江西省南昌二中2011届高三上学期第四次月考理科数学试题

南昌二中高三(理）第四次月考题
一、 选择题
1.
已知集合{}{},,23,,13Z n n x x B Z n n x x A ∈+==∈+=={36+==n x x C ，
}Z
n ∈,对于任意的B b A a ∈∈,，则b a +一定（ D ）
A 属于.
B A ⋂ B. 属于
C C 。

不属于C D. 不属于
B A ⋂
2。

已知函数)(log 2
2
a ax x
y --=的值域为R ，则实数a 的取值范围为( D )
A 。

)0,4(-
B 。

[)+∞,0 C.(]0,∞- D 。

(][)+∞⋃-∞-,04, 3。

ac b
=2
是c b a ,,成等比数列的（ C )
A 。

充要条件 B.充分不必要条件
C 。

必要不充分条件 D.既不是充分又不是必要条件
4。

.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形， PA ⊥平面ABC,则下列结论正确的是 （ D ) A 。

PB⊥AD
B 。

平面PAB ⊥平面PB
C C. 直线BC ∥平面PAE D. 直线EF ∥平面PAD
【解析】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 答案不正确。

过点A 作PB 的垂线,垂足为H,若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC,所以AH ⊥BC 。

又PA ⊥BC,所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB,这与底面是正六边形不符，所以B 答案不正确。

若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 答案不正确.故选D.
5。

已知,0cos sin
33
<+x x 则函数x x y cos sin +=的值域为（ D )
A 。

),3()0,3(+∞⋃-
B 。

)0,3(-
C 。

),3(+∞
D.[)
0,2-
6
．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是（ B ） A 。

24 B. 36
＋C. 36 D. 36＋
【解析】该几何体在四棱锥P －ABCD ，其中底面ABCD
是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且AD ＝4，AB ＝3，PA ＝4，如图.
易得各侧面都为直角三角形,计算得，其表面积为36＋ 故选B 。

7。

不等式)13(log )152(log
2
122
1+>--x x x 的解集为(
C )
A 。

)7,4(- B.)3,4(-- C.)7,5()3,4(⋃-- D 。

)5,4(-
8．设l m n 、、表示不同的直线，αβγ、、表示不同的平面，给出下列4个命题：
①若//m l ，且m α⊥，则l α⊥；
②若//m l ，且m ∥α，则//l α；
③若,,l m n αββγγα===，则////l m n ；
④若,,m l n αββγαγ===，且//n β，则//m l .
其中正确命题的个数是 （ B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l 可能在平面α内,故命题为假；在命题③的条件下,三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中,由n αγ=知,α⊂n 且γ⊂n m β=，得n ∥m ，同理n ∥l ,故m ∥l ，命题④正确,9。

9.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形,OD ＝3，
P
A
B
C
D
正视图
侧视图
俯视图
4
4
3 D
点P 为△BCD 内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈， 则αβ+的最大值等于 （ B ） A ．
14
B ．
43
C ．
13
D ． 1
【解析】以O 为原点，以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设点
P(x ，y ），则
(,)(0,1)(3,0)(3,)x y =α+β=βα,所以3,,3
x
x y y =β=αα+β=+.
设3
x
z y =+，根据可行域知，当点P 为点B 时，z α+β=最大，其最大值为43
，故选B.
10.已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ∆的垂心，,a SA =则此三棱锥体积的最大值是( D ） A.
36
3a B.
33
2a
C 。

3
3
a
D.6
3a
解析:
ABC
S -的三对棱互相垂直,点S 在平面ABC 上的射影必为三角
形ABC 的垂心，则SA=SB=SC ，当SA ，SB,SC 两两垂直时有体积最大选D 二、填空题
11. 设1
2
2010
,,,a a a ⋅⋅⋅都为正数,且1
2
20101a a
a ++⋅⋅⋅+=，
则22
20102
22010
222a a a a a a ++⋅⋅⋅+
+++211的最小值是1
4021。

【解析】由柯西不等式,得
222
222201012
122010(]222a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++2122010()1a a a ≥++⋅⋅⋅+=，所以222
2010121220101
2224021
a a a a a a ++⋅⋅⋅+≥
+++.
12. 设等比数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，已知310
(12)S
x dx =+⎰，2018S =,则30S ＝
21 。

【解析】因为32310
00
(12)()|12S x dx x x =+=+=⎰，又2018,S =且{}n a 为等比数列，
又
1020103020
,,S S S S S --也成等比数列，即30
12,6,18
S
-成等比数列，则
3030183,21S S -==
13.
则这个几何体的体积是 8π .
，高为3.
所以2
2
123238.3
V V V π
ππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱
圆锥
14。

2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式,如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 30 米 。

【解析】设旗杆高为h 米,第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则
2sin 603
h BC h ==。

