江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届九年级数学12月压轴题大突破五（教师版）

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届九年级数学12月压轴题大突破五
（教师版）
课前巩固提高
1如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到（≈，≈，=）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题。

专题：探究型。

分析：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出
BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，国军舰正以每小时13海
里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，进而得出结论．
解答：解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠CAD=45°，AC=10海里，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD===5（海里），
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=60°，
∴BD=AD•tan60°=5×=5（海里），
∴BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里，
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航
行，
∴海监船到达C点所用的时间t===（小时）；
某国军舰到达C点所用的时间i==≈=（小时），
∵＜，
∴中国海监船能及时赶到．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直
角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
2如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=▲ ．
【答案】23
-。

【考点】解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】由已知设AB=AC=2x，
∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=1
2
AC=x，则AD2=AC2﹣CD2=（2x）2﹣x2=3x2。

∴AD=3x。

∴BD=AB﹣AD=2x﹣3x=（2﹣3）x，
∴tan15°=
()
23
BD
23 CD
x
==
x
-
-。

3如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里（结果精确到海里∕时，参考数据2≈，3≈）
【答案】解：过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E。

在Ｒt △CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=1
2
CD=50。

DF=CD•co30°=503。

∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE，∴∠CEA=∠EAF=∠AFC=90°。

∴四边形AECF是矩形。

∴AE=CF=50，CE=AF。

在Ｒt △AEB中，∠EAB=90°-45°=45°，∴BE=AE=50。

∴CB=ADDF－BE=15(108)5035050320
⨯-+-=-。

∴(50320)22531033.3
-÷=-≈（海里/时）。

答：快艇每小时航行海里∕时。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰直角三角
形的判定和性质。

【分析】由已知先构建Ｒt △CFD和矩形AEFC，能求出CF和FD，已知测得C处在D处得北偏西30°的方
向上，港口B 在港口A 的西北方向，所以BE=AE=CF ，由已知求出AE ，则能求出BC ，从而求出答案。

4如图所示，为求出河对岸两棵树间的距离，小坤在河岸上选取一点C ，然后沿垂直于AC 的直线的前进了12米到达D ，测得∠CDB=900。

取CD 的中点E ，测∠AEC=560
, ∠BED=670
，求河对岸两树间的距离（提示：过点A 作AF⊥BD 于点F ） 参考数据in560
≈
54 ,tan560 ≈23,in670≈15
14,tan670
≈37 【答案】解：∵E 为CD 中点，CD=12，∴CE=DE=6。

在Rt△ACE 中，∵tan56°=
AC
CE
，∴AC=CE·tan56°≈6×32=9。

在Rt△BDE 中，∵tan67°= 错误! ，∴BD=DE tan67°=6×7
3=14 。

∵AF⊥BD ，∴AC=DF=9，AF=CD=12。

∴BF=BD -DF=14-9=5。

在Rt△AFB 中，AF=12，BF=5， ∴2
2
2
2
AB AF BF 12513=+=+=。

∴两树间距离为13米。

【考点】矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理。

【分析】利用锐角三角函数求出AC ，BD ，即可在Rt⊿AFB 中应用勾股定理求出AB 。

5如图，一架飞机由A 向B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头C 、D ．飞机在A 处时，测得山头C 、D 在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B 处时，往后测得山头C 的俯角为30°，而山头D 恰好在飞机的正下方．求山头C 、D 之间的距离．
【答案】解: 过C 作CE⊥AD，垂足为点E 。

在△ABD 中，00ABD 90,BAD 30,AB 6 ∠=∠==， ∴0
AB
AD 43cos30=
=。

在△ABC 中，00BAC 60,AB 30,AB 6 C ∠=∠==， ∴00ACB 90,AC AB sin303∠==⋅=。

在△ACE 中，0000AEC 90,ACE 603030,AC 3 ∠=∠=-==。

∴003
3
CE AC sin30, AE =AC cos30322
=⋅=⋅=。

在△CDE 中，03
35 CED 90,CE ,E AD AE 4 3 -
332
22
D ∠===-==。

（第23题）
F
B
A
E
C
D
56°67°
A
B
C
D
根据勾股定理有,
22
22
3584
CD CE ED321
224
⎛⎫⎛⎫
=+=+==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

∴山头C、D之间的距离是21千米
【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，辅助线作法。

【分析】要求CD的值就要把它放到－个直角三角形中，考虑作CE⊥AD。

只要求出CE，ED即可。

而CE可由Rt△ACE求得，Rt△ACE中AC又可由Rt△ABC求得，而ED可由AD－AE求得；AE同样可由Rt△ACE求得，AD由Rt△ABD求得。

6图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =34cm，AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°请通过计算判断这个水桶提手是否合格
（参考数据：314≈，°≈，°≈）
【答案】解：连接OB，过点O作OG⊥BC于点G。

