浅谈折叠问题

怎样解“折叠型”问题
中国人民大学附属中学吴建兵
折叠型问题，就是把某个图形按照给定的条件折叠，进而作图、计算或证明．这类问题在义教教材的练习题中多次出现过，也在近年中考数学试题和数学竞赛试题中经常出现． 解折叠型问题的关键是掌握好轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2)两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线．还要综合运用三角形、全等形、相似形、四边形和圆的基本知识，注意隐含的位置关系(折叠后的位置)和数量关系，适当添加辅助线，有时还要借助运用方程的思想进行计算．现举例说明．
例1 如图1，把矩形纸片ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C＇的位置上．已知AB=3，BC=4．
(1)标出点C＇的位置； (2)求重合部分的面积．
解 (1)作点C关于直线BD的对称点C＇．
(2)连结BC＇交AD于E，连结DC＇． 则 △BCD≌△BC＇D．于是有
BC=BC＇=4，DC＇=DC=3．　
作OE⊥BD，垂足为O．∵AD∥BC， ∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，
例2 如图2，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG．若AB=2，BC=1．求AG．
解 过G作GA＇⊥BD于A＇．由对称性可知，DA＇=DA=1，
设 AG＇=AG=x， 则 BG=2-x．A＇B2+A＇G2=BG2．
例3 如图3，有一块面积为1的正方形纸ABCD，M、N分别为AD、BC边中点．将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ．
(1)求MP；
(1)解 连结CP、BP．由对称性知，BP=BC．又MN⊥BC，BN=CN，
∴ BP=PC． 即 BP=PC=BC=1．
(2)证明 ∵BP=PC=BC=1，
∠PBQ＝∠CBQ＝30°，∠BPQ＝∠BCQ＝90°，
∴ 以PQ为边长的正方形的面积为　
想一想：如果正方形的面积为a2，求MP和以PQ为边长的正方形的面积．
例4 如图4，已知等边三角形的边长为a，D是BC边上的一点，且BD∶DC=2∶3，把△ABC向下折叠，使点A落在点D处．
解 (1)连结AD，作AD的垂直平分线分别交AB、AC于M、N点，连结DM、DN．则△AMN和△DMN关于直线MN对称．
∴ AM=DM，AN=DN， ∠MAN=∠MND=60°，
又∵∠2+∠3=120°，∠1+∠3=120°， ∴ ∠1=∠2．
又∠B=∠C=60°，
∵ AB=BC=a，BD∶DC=2∶3，
设 AM=x，AN=y， 则 BM=a-x，CN=a-y，
求此矩形ABCD的长和宽?(长宽分别为10,8)．
浅谈折叠问题
安徽庐江县马厂中学束仁武
折叠问题在义务教材几何课本一出现，就在各地中考题及竞赛试题中流行起来．本文对折叠问题加以讨论，归纳其性质，探究其解法，总结其应用．以供同学们学习时参考．
性质1 折叠矩形一边，使矩形一顶点在矩形另一边上，当折叠矩形长时，则重合部分是两个全等直角三角形，且余下两直角三角形相似；当折叠矩形宽时，则重合部分展开为正方形．
性质2 以对角线为折痕翻折矩形，则重合部分为两个全等等腰三角形．
性质3 折叠矩形使其对角顶点重合，则重合部分展开为菱形．
证明 从略．详见例题求解过程中．
例1 如图1，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB ＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．(义务教材·几何·第二册118页B组第3题)．
解 ∵折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，
∴ AF=AD，EF=DE，AE公用， ∴ Rt△AFE≌Rt△ADE．
又∵∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3＝90°， ∴ ∠1＝∠3，
∴Rt△ABF∽Rt△FCE． 在Rt△ABF中，
AF＝AD＝10，AB=8， ∴BF=6，FC＝4．
例2 把一张长方形纸片如图2折一下后，可以裁去一个正方形，剩下一个小长方形，如果要使得小长方形与原长方形相似．问原长方形的长与宽的比应是多少？(96年安徽省中考试题)
