1—5
思路分析：由=可得出四边形AEDF是平行四边形，所以AC∥DE.
证明：∵=，∴DF∥EA，且DF=EA.∴四边形AEDF是平行四边形.
∴AC∥DE。

∴由DF∥EA,可得∠FDC=∠B；
由AC∥DE，得∠C=∠BDE。

∴△BDE∽△DCF。

回顾·展望
12。

(2006高考模拟)已知两个非零向量a与b，则a≠b是|a|≠|b｜或a与b方向不同的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C。

充要条件 D。

既不充分也不必要条件
思路解析：若｜a｜≠|b|或a与b方向不同，则必有a≠b，若a≠b，不一定有|a｜≠|b|或a 与b方向不同成立，所以应选B。

答案：B
13.(2005高考模拟)下列各命题：
①向量与向量的长度相等；
②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB与向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。

其中假命题的个数为( ）
A.2
B.3 C。

4 D.5
思路解析:①是真命题；②是假命题,当a与b中有一个是零向量时,其方向是不确定的；③是真命题；④是假命题,终点相同不能说明两个向量方向相同或相反;⑤是假命题，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；⑥是假命题，有向线段可以用来表示向量,但向量不是有向线段.
答案：C。