2020-2021学年无锡市梁溪区江南中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年无锡市梁溪区江南中学九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.若关于x的方程ax2−4x−1=0是一元二次方程，则a满足的条件是()
A. a>0
B. a≠0
C. a<0
D. a≠4
2.对于方程：3x+2y=4，下列说法正确的是()
A. 无正数解
B. 只有一组正数解
C. 无正整数解
D. 只有一组正整数解
3.方程x2−2x−3=0的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根
D. 没有实数根
4. 5.已知⊙O中，，则弦AB和2CD的大小关系是()
A. AB>2CD
B. AB=2CD
C. AB<2CD
D. 不能确定
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径
为3cm，则CD弦长为()
A. 3
2
cm
B. 3
2
√3cm
C. 3√3cm
D. 6cm
6.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，连接AE，BD交于点F，
则下列结论中正确的是()
A. DF
DB =1
2
B. CD+CE+DE
AC+BC+AB =1
4
C. S△AFB
S△ADB =1
2
D. S△DEF
S△ADF =1
2
7.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，
同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部
分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为()
A. 6.93米
B. 8米
C. 11.8米
D. 12米
8.如图，DE//GF，A在DE上，C在GF上，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=62°，其中∠EAC=80°，则∠BCG度数为()
A. 20°
B. 21°
C. 22°
D.
23°
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9.已知a
b =2
3
，则a+b
3a−b
=______．
10.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD<BC，∠ABC=90°，且AB=3，
点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则
AE=______．
11.一元二次方程x2=5x的根______ ．
12.某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元．设平均每次降价的百分率为
x，则可以列出的一元二次方程是______．
13.如图，边长为2的正方形ABCD，以AB为直径作⊙O，CF与⊙O相切于
点E，与AD
交于点F，则△CDF的面积为______．
14.如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB⏜=CD⏜，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ACB的度数为______．
15.如图，等边△ABC中，D，E分别是AB、BC边上的一点，且AE=BD，则∠DPC=______°.
16.如图一长为20m，宽为10m的矩形地面上要修建三条宽度相等的小道，剩余
的地方种植花草绿化，若要使绿化面积为128m2，则小道进出口的宽度应为
______米．
17.如图，梯形ABCD中，AD//BC//EF，AE：EB=2：3，AD=12，
则BC=18，则EF=______ ．
18.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，点E是射线AB上一动点，把△ADE沿直线DE折叠，
其中点A的对应点为点A′，连接A′C，若△A′CD为直角三角形，则AE=______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19.(1)解方程：x(x−3)+x=3；
(2)解不等式组：{6−2x≤0
x−1
2
−1<2x−4
3
．
20.问题1如图①点A、B、C在⊙O上，且∠ABC=120°，⊙O的半径是3.求AC⏜的长．
问题2如图②点A、B、C、D在⊙O上，且AD⏜=BC⏜，E是AB的延长线上的BE=1
2AB，EF=1
3
CE．
(1)设BD=n⋅BF，则n=______；
(2)如图③若G是线段BD上的一个点，且GB
DG =1
2
.试探究，在⊙O上是否存在点P(B除外)使PG=PF？
为什么？
21.利用网格画图：
(1)在AC上找一点P，使点P到AB和BC的距离相等；
(2)在射线BP上找一点Q，使QA=QC．
22.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在DB和BD的延长线上，且BE=DF，连接CE、CF、AF．
(1)求证：AF=CE；
(2)若AD⊥BD，∠BAD=60°，AD=2√3，BE=1，求△CEF的面积．
23.如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去
一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一
个无盖的方盒，若方盒的底面积(图中阴影部分)是32cm2，求剪
去的小正方形的边长．
24.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)若AC=2√5，CD=2，求⊙O的直径．
25.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD//BC
交AB边于点D．
(1)如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP′D，作AE//PD.求证：AE=ED；
(2)将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP′D′，点P、D的对应点分别为点P′、D′，
①如图2，当点D′在△ABC内部时，连接P′C和D′B，求证：△AP′C∽△AD′B；
②如果AP：PC=5：1，连接DD′，且DD′=√2AD，那么请直接写出点D′到直线BC的距离．
参考答案及解析
1.答案：B
解析：解：∵关于x的方程ax2−4x−1=0是一元二次方程，
∴a满足的条件是：a≠0．
故选：B．
根据只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.答案：C
解析：解：∵3x+2y=4，
∴y=4−3x
2=2−3
2
x，
当x=2
3
时，y=1；
当x=1时，y=1
2
；
当x=2时，y=−1；
∴原方程无正整数解．
故选C．
可用含x的代数式表示出y，再取值进行讨论即可．
本题主要考查方程解的概念，用含x的式子表示出y进行讨论是这类问题的解题思路．
3.答案：A
解析：解：在方程x2−2x−3=0中，
△=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−3)=16>0，
故该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据根的判别式得出△=b2−4ac，套入数据求出△的值，由此即可得出结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是求出b2−4ac的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．。