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，
∴ tan∠ABO=AO17
3.4
AB5
==，∴∠ABO=°。

∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－°=°。

又∵22
OB51731417.72
=+=≈，
∴在Rt△OBG中，OG OB sin OBG17.720.9717.1917
=⨯∠=⨯≈>。

∴水桶提手合格。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】根据AB=5，AO=17，得出∠ABO=°，再利用∠GBO的度数得出GO=BO×in∠GBO的长度即可得出答案。

7东方山是鄂东南地区的佛教圣地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔。

据黄石地理资料记载：东方山海拔米，月亮山海拔米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞 行，在东方山山顶D 的正上方A 处测得月亮山山顶C 的俯角为α，在 月亮山山顶C 的正上方B 处测得东方山山顶D 处的俯角为β，如图。

已知tan 0.15987,tan 0.15847αβ==，若飞机的飞行速度为180米/秒， 则该飞机从A 到B 处需多少时间（精确到秒） 【答案】解：在Rt△ABC 中，BC AB tan α=，
在Rt△ABD 中, AD ABtan β= ∴BC AD AB(tan tan )αβ-=-。

∴BC AD 453.20442.00
AB 8000tan tan 0.159870.15847
αβ--=
==--。

故A 到B 所需的时间为8000
44.4180
t =
=（秒）。

答：飞机从A 到B 处需秒。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】分别在Rt△ABC 和Rt△ABD 中表示出BC ，AD ，求出AB≈8000米，从而求出该飞机从A 到B 处需要时间。

8某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图
所示已知上、下桥的坡面线ME 、NF 与半圆相切，
上、下桥斜面的坡度i ＝1∶，桥下水深O
3
3
21+1
2
）。

在Rt△O 2222PD +OP 51213=+=）， ∴OE＝OD ＝13m 。

∵tan∠EMO=i = 1∶ ，tan15°＝
11
1:3.72 1.7
23≈=++，∴∠EMO＝15°。

由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM=75°。

同理得∠NOF＝75°。

∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°。

在Rt△OEM 中，tan∠EMO＝OE 13EM EM
=
，∴tan15°=13
EM 。

∴EM＝
13
13 3.748.1tan15≈⨯=︒
（m ）。

又∵错误!
180
13
30⋅π）。

∴×2＝（m ）。

即从M 点上坡、过桥、再下坡到N 点的最短路径长为米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】首先明确从M 点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长应为如图ME 错误!
i 3
21
+0
BC
302sin 45=3023333(
)15
3131
60
4t --=
=
314
-长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，10如图，AD∥BC，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度5
3
i =
，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度56
i =。

（1） 求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号） （2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方 案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽，求坝顶将会沿AD 方向加宽多少米 【答案】解：（1）过点B 作BF⊥AD 于F 。

在Rt△ABF 中，∵BF 5
AF 6
i =
=，且BF=10 m 。

∴AF=6 m ，AB=234 m 。

（2）过点E 作EG⊥AD 于G 。

在Rt△AEG 中，∵EG 5
AG 3
i =
=，且。

BF=10 m ， ∴AG=12 m ，BE=CF=AG －AF=6 m 。

如图，延长EC 至点M ，使CM=2.7m ，延长AD 至点N ，连接MN 。

∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变。

∴ABE CMND S S =△梯形 ，
()11
BE EG MC ND EG 22
⋅⋅=⋅+⋅，即 BE MC ND =+。

∴ND=BE－MC=6－=（m ）。

答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m 。

【考点】解直角三角形的应用（坡度问题），锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质。

【分析】（1）构造直角三角形，过点B 作BF⊥AD，由5
6i =
即可求出AF ，由勾股定理即可求出AB 。

（2）构造直角三角形，过点E 作EG⊥AD，由5
6
i =即可求出AG ，，从而求出BE ；作出梯形CMND ，
用方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，即ABE CMND S S =△梯形求出ND 。

11要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°如图 已知一梯子AB 的长为6 m ，梯子的底端A 距离墙面的距离AC 为2 m ，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端
参考数据：in50°≈，co50°≈，in75°≈，co75°≈
【答案】解：在Rt△ABC 中，
∵AC＝ABcoα，AB ＝6，
∴当α＝50°时，AC ＝6co50°≈6×＝m ， 当α＝75°时，AC≈6co75°≈6×＝m 。

∵ ＜2＜，∴ 人能够安全地攀上梯子的顶端 。

【考点】解直角三角形的应用。

【分析】根据锐角三角函数求出α＝50°和α＝75°时AC 的值，看2是否在其间即可作出判断。