2016-2017年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高二(下)期中数学试卷和答案

2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高二（下）期中数
学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1．（4分）p＞0是抛物线y2=2px的焦点落在x轴上的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（4分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）
A．y=sin x B．y=sin2x C．y=tan2x D．y=cos2x 3．（4分）函数f（x）=xlnx﹣1的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．（4分）若{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．117B．114C．111D．108
5．（4分）已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥n，m⊥β，则n∥β6．（4分）设变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为（）A．4B．8C．﹣2D．﹣8
7．（4分）将函数y=sin x cos x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（）
A．y=cos2x B．y=sin2x
C．D．
8．（4分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）
A．B．
C．D．
9．（4分）双曲线﹣=1（b＞a＞0）与圆x2+y2=（c﹣）2无交点，c2=a2+b2，
则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A．（1，）B．（，）C．、（，2）D．（，2）10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）
A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}
D．{t|2}
二．填空题：本大题共7小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分满分36分. 11．（6分）已知集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}，则A∪B=，∁B A 的子集个数是．
12．（6分）已知F1，F2是椭圆C：=1的左、右焦点，直线l经过F2与
椭圆C交于A，B，则△ABF1的周长是，椭圆C的离心率是．13．（6分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最小边长为，外接圆的面积为．
14．（6分）已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是，其全面积是．
15．（4分）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．
16．（4分）已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则不等式g（x）＞h（0）的解集是．
17．（4分）设实数a＞﹣1，b＞0，且满足ab+a+b=1，则的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
18．（14分）设函数f（x）=x+1（ω＞0）直线y=2与函数f （x）图象相邻两交点的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=2，a+c=6，求△ABC面积．19．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，P A=3，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面P AB；
（2）设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，求cosθ的值．
20．（15分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+1（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，求a的取值集合．21．（15分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，且满足△POQ的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22．（15分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有S n，S n+2，S n+1成等差数列；
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b n=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．
2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高二（下）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1．（4分）p＞0是抛物线y2=2px的焦点落在x轴上的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：p＞0⇒抛物线y2=2px的焦点落在x轴上，反之不成立，例如取p=﹣1，则抛物线的焦点在x轴上．
故选：A．
2．（4分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）
A．y=sin x B．y=sin2x C．y=tan2x D．y=cos2x
【解答】解：∵y=sin x的周期T=2π，y=tan2x的周期T=，可排除A，C；
又∵cos（﹣x）=cos x，∴y=cos x为偶函数，可排除D；
y=sin2x的周期T=π，sin（﹣2x）=﹣sin2x，∴y=sin2x为奇函数，∴B正确；
故选：B．
3．（4分）函数f（x）=xlnx﹣1的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【解答】解：∵f（1）=﹣1＜0，f（2）=2ln2﹣1=ln＞0，
∴函数f（x）=xlnx﹣1的零点所在区间是（1，2）．
故选：B．
4．（4分）若{a n}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．117B．114C．111D．108
【解答】解：由等差数列的性质可得，a2+a5+a8=3a5=39
∴a5=13
∴a1+a2+…+a9=9a5=9×13=117
故选：A．
5．（4分）已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内
故选：C．
6．（4分）设变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值为（）
A．4B．8C．﹣2D．﹣8
【解答】解：由z=x﹣3y，得z=x﹣3y，
即y=x﹣，
作出不等式组：，
对应的平面区域如图平移直线
y=x，
当直线经过点A时，
直线y=x的截距最大，
此时z最小，
由得A（﹣2，2）．
代入z=x﹣3y得z=﹣2﹣3×2=﹣8，
∴z的最小值为﹣8．
故选：D．
7．（4分）将函数y=sin x cos x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（）
A．y=cos2x B．y=sin2x
C．D．
【解答】解：函数y=sin x cos x=sin2x的图象向左平移个单位得y=sin（2x+），
再向上平移个单位得y=sin（2x+）+=+cos2x=cos2x．
故选：A．
8．（4分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数
则f（﹣x）+f（x）=0
即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0
则k=1
又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选：C．
9．（4分）双曲线﹣=1（b＞a＞0）与圆x2+y2=（c﹣）2无交点，c2=a2+b2，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A．（1，）B．（，）C．、（，2）D．（，2）【解答】解：∵b＞a＞0，∴
∵双曲线与圆无交点，∴
∴
∴4c2﹣8ac+4a2＜c2﹣a2
∴3c2﹣8ac+5a2＜0
∴3e2﹣8e+5＜0
∴
∴
故选：B．
10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）
A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}
D．{t|2}
【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，
∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线
∴平面A1MN∥平面D1AE，
由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．
设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ
运动点F并加以观察，可得
当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成
角θ达到最小值，满足tanθ==2；
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ=
=2
∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]
故选：D．