解 如图2折叠，易知Rt△ABE≌Rt△AFE， ∴AB=AF．
∵ ∠B=90°，∠BAF＝∠F=∠BEF=90°，
∴ 四边形ABEF为正方形． ∵
ECDF∽
ABCD，
设AB＝b，BC＝a， 则 CE＝a－b，
例3 如图3，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形折叠，使B 点与D重合，则折痕EF的长为多少厘米？(96年济南市中考题)
解 ∵将矩形ABCD折叠，使B点与D重合，
∴ ED=BE，DF=BF，∠EDF=∠EBF， ∵ AD∥BC，∠1＝∠2，
∴∠DFE＝∠BEF， ∴ DF∥BE．　∴四边形DEBF为菱形，
EF⊥BD．
在Rt△BOE中，
把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB，BC的长．(94年北京市中考题)
解 由折叠性质1得 Rt△BCE≌Rt△FCE，
设BE=5x，则EA=3x，CD＝8x，EF=5x， ∴ AF=4x；
又知Rt△AEF∽Rt△DFC，
∴ FC＝10x， ∴ BC＝10x．
∵ BE2+BC2=EC2，
∴ x=3． ∴ AB＝24，BC＝30．
例5 如图5，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xoy中，使OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连结AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，如果CE＝5，OC，OE的长是关于x的方程x2＋(m－1)x＋12＝0的两个根．并且OC＞OE．求点D的坐标．(97年北京市中考题)
由折叠性质2知△CEA为等腰三角形．
∴CE=AE，Rt△ADE≌Rt△CDE． ∴ AE＝5，AD＝OC＝4，DE＝3．
解 略．
例6 如图6，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分△AEF的面积．(97年北京市中学生数学竞赛初赛试题(初二年级))
解 设BE=x，则CE＝4－x．
由折叠性质3知，四边形AECF为菱形．
∴ AE=EC＝4－x， 过F作FG⊥BC，
∴ EG＝CE－CG ＝CE-BE＝4－2x
∵ EF2=FG2＋EG2，FG＝3，
又∵AB=3，BC＝4， ∴AC＝5．
总之，在解决有关折叠问题时，要充分利用其性质，抓住重合(叠)这个关键，可使这类试题迎刃而解．
折叠类几何题的解法
安徽省凤阳县临淮中学郭茂华
关于折叠的几何问题．这是中考试卷中几何命题的新题型，不少考生感到无从下手．其实，解决此类问题的关键是：确定折痕．然后准确地找出有关三角形，并灵活地运用有关知识，从而使问题得以解决，下面举两例加以说明，供同学们参考．
(1)求AB、BC的长各是多少？
(2)若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，求⊙O的面积．
解1 如图2，因为△PCE是由△BCE翻折得到的，故
Rt△BCE≌△FCE．
设BE=5x，则EA=3x，CD=8x，EF=5x．
由勾股定理得 AF=4x． 又∵ ∠AFE＋∠DFC=90°， ∠AFE+∠AEF=90°， ∴ ∠AEF=∠DFC，
∵ ∠A=∠D=90°， ∴ Rt△AEF∽Rt△DFC．
∴ FC=10x． ∴ BC=10x．
又∵ BE2＋BC2=EC2，
∴ x=3．
从而AB=24，BC=30．
(2)略 S⊙O=100π．
连结BM、OB，由题意知BOME是菱形，BM⊥EF．
又容易证明△BGE∽△BAM．
化简并解之得x=3． 从而 AD=2x=6．
最后，请同学们完成下面两道题：
1．有一块直角三角形纸片ABC，∠A=90°，∠B=60°，∠B的平分线BD交AC于D，已知AB=3，将此纸片折叠，使点B落到点D上，求此时折痕的长．
折叠型中考题
浙江省临海市五中　洪方日
近几年来，各地的中考试题中常出现与折纸问题有关的综合题．这类问题融直观性与逻辑性于一体，题型新颖．求解此类问题必须注意轴对称的特殊性质，充分利用这类问题所特有的可实验操作特点．本文试图以近两年中考题为例，对其解法作简要的说明．
1．求折痕或其他线段的长
这类问题的求解思路是，先根据折叠的性质，设法把未知线段和己知线段转化到一个直角三角形中，然后利用勾股定理达到解题目的． 例1 如图 1．矩形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 [ ]