在△ABC 中，AB =∠CAB ＝45所以∠ACB＝30°，
由正弦定理得6330sin 45
=，故30h =.
15。

设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上
正视图
侧视图 俯视图
旗杆
的高为h ,则有a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论: ①2
2
2
2
a b c h +>+；②3
3
3
3
a b c h +<+；③ 4
4
4
4
a b c h +>+;④5
5
5
5
a b c h +<+.
其中正确结论的序号是 ② ④ ;进一步类比得到的一般结论是n n n n ()a b c h n N *
+<+∈.
【解析】在直角三角形ABC 中,sin ,cos ,a c A b c A ab ch ===,所以sin cos h c A A =. 于是(sin cos ),(1sin cos )n n n n n n n n n n
a b c A A c h c A A +=++=+。

(sin cos 1sin cos )(sin 1)(1cos )0n n n n n n n n n n n n
a b c h c A A A A c A A +--=+--=--<. 所以n n n n ()a b c h n N *
+<+∈.
三、解答题
16. 在直三棱柱1
1
1
C B A ABC -中,,900
=∠ABC E B BC CC
11
42==
D,F ，G 分别为1
1
1
1
1
,,C A C B CC 的中
点，
（1） 求证：ABD D B 平面⊥1
;
（2）
求证：平面EFG//平面ABD ；
解：（1）由直三棱锥的性质得
BC AB C C BB ABC ⊥⊥,11平面平面
D
B AB
C C BB
D B C C BB AB 111111,⊥∴⊂⊥∴平面平面由已知
010*******,452=∠=∠=∠⇒====BDB BDC DC B BC DC D C C B
即ABD D B B BD AB BD D B 平面⊥⇒=⊥1
1
,
(2)因为F EB E B F B 1
1
1
1∆⇒==为等腰直角三角形0
1
145=∠=∠⇒BD B EF B
C 1B 1
A
D
C
A
ABD EF ABD BD BD
EF 平面平面////⇒⎩
⎨
⎧⊂① 因为FG 分别为1
1
1
1
,C A C B 的中点⎩⎨
⎧⊂⇒ABD AB AB GF B A AB B A GF 平面,//////1
11
1
ABD GF 平面//∴②
由①②及EF 、GF 均在平面EFG 内且ABD EFG F GF EF 平面平面//⇒=
17。

设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、
b 、
c 成等比数列，且3sin sin 4
A C =.
（Ⅰ）求角B 的大小;
（Ⅱ）若[0,)x π∈,求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域. 【解】（Ⅰ）因为a 、b 、c 成等比数列，则2
b
ac =。

由正弦定理得
2sin sin sin B A C =.
又3sin sin 4
A C =，所以2
3
sin
4
B =
.因为sinB ＞0，则sin 2
B =。

（4
分）
因为B ∈（0，π)，所以B ＝3
π或23
π. （5
分）
又2
b
ac =,则a b ≤或b c ≤，即
b 不是△ABC 的最大边，故3
B =π.（6分）
（Ⅱ）因为3
B =π，则
()sin()sin sin cos cos sin sin 333
f x x x x x x π
π
π
=-+=-+
3
sin )26
x x x π
=-=-. （9分）
[0,)x π∈，则56
6
6
x π
π
π-
≤-
<
，所以1sin()[,1]6
2
x π-∈-。

（11分)
故函数
()f x 的值域是[。

(12分）
18。

在四棱锥P ABCD -中,90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC
CAD ∠=∠=︒，PA ⊥底P
E
面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．
(Ⅰ) 求二面角E AC D --的大小；
（Ⅱ）．求BC 与平面ACE 所成的角的正弦值； 【解】(Ⅰ）取AD 的中点M ，连结EM ，则//EM PA , 所以EM ⊥平面ACD .
过M 作MQ AC ⊥于Q ，连接EQ ,
则EQM ∠为二面角E AC D --的平面角。

（3分） 因为M 为AD 的中点，MQ AC ⊥，CD AC ⊥，则132
MQ CD ==。

（4分)
又112
EM PA ==，所以13
tan 33
EM
EQM MQ ∠===，即30EQM ∠=︒. 故二面角E AC D --的大小为30︒。

（6分） （Ⅱ)设点B 到平面ACE 的距离为h ，
1,2
3
,2,2,2==
===∆∆EM S S EQ AC ABC ACE 4
3
=⇒=--h V V ABC E ACE B ，记直线BC 与平面ACE 所成的角为θ
4
1sin ==
∴BC h θ 所以BC 与平面ACE 所成的角的正弦值为4
1
解法二：以A 为坐标原点AD,AP 分别为y,z
轴，建立坐标系如右图 则)2,0,0(),0,4,0(),0,0,0(P D A ),0,1,3(
C
)0,2
1,23(
),1,2,0(-B E （1）设平面ACE 的法向量),,(z y x n =
)1,2,0(),0,1,3(==AE AC
⎪⎩⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=+=+⇒=⋅=⋅020
30
0z y y x AE n AC n 取)32,3,,1(-=n 平面ACD 的法向量)1,0,0(=m 记二面角E AC D --为α
2
3
432cos =
=
⋅⋅=
∴m
n m n α 二面角E AC D --的大小为0
30
（2）)0,2
3
,23(
=BC 记BC 与平面ACE 所成的角为
θ则 4
1sin =⋅⋅=
BC
n BC n θ 所以BC 与平面ACE 所成的角的正弦值为4
1
19. 已知数列{}n
a 满足，1
1a
=，111
(1)n n a a n n
+=++（n ∈N ＊). （I ）设n
n
a b
n
=
,求数列{}n b 的通项公式； （II ）若对任意给定的正整数m ，使得不等式a n ＋t ≥2m （n ∈N ＊）
成立的所有n 中的最小值为m ＋2，求实数t 的取值范围。

