高中数学 第六章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理课件 b高一必修第二册数学课件

【题组训练(xùnliàn)】
1.在△ABC中,
A.-a+ b 1
5 C. a2 - b 1
3
3
A EE＝F∥1BACB,E,F交AC于F,设
B.a-5 b
1
5
D. a+ b 1
2
3
3
则A B ＝ 等a 于， A C (＝ b ， ) B F
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2.如图,已知E,F分别是矩形(jǔxíng)ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若
类型一 共线向量(xiàngliàng)基本定理的应用(数学抽象、逻辑推理)
【典例】设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线时,λ的值 为( )
A.0
B.-1
C.-2
D.-
1
2
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【变式探究】 本例若把条件“向量(xiàngliàng)b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m,n∈R)”其他条件 不变,试求m+n的值.
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【补偿(bǔcháng)训练】
如图,在△ABC中,设
=a, AB
=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P, AC
若 =ma+nb,则m+n= AP
()
A.1 B.2 C.6 D.1 237
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【变式探究】 本例若改为(ɡǎi wéi)C “D ＝ 3 D B ＝ r A B s A C ”,其他条件不变,求r+s的值.
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角度2 解向量方程组 【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2, c=7e1-4e2,试用(shìyòng)向量a和b表示c.
2 C.- (a1+b)
B.- (a-b)
1
2 D. (a+b) 1
2
2
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3.(教材二次开发:例题改编)设向量a,b不平行(píngxíng),向量λa+b与a+2b平行,则实数 λ=________.
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关键(guānjiàn)能力·合作学习
6.2 向量基本(jīběn)定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理
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必备(bìbèi)知识·自主学习
导思
1.共线向量基本定理的内容是什么?此定理有什么作用? 2.平面向量基本定理的内容是什么?此定理可以解决什么问题?
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1.共线向量定理 如果a≠0,且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得______. b=λa 如果A,B,C是三个不同(bù tónɡ)的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得
_________
A BA C
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【思考】 (1)定理中的条件“a≠0”能否省略,为什么? 提示:不能.如果a=0,b≠0,不存在实数λ,使得b=λa.如果a=0,b=0,则对任意实数λ,都有b=λa. (2)这里(zhèlǐ)的“唯一”的含义是什么? 提示:如果还有b=μa,则有λ=μ.
1
2 C.b+ a1 D.b- a
2 1
2
2
C若B 1 OA， 2
O A a ， O C b ，
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3.设a,b是两个非零向量(xiàngliàng),若8a-kb与-ka+b共线,则实数k=________.
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4.如图,在△ABC中, m的值为________.
【拓展延伸】平面向量基本定理的关注点
(1)a,b是同一(tóngyī)平面内的两个不共线向量; (2)该平面内的任意向量c都可用a,b线性表示,且这种表示是唯一的; (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.
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【拓展训练】 设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为(zuòwéi)基底.
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合 { a , b }称为该平 面上向量的一组基底.
定理中的“不共线”不能去掉,因为两个共线向量不能表示平 面内的任意向量,不能做基底.
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(2)本质:就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法及数乘向量表示平面内的任意
(rènyì)一个向量.
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2.平面(píngmiàn)向量基本定理
(1)
定理内容
实数 不共线
如果平面内的两个向量a与b__(ɡ_òn_ɡ_x_ià_n,)则对该平面内的任意 一个向量c,存在唯一的__(_sh_ìs_h_ù)_对(x,y),使得c=xa+yb.
基底定义
注意事项
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No 角形法则：首尾相接，连首尾.。2.平行四边形法则:同一起点,对角线.。核心素养
Image
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理也可以证明点共线或线共面问题.
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【跟踪(gēnzōng)训练】
已知两个非零向量a、b不共线, =a+b, =a+2b, =a+3b.
OA
OB
OC
(1)证明:A,B,C三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
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【解题策略】 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据:①向量加法(jiāfǎ)的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘
向量的几何意义.
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(2)模型(móxíng):
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【补偿(bǔcháng)训练】
设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a,b可以作为一组基底. (2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式. (3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
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【解题策略】
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据共线向量基本定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).
而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必
有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程(fāngchéng),从而解方程求得λ的值.同时利用此定
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
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2.(2020·泰安高一检测)如果e1,e2是平面α内所有(suǒyǒu)向量的一组基底,那么下列命题正确的
是
()
A.若存在实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
类型二 平面向量基本定理的理解(数学抽象(chōuxiàng)、逻辑推理)
【典例】1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:
① A D 与 A B ; ② D A 与 其B C 中; ③ 可C 作A 为与 这D 个C ; 平④ 行O D 四与 边O 形B 所, 在平面的一组基底的是 ( )
(3)应用:利用此定理进行平面向量的分解.
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【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一个平面(píngmiàn)内只有一对不共线的向量可作为表示该平面(píngmiàn)内所有向量的基底.
()
(2)若a,b是同一平面内两个不共线向量,则xa+yb(x,y为实数)可以表示该平面内所有向量.
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类型三 平面向量基本定理的应用(逻辑推理、直观想象)
角度(jiǎodù)1 在线性运算中
【典例】若D点在三角形ABC的边BC上,且 为( )
" C D ＝ 4 D B ＝ r A B 则s 3A rC +s" 的值
A .16 B .12 C .8 D .4 5 5 55
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3.已知平面向量e1,e2是一组基底(jī dǐ),实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则xy=________.
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【解题策略】 对平面向量基本定理的理解
(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线(ɡònɡ xiàn)的方向分解成两个向量的和,且这样
()
(3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d. (4)基底向量可以是零向量.
() ()
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2.已知AD是△ABC的BC边上(biān shànɡ)的中线,A 若B = a ， A C = b ， 则A D = (
)
A. (a1 -b)
A =Db,用a,b表示
= AG
(
)
A. a1 + b 1
B. a+ b 1
1
4
4
C. a3 - b 1
3
3
D. a+ b 3
3
4
4
4
4
=a, A B
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3.如图,在△AOB中, =a,O =Ab,设 O B
试用a,b表示(biǎoshì)向O量P
.
而A OMM ＝ 与2 BM NB 相， O 交N 于＝ 3 点N PA , ,
PA是D线 段1 DBDC上, 一点(yī diǎn),若 3
APmA则B实1数AC, 6
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内容(nèiróng)总结
6.2 向量基本定理(dìnglǐ)与向量的坐标。(3)×.当e1与e2共线时,结论不一定成立.。【思路导引】1.根据基底的构成条件 判断.。2.由平面向量基本定理(dìnglǐ)内容理解判断.。3.利用相同向量的系数对应相等求解.。3.交换律和结合律.。1.向量的三
的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一
的,即0=xa+yb,且x=y=0. (2)对于固定的不共线向量a,b而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基 底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.
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1.如图,线段AB与CD互相平分(píngfēn),则B D 可以表示为 ( )
A.ABCD C.1(ABCD)
2
B.1AB1CD 22
D.(ABCD)
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2.(教材二次开发:练习(liànxí)改编)四边形OABC中,
则 A B =( )
A.a- b1 B. a-b