山西省运城市夏县中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷含解析

山西省运城市夏县中学2025届高三下学期第六次检测数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3
π C ．23π D ．56π 2．定义在上的函数满足，且为奇函数，则
的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．正四棱锥P ABCD -6，侧棱长为3为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．20π
5．下列结论中正确的个数是（ ）
①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列；
②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α；
③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件；
④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
6．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．
A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，
点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =，P 为线段AB 上的一点，且
CA
CB
CP x y CA CB =⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ） A ．73123+B ．12 C ．43 D ．5312+9．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共
点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D 22+
10．已知x ，y 满足不等式00224
x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]
11．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）
A ．c c a b >
B ．22ac bc ＜
C ．lna lnb ＜
D ．1
1
()()22a b
< 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．13
C ．43
D ．56
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若2cos c a B =，221124S a c =
-，则ABC ∆的形状为__________，C 的大小为__________．
14．若0a b +≠，则()2221
a b a b +++的最小值为________.
15．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手A 成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
16．已知函数()1x x f x e e -=--，则关于x 的不等式(2)(1)2f x f x ++>-的解集为_______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在三棱锥
中，为棱的中点， (I )证明：
； (II )求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）已知,,a b c R +
∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立. （1）求证:22213a b c ++≥ （2）求证:2222222a b b c c a +++++≥.
19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面PCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，122
AP AB BC AD ====，90ABC ∠=︒，E 为AD 的中点，AC 与BE 的交点为O .
（1）设H 是线段BE 上的动点，证明：三棱锥H PCD -的体积是定值；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积；
（3）求直线BC 与平面PBD 所成角的余弦值．
20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功 晋级失败 合计 男
16 女
50 合计
（1）求图中a 的值；
（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ． （参考公式：2
2
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
21．（12分）已知()12f x x x =++-．
（1）已知关于x 的不等式()f x a <有实数解，求a 的取值范围；
（2）求不等式()22f x x x ≥-的解集． 22．（10分）记函数1()212
f x x x =+
+-的最小值为m . （1）求m 的值； （2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c
++≥++.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.
【详解】
解：由题意得，设a 与b 的夹角为θ，
311cos 222a b a b θ⋅-∴===⨯， 由于向量夹角范围为：0θπ≤≤， ∴π3
θ=. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.
2、D
【解析】
根据
为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案. 【详解】
为奇函数，即
，函数关于中心对称，排除. ，排除.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于
中心对称是解题的关键. 3、B
【解析】
解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证.
【详解】
解：22x a ≤，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.
当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.
4、C
【解析】
如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.
如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上， 223BD AB ==，故132BE BD =
=，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==.
故选：C .
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
5、B
【解析】
根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；
【详解】
解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，
可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；
②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；
③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；
④若0,0,24a b a b >>+=，则4222a b a b =+≥⋅2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确； 综上可得正确的有①④共2个；
【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
6、D
【解析】
根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2n k k n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=
件邮件， 需要卸下(1)123(1)2k k k ⨯-+++⋯⋯-=
件邮件， 则(21)(1)()22
k n k k k k a k n k --⨯⨯-=-=-， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．
7、B
【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合， 所以||2OP OP BA '-==,故排除C,D 选项；
当02x π<<
时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=，由图象可知选B. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
8、A
【解析】
在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π
=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建
立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y +的最小值. 【详解】 在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =， sin cos sin B A C =，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，
0A π<<，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<，2C π
∴=， 9AB AC ⋅=，即cos 9cb A =，又1sin 62ABC S bc A ==，sin 4tan cos 3bc A a A bc A b
∴===， 162ABC S ab ==，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，解得43a b =⎧⎨=⎩，225c a b ∴=+=. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，
P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤，
()33,4CP CA CB λλ∴=+=-，
设1CA e CA =，1C e B CB =，则121e e ==，()11,0e ∴=，()20,1e =，
()12,CA
CB CP x y xe ye x y CA CB =⋅+⋅=+=，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩
，消去λ得4312x y +=，134x y ∴+=， 所以，11773723434123412312
11x y x y x y x x y y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当x y =时，等号成立， 因此，11x y +
712
+. 故选：A.
【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CA 是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP ，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
9、A
【解析】
先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值. 【详解】 函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
即|cos |y x =
直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数
cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 因为sin y x '=，
故444cos sin 2
x k x x -==+， 所以()()()()4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.
10、B
【解析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.
【详解】
画出不等式组
24
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+=
⎩
所表示的可行域如图△AOB
当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在
2
24
x y t
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的交点（
824
33
t t
--
，）处取得最大值，此时Z＝t+16
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6
故选：B．
【点睛】
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.
11、C
【解析】
A B、利用不等式性质可判断，C D
、利用对数函数和指数函数的单调性判断.
解：对于,A 实数0a b <<， 11,c c
a b a b
∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．
对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2
x
y =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 12、A 【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】
几何体的三视图的直观图如图所示，
则该几何体的体积为：1211233
⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、等腰三角形 4
C π
【解析】 ∵2cos c a B =
∴根据正弦定理可得sin 2sin cos C A B =，即sin()2sin cos A B A B += ∴in 0()s A B -=
∴ABC ∆的形状为等腰三角形
∵221124S a c =
- ∴2222221111111sin 2444444
ab C a a c a b c =+-=+- ∴222sin 2a b c C ab
+-=
由余弦定理可得222
cos 2a b c C ab
+-=
∴sin cos C C =，即tan 1C = ∵(0,)C π∈ ∴4
C
π
故答案为等腰三角形，
4
π
14 【解析】
由基本不等式，可得到2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，然后利用
22
2
221()1()2()a b a b a b a b +++≥+≥++，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

