泰勒公式展开

泰勒公式展开
泰勒公式也称为泰勒中值定理，是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的一个重要考点，常用于函数极限的计算、中值问题和不等式的证明以及函数的无穷级数展开式中，因此大家应该理解并熟练掌握其应用。

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f′′(x0)2!⋅(x−
x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f″(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x) 即：f(x)=f(x0)+∑i=1nf(i)(x0)i!⋅(x−x0)i+Rn(x)即：
f(x)=f(x0)+∑i=1nf(i)(x0)i!⋅(x−x0)i+Rn(x)
其中Rn(x)Rn(x)表示泰勒公式的余项，可以估算近似的误差，相当于无穷小
将其中的x0x0带入00就可以得到麦克劳林展开，即
f(x)=f(0)+f′(0)1!⋅x+f′′(0)2!⋅x2+...+fn(0)n!⋅
xnf(x)=f(0)+f′(0)1!⋅x+f″(0)2!⋅x2+...+fn(0)n!⋅xn 然后虽然我们知道了这两个公式,还是不会用诶(当然大佬可能都是知道怎么用的..然而我确是一脸懵233)..
下面说两个实例
展开y=sin(x)y=sin⁡(x)和y=cos(x)y=cos⁡(x)
用y=sin(x)y=sin⁡(x)来说:
前置知识:fn(x)=sin(x+nπ2)fn(x)=sin(x+nπ2)(推一下
x=1、2、3...x=1、2、3...即可找到公式)
然后我们需要求出f(0)f(0)的nn阶导,推一下发现
f1(0)f3(0)f5(0)f7(0)=1=−1=1=−
1f2(0)=0f4(0)=0f6(0)=0f8(0)=0f1(0)=1f2(0)=0f3(0)=−
1f4(0)=0f5(0)=1f6(0)=0f7(0)=−1f8(0)=0
也就是f2n−1(0)=(−1)n−1f2n−1(0)=(−1)n−1,f2n(0)=0f2n(0)=0 通过麦克劳林展开可以得到
sin(x)=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!sin(x)=x1!−x33!+x55!−...+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!
同理可以得到
cos(x)=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!cos(x)=1−x22!+x44!−...+(−1)nx2n(2n)!
计算近似值
前置知识:e=limx→0(1+x)1xe=limx→0(1+x)1x即
e=limx→∞(1+1x)xe=limx→∞(1+1x)x
因此令f(x)=exf(x)=ex
通过麦克劳林展开可以得到
ex=f(x)=e0+e01!⋅x+e02!⋅x2+...+e0n!⋅
xn+Rn=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rnex=f(x)=e0+e01!⋅x+e02!⋅
x2+...+e0n!⋅xn+Rn=1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rn
忽略余项得到
ex≈1+x1!+x22!+x33!+...+xnn!+Rnex≈1+x1!+x22!+x33!+...+xnn! +Rn
带入x=1x=1,e≈1+11!+12!+13!+...+1n!。