【解】因为1
11(1)n n
a a n
n +=++，则1
11(1)
n n
a a n n n n +=+++，即11(1)
n n
b b n n +=++. (2分）
所以111
1
n n b
b n n +-=
-+.又111b a ==，所以 121321111111
()()()1(1)()()22231n n n b b b b b b b b n n n
-=+-+-++-=+-+-++-=--。

故数列{}n b 的通项公式是12n b n
=-。

（6分）
（II ）因为12n
n a b n n
==-，则21n a n =-. （7分） 由a n ＋t ≥2m ,得2n －1＋t ≥2m
，即12
t n m -≥+。

（8
分）
据题意，区间1[,)2t m -++∞内的最小正整数为m ＋2,则1122t m m m -+<+≤+, 即1122
t -<≤，所以－3≤t ＜－1.
故实数t 的取值范围是［－3，－1）. （12分)
20. 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、
左视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图)
（1）证明：PEC
BD面
//
（2）若G为BC上的动点，求证:PG
AE⊥
（3）求几何体PEABCD的体积；
解：分别
以BC，BA，BE所在的直线为x,y z轴,B为坐标原点建立坐标系；PC的中点F则)0,4,0()0,4,4(
),0,0,4(
),0,0,0(A
D
C
B
)2
2,2,2(
),
2
4,4,0(
),
2
2,0,0(F
P
E
（1))0,2,2(
),0,4,4(=
=EF
BD
EF
BD2
=，PEC
BD平面
⊄
PEC
BD平面
//
∴
（2）设)0,0,(x G则)22,4,0(
),
2
4
,4
,(-
=
-
-
=AE
x
PG
AE
PG
AE
PG⊥
⇒
=
-
+
=
⋅0
16
16
俯视图
4
左视图
主视图
4
42
4
（3)3
2
8044222131244431=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--BEC P ABCD P PEABCD
V V V
21. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数c ,使得对任意1
[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意2x ∈D ，当2
[,]x
a b ∉时，2()f x c >恒成立,则
称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数。

（Ⅰ）判断函数1
()|1||2|f x x x =-+-和2
()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”
函数？ 并说明理由；
(Ⅱ）设()f x 是（Ⅰ）中的“平底型”函数,k 为非零常数,若不等式
||||||()t k t k k f x -++≥⋅
对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；
（Ⅲ)若函数
()g x mx =[2,)-+∞上的
“平底型”函数,求m 和n 的值。

【解】（1）对于函数1
()|1||2|f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时,1
()1f x =.
当1x <或2x >时，1
()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立，故1
()f x 是“平底型”函数.
（2分）
对于函数2
()|2|f x x x =+-,当(,2]x ∈-∞时，2
()2f x =;当(2,)x ∈+∞时，2
()222f x x =->,
所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ∉时，()2f x >恒成立。

故2
()f
x 不是“平底型”函数。

(4分)
(Ⅱ）若||||||()t k t k k f x -++≥⋅对一切t ∈R 恒成立，则min
(||||)||()t k t k k f x -++≥⋅。

因为min
(||||)
2||t k t k k -++=,所以2||||()k k f x ≥⋅。

又0≠k ,则()2f x ≤。

（6分）
因为()|1||2|f x x x =-+-，则|1||2|2x x -+-≤，解得15
22x ≤≤。

故实数x 的范围是15
[,]22
. （8分) （Ⅲ）因为函数
()g x mx =[2,)-+∞上的“平底型”函数，
则
学必求其心得，业必贵于专精
存在区间[,]a b [2,)⊆-+∞和常数c ,
使得mx c =恒成立.
所以222()x x n mx c ++=-恒成立，即22122m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩。

解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111
m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩. （10分）
当1
11
m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时,()|1|g x x x =++.
当[2,1]x ∈--时，()1g x =-，当(1,)x ∈-+∞时,()211g x x =+>-恒成立。

此时，()g x 是区间[2,)-+∞上的“平底型"函数。

（11分) 当1
11
m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，()|1|
g x x x =-++. 当[2,1]x ∈--时，()211g x x =--≥，当(1,)x ∈-+∞时，()1g x =.
此时，()g x 不是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数。

（12分） 综上分析,m ＝1，n ＝1为所求。

（14分）。