二．填空题：本大题共7小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分满分36分. 11．（6分）已知集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}，则A∪B={﹣1，0，
1}，∁B A的子集个数是2．
【解答】解：∵集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}={0，﹣1，1}，
∴A∪B={﹣1，0，1}，
∁B A={﹣1}，
∴∁B A的子集个数是2．
故答案为：{﹣1，0，1}，2．
12．（6分）已知F1，F2是椭圆C：=1的左、右焦点，直线l经过F2与
椭圆C交于A，B，则△ABF1的周长是8，椭圆C的离心率是．【解答】解：根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=4，并且|BF1|+|BF2|=2a=4，
又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，
所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8．
a=2，b=，c=1，所以椭圆的离心率为：．
故答案为：8；．
13．（6分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最小边长为
，外接圆的面积为25π．
【解答】解：根据题意，在△ABC中，B=135°，C=15°，则A=180°﹣135°﹣15°=30°，
则有B＞A＞C，则c为最小边，
由正弦定理可得：c===，外接圆的半径R==
=5，
可得：外接圆的面积S=πR2=25π．
故答案为：，25π．
14．（6分）已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积
是，其全面积是16++．
【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，
且底面四边形是矩形，边长分别为4和2，高为，如图所示；
所以该四棱锥的体积为
V四棱锥=×4×2×=；
其全面积为S=2×4+2××2×4+×2×+×2×=16++．
故答案为：，16++．
15．（4分）若两个非零向量满足，则向量与的
夹角是．
【解答】解：由已知得．化简①得=0，
再化简②可得=3．
令=，=，==，则由=0以及=3，
可得四边形OACB为矩形，∠AOC即为向量与的夹角．
令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠AOC==，
∴∠AOC=，
故答案为．
16．（4分）已知函数f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+，+∞）．【解答】解：根据题意，f（x）=2x且f（x）=g（x）+h（x），即g（x）+h（x）=2x，①
则有f（﹣x）=g（﹣x）+h（﹣x）=2﹣x，
又由g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（﹣x）=﹣g（x）+h（x）=2﹣x，②联立①②，解可得h（x）=（2x+2﹣x），g（x）=（2x﹣2﹣x），
不等式g（x）＞h（0）即（2x﹣2﹣x）＞（20+2﹣0）=1，
即2x﹣2﹣x＞2，
解可得2x＞1+，
则有x＞log2（1+），
即不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+，+∞）；
故答案为：（1+，+∞）．
17．（4分）设实数a＞﹣1，b＞0，且满足ab+a+b=1，则的最大值为6﹣4．
【解答】解：∵a＞﹣1，b＞0，且满足ab+a+b=1，
∴（a+1）b=1﹣a，∴b=，
由b=＞0可得﹣1＜a＜1，
∴==
=
=﹣（a+3）﹣+6
=﹣[（a+3）+]+6
≤﹣2+6=6﹣4
当且仅当（a+3）=即a=3﹣2时取等号，
∵a=3﹣2满足﹣1＜a＜1，
∴的最大值为：6﹣4
故答案为：6﹣4．
三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
18．（14分）设函数f（x）=x+1（ω＞0）直线y=2与函数f （x）图象相邻两交点的距离为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=2，a+c=6，求△ABC面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）f（x）=sinωx﹣2cos2+1=sinωx﹣（1+cosωx）+1
=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣），…（2分）
∵直线y=2与函数f（x）的图象相邻两交点的距离为π，
∴周期T=π=，解得ω=2，…（4分）
∴f（x）=2sin（2x﹣），…（6分）
（2）∵点是函数y=f（x）图象的一个对称中心，
∴2×﹣=kπ（k∈Z），则B=2kπ+，（k∈Z），
由0＜B＜π，得B=，…（8分）
∵b=2，a+c=6，
∴由余弦定理可得：12=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=36﹣3ac，解得：ac=8，…（10分）
∴S
=ac sin B==2．…（12分）
△ABC
19．（15分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，△ABC是正三角形，AB=4，P A=3，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥平面P AB；
（2）设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，求cosθ的值．
【解答】（本题15分）
（Ⅰ）证明：因为P A⊥底面ABC，
所以P A⊥CM．…（3分）
因为△ABC是正三角形，
M是AB的中点，所以CM⊥AB．…（6分）
所以，CM⊥平面P AB．…（7分）
（Ⅱ）解：以M为原点，MC为x轴，MB为y轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图．
，=（2，2，0）．
设=（x，y，z）是平面APC的法向量，
则，取x=1，得=（1，﹣，0）．…（10分）
，．
设是平面BPC的法向量，
则，取a=，得．…（13分）
故cosθ=|cos＜＞|==．…（15分）
20．（15分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+1（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）在x∈[1，4]上的最值；
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，求a的取值集合．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2﹣4x+1的对称轴为x=2∈[1，4]，
当x=2时f（x）min=f（2）=﹣3；…（4分）
当x=4时f（x）max=f（4）=1；…（7分）
（2）当x∈[1，4]时，不等式f（x）≥x﹣3恒成立，∵f（x）≥x﹣3⇒x2﹣2ax ﹣x+4≥0，
∵x∈[1，4]，∴x＞0，∴，…（10分）
∵在x∈[1，2]上递减，在x∈[2，4]上递增，∴x=2时取得最小值为4，…
（13分）
∴，∴，
故a的取值集合为…（15分）
注：利用二次函数图象进行分类讨论，可参照上述予以分步给分即可．21．（15分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离
为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，且满足△POQ的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设F2（c，0）（c＞0），由得，，∴b=c，
∵，直线
即，
∵，∴
即所求椭圆的方程为．…（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
代入椭圆方程得：（1+2k2）x﹣4k2x+2k2﹣2=0，
k2…（8分）
点O到直线l的距离…（10分）
，解得k2=1，∴k=±1…（12分）
所以，直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0
当直线l垂直于x轴时，，不符合…（14分）所以，所求直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．…（15分）
22．（15分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有S n，S n+2，S n+1成等差数列；
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b n=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2
≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，
∵对于任意的n∈N+有S n，S n+2，S n+1成等差，
∴2．
整理得：．
∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．
∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．
又，
把q=代入后可得．
所以，；
（Ⅱ）∵b n=n，，∴，
∴．
．
∴=
∴．
若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，
则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，
也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）•（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，
∴m≥对于n≥2恒成立，
令，
∵=
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．
∴m．
所以，（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．。