【详解】
由题意，2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，当且仅当a b =时等号成立，
所以22
2
221()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++22()12()a b a b +=+时取等号，
所以当3
42a b -==时，22
2
1
()a b a b +++
【点睛】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；
②和（或积）为定值； ③等号取得的条件。

15、
32
【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果. 【详解】
剩下的四个数为83，85，87，95，且这四个数的平均数()1175
8385879542
x =
+++=，这四个数的中位数为()18587=862+，则所剩数据的平均数与中位数的差为17538622
-=. 【点睛】
本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养. 16、1
(,)3
-+∞ 【解析】
判断()()1g x f x =+的奇偶性和单调性，原不等式转化为()()()2?
11g x g x g x -+=--＞，运用单调性，可得到所求解集． 【详解】
令()()1g x f x =+，易知函数()g x 为奇函数，在R 上单调递增，
()()()()21221110f x f x f x f x ++>-⇔++++＞，
即()()210g x g x ++＞，
∴()()()2?
11g x g x g x -+=--＞ ∴21x x ＞--，即x ＞13
- 故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (I )证明见解析；(II ) 【解析】
(I ) 过作于，连接，根据勾股定理得到
，得到平面，得到证明.
(II ) 过点作于，证明平面
，故
为直线
与平面
所成角，计算夹角得到答案.
【详解】 (I )过作
于，连接
，根据角度的垂直关系易知：
，
，，故，
，
.
根据余弦定理：，解得，故，
故，，
，故
平面
，
平面
，
故
.
(II )过点作
于， 平面，平面，故
，，
，
故
平面
，故
为直线
与平面
所成角，
，根据余弦定理：
，
故
.
【点睛】
本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 18、（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】
（1）先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值，从而得到1a b c ++≥，再利用基本不等式进行证明；
（2）利用基本不等式2
2
2a b ab +≥变形得2
22
()2
a b a b ++≥，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个
不等式，再进行不等式相加，即可得答案. 【详解】
（1）∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=，∴1a b c ++≥. ∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥， ∴222222222a b c ab bc ac ≥++++，
∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥， ∴2
2
2
13
a b c ++≥
. （2）∵222a b ab +≥，(
)22
2
2222()a b
a
ab b a b +≥++=+，
即22
2
()2a b a b ++≥||()22
a b a b ≥+=+.
)2
b c ≥
+)2c a ≥+.
)a b c ≥++≥【点睛】
本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和
推理论证能力.
19、（1）证明见解析 （2）P ABCD V -= （3 【解析】
（1）因为底面ABCD 为梯形，且BC ED =，所以四边形BCDE 为平行四边形，则BE ∥CD ， 又BE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BE 平面PCD ，
又因为H 为线段BE 上的动点，PCD 的面积是定值，从而三棱锥H PCD -的体积是定值. （2）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA CD ⊥，结合BE ∥CD ，所以AP BE ⊥， 又因为AB BC ⊥，1
2
AB BC AD ==
，且E 为AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE AC ⊥，结合AP AC A ⋂=，则BE ⊥平面APC ，连接PO ，则BE PO ⊥，
因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PC ⊥，
因为AC =
=，所以PAC 是等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，
所以PO AC ⊥，且AC BE O =，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 是四棱锥P ABCD -的高，
又因为梯形ABCD 的面积为11
()(242622
BC AD AB +⨯=⨯+⨯=）
， 在Rt APC △中，2PO =，所以11
622233
P ABCD ABCD V S PO -=⋅=⨯⨯=梯形.
（3）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
则B 2，0，0），C （02，0），D （22-2，0），P （0，02）， 则(2,2,0),(2,0,2),(22,2,2)BC PB PD =-=-=-，
设平面PBD 的法向量为(,,)u v w =n ，则0,0PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n 即220
,22220u w u v w ⎧=⎪⎨-=⎪⎩则3u w v w =⎧⎨=⎩，
令1w =，得到(1,3,1)n =，
设BC 与平面PBD 所成的角为α，则2123
22sin |cos ,||211
BC α-⨯+⨯===⨯n ， 所以2311
cos 1sin αα=- 所以直线BC 与平面PBD 311