解 如图2，由于折叠后，点D与B重合，则ED=EB．
设DE=x，则AE＝9-x．
在Rt△ABE中，(9-x)2+32=x2，解得x=5，从点E作EG⊥BC于G，
易证四边形ABGE是矩形．所以EG=AB=3．BG=AE＝9-5＝4．
又易证△BAE≌△BC＇F，所以BF＝BE＝5，
2．求两线段的比
这类问题中，若两线段长不易求出时，先根据折叠性质设法求出角相等，然后利用相似三角形的性质或三解函数列出比例式求出比值．
例2 如图3，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是 [ ]
A．5∶12． B．5∶13．
D．15∶19． D．5∶21．
(97年哈尔滨)
解 由勾股定理得
由顶点A沿PQ折叠至点E，得
AM=EM=6.5，∠AMP=90°=∠D．
从点Q作QF⊥AD于点F，易证△AMP∽
又易证△ADE≌△QFP，所以PQ=AE=13，
3．求面积
这类问题的解题思路是，先求出有关的线段，然后根据所求图形的特点直接求出面积或先求出整体和其他部分的面积，再利用整体减去其他部分得出所求面积．
例3 如图4，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C折过来，使它落在AB上的C＇点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是____．(98年台州市)
解 由折叠知C＇E=CE，C＇D=CD．
设AC＇=x，CE=y，则
BE=3-y，BC＇=5-x，
由勾股定理得 x2+32=52，
(5-x)2＋(3－4y)2=y2，
或由轴对称性质，得
4．证明
这类问题先利用折叠性质探求证明思路，然后综合运用代数、几何的相关知识达到证明目的．
例4 课本上，在“三角形内角和”这节开头有这样一段叙述：“在小学里，我们曾象如图5那样折叠一个三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，得到‘三角形内角和等于180°’的结论”．现在我们问：折痕EF是三角形的什么线？为什么这样做可以把三角形的三个角拼在一起，试证明之．(97年安徽)
证 如图6，EF是△ABC的中位线．因为三角形中位线也等分BC边上的高，所以以EF为折痕时，A点一定重合于BC边上的A1点(即高与底边交点)．所以∠EA1F=∠A， 又 A1F=AF=CF，
所以 ∠FA1C＝∠C， 同理得 ∠EA1B=∠B，
故∠A、∠B、∠C可以拼在一起．
练习
1．如图7，有一面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ．
(1)求MP的长；
(96年宁夏) 2．如图8，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D＇处，则重叠部分△AFC的面积为____．(98年山东数竞)
3．如图9，已知等边△ABC，D是BC边上一点，把△ABC折叠，使点A 落在D处，折痕为MN．
一道折叠题的变化
安徽肥西师范学校万家练
初中几何(二)P118上有一道题：
如图1，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
求解这道题不难．如果我们将求解问题转移到求析痕AE长上，并变化折叠的方法，就会得到一些有趣的问题．求解这些问题不仅能很好地巩固轴对称图形和直角三角形的知识，而且能开阔思路．
变化一 如图2，折叠图1的长方形，使D点和BC的中点D＇重合，求折叠痕M1N1的长．
变化二 如图3，折叠图1的长方形，使D点和B点重合，求折痕M2N2的长．
变化三 如图4，折叠图1的长方形，使D点和AB的中点D＂重合，求折痕M3N3的长．
“折叠图形上重合的两点连线被折痕垂直平分”是解折叠问题的关键．
解一 在图2中，连结M1D＇，N1D＇，过M1作BC的垂线，垂足为H． 设DN1=x，因M1D=M1D＇，DN1=D＇N1，
又令DM1=y，则
HD＇＝HC-D＇C=M1D-D＇C＝y-5．
由M1D＇2=M1H2＋HD＇2
得y2=(y-5)2＋64，解得y=8.9．
解二 在图3中，连结DN2，BM2，设M2N2与BD相交于O．
又设BN2=x，则DN2=x，N2C=BC-BN2=10-x．
容易证明△M2OD≌△N2OB，
即 M2O=ON2，M2N2=2ON2，
解三 在图4中，连结D＂M3，DN3，D＂N3，过M3作BC的垂线，垂足为H，设DM3=x，则AM3=10-x，AD＂=4．
又令BN3=y，
请同学们再想一想，找一些折叠方法，并试求折痕的长．。