． 20、 (1) 0.005a =；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X =3 【解析】
（1）由频率和为1，列出方程求a 的值；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数， 填写22⨯列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量X 服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望. 【详解】
解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=， 解得0.005a =；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 填表如下：
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得22
100(1641349) 2.613 2.0722*******
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=， 将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X 可视为服从二项分布，即34,
4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 4431()44k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(0,1,2,3,4)k =，
故04
4
311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 13
143112(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 2
2
2
4
3154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 31
3431108(3)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，
40
44
3181(4)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：
数学期望为()
434E X =⨯=.或（5410881()012343256256256256256
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量
(),X
B n p ，则()()(),1E X np D x np p ==-.
21、（1）3a >；（2）1,2⎡-+⎣.
【解析】
（1）依据能成立问题知，()min f x a <，然后利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即求得a 的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。

【详解】
()1因为不等式()f x a <有实数解，所以()min f x a <
因为()()(
)12
123f x x x x x =++-≥+
--=，所以()min 3f x = 故3a >。

()()21,2
23,1221,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩
①当2x ≥时，2212x x x -≥-
，所以22x -≤≤+22x ≤≤ ②当12x -<<时，232x x ≥-，所以13x -≤≤，故12x -<< ③当1x ≤-时，2212x x x -+≥-，所以11x -≤≤，故1x =-
综上，原不等式的解集为1,2⎡-+⎣。

【点睛】
本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。

22、（1）1m =（2）证明见解析 【解析】
（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】
解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
当12x ≤-
时，1()22f x f ⎛⎫
≥-= ⎪⎝⎭
， 当1122x -
<≤，1()12f x f ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
， 当12x >
时，1()12f x f ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
， 所以min ()1m f x ==
解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
如图
当1
2
x =
时，min ()1m f x ==
解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222
x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112
x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立. 当12
x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c ++≥
++， 只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥ ⎪⎝
⎭，
因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭
成立， 所以原不等式成立.
解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >
，所以0ab bc ca ++≥>，
0a b c ++≥>，
又因为1abc =，
所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，
()()9ab bc ac a b c ++++≥ 所以9ab bc ca a b c
++≥++，原不等式得证. 补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c ++≥
++，
只需证明
111
()9
a b c
a b c
⎛⎫
++++≥
⎪
⎝⎭
，
由柯西不等式得：
2
111
()9
a b c
a b c
⎛⎫
++++≥=
⎪
⎝⎭
成立，
所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。