2015-2016学年高中数学 1.3.3已知三角函数值求角课时作业 新人教B版必修4

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.3.3已知三角函数值求角课
时作业 新人教B 版必修4
一、选择题
1．以下各式中错误的是( ) A ．arcsin1＝π
2
B ．arccos(－1)＝π
C ．arctan0＝0
D ．arccos1＝2π
[答案] D
[解析] arcsin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，arccos x ∈[0，π]， arctan x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，故arccos1＝0. 2．给出下列等式：①arcsin
π2＝1；②arcsin(－12)＝－π6；③arcsinsin π3＝π
3
；④sin(arcsin 12)＝1
2
.其中正确等式的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] 对于①，由于x ＝arcsin y 中－1≤y ≤1，而π
2>1.故①式无意义；对于②，在[－
π2，π2]上只有sin(－π6)＝－12，所以arcsin(－12)＝－π
6，故②正确；对于③、④由反正弦的定义知是正确的．
3．已知cos α＝12，α∈(－π2，π
2)，则( )
A ．α＝π
3
B ．α＝－π
3
C ．α＝±π
3
D ．α＝±π
6
[答案] C
[解析] 验证：cos π3＝12，cos(－π3)＝1
2
，故选C ．
4．若tan x ＝0，则角x 等于( ) A ．k π(k ∈Z ) B ．π
2＋k π(k ∈Z )
C ．π
2＋2k π(k ∈Z )
D ．－π
2
＋2k π(k ∈Z )
[答案] A
[解析] 选项B 、C 、D 使得tan x 无意义，故选A ． 5．使arcsin(1－x )有意义的x 的取值范围是( ) A ．[1－π，1] B ．[0,2] C ．(－∞，1] D ．[－1,1] [答案] B
[解析] 要使y ＝arcsin(1－x )有意义，应满足－1≤1－x ≤1，∴0≤x ≤2，故选B ． 6．已知x ∈(－π，0)，且cos x ＝－3
4，则角x 等于( )
A ．arccos 3
4
B ．－arccos 3
4
C ．π－arccos 3
4
D ．－π＋arccos 3
4
[答案] D
[解析] arccos 34∈(0，π2)，排除A ；π－arccos 34∈(π2，π)，排除C ；cos(－arccos 3
4)
＝cos(arccos 34)＝3
4
，排除B ，故选D ．
二、填空题 7．(1)arccos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
32＝________； (2)arctan(－1)＝________. [答案] (1)5π6 (2)－π
4
[解析] (1)∵arccos x ∈[0，π]，∴arccos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
32＝5π6
. (2)∵arctan x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2， ∴arctan(－1)＝－π
4
.
8．tan x ＝－0.420 1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2，则x ＝________.
[答案] π－arctan0.420 1
[解析] ∵tan α＝0.420 1，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2时，α＝arctan0.420 1， 又∵tan x ＝－0.420 1<0，∴x 为第二或四象限角， 又π2<x <3π
2，∴x 为第二象限角， ∴x ＝π－arctan0.4201. 三、解答题
9．用反三角函数表示下列各式中的x . (1)sin x ＝－14，－π2<x <π2；
(2)sin x ＝25，π
2<x <π；
(3)cos x ＝13，－π
2<x <0；
(4)tan x ＝－15，－π
2<x <0.
[解析] (1)x ＝－arcsin 1
4.
(2)∵π2<x <π，∴0<π－x <π2，
∵sin x ＝25，∴sin(π－x )＝25，
∴π－x ＝arcsin 25，∴x ＝π－arcsin 2
5.
(3)∵－π2<x <0，∴0<－x <π
2
，
又cos(－x )＝cos x ＝13，∴－x ＝arccos 1
3，
∴x ＝－arccos 1
3.
(4)x ＝－arctan 1
5
.
10．已知sin(π－x )－cos(π＋x )＝1－3
2
，x 是第二象限的角．求：
(1)sin x 、cos x 的值； (2)x 的取值集合．
[解析] 已知sin(π－x )－cos(π＋x ) ＝sin x ＋cos x ＝1－3
2，
且x 为第二象限的角．
(1)因为sin x ＋cos x ＝1－3
2，①
所以式①两边平方得 sin x cos x ＝－
3
4
.② 由式①、②解得sin x ＝12，cos x ＝－3
2.
(2)当x ∈(0,2π)时，x ＝5π
6.
若x ∈R ，则x ＝2k π＋5π
6
(k ∈Z )．
从而x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋5π
6
，k ∈Z }．
一、选择题
1．已知cos x ＝－1，则x 等于( ) A ．π
B ．k π，k ∈Z
C ．k π－π
2，k ∈Z
D ．(2k －1)π，k ∈Z
[答案] D
[解析] ∵cos x ＝－1，
∴角x 的终边在x 轴的负半轴上， ∴x ＝(2k －1)π，k ∈Z .
2．若tan x ＝0.2，则角x ＝( ) A ．arctan0.2 B ．2k π＋arctan0.2 C ．k π＋arctan0.2 D ．k π－arctan0.2 [答案] C
[解析] 满足tan α1＝0.2的锐角α1＝arctan0.2，
∵tan α>0，∴角α终边在第一、三象限， ∴α＝k π＋arctan0.2.
3．若sin x ＝13，x ∈(π
2，π)，则x 等于( )
A ．arcsin 1
3
B ．π－arcsin 1
3
C ．π2＋arcsin 13
D ．－arcsin 1
3
[答案] B
[解析] ∵arcsin 13∈(0，π2)，－arcsin 13∈(－π2，0)，排除A 、D ；π－arcsin 13∈(π2，
π)，
且sin(π－arcsin 13)＝sinarcsin 13＝1
3；
π2＋arcsin 13∈(π
2
，π)， 但sin(π2＋arcsin 13)＝cosarcsin 13≠1
3
，故应选B ．
4．若tan(2x ＋π3)＝3
3，则在区间[0,2π]上解的个数为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
[答案] B
[解析] ∵tan(2x ＋π3)＝3
3，
∴2x ＋π3＝π
6＋k π(k ∈Z )，
∴x ＝－π12＋k π
2
(k ∈Z )，
∵x ∈[0,2π]，∴x ＝5π12或11π12或17π12或23π
12，故选B ．
二、填空题
5．若cos x ＝－2
3，x ∈[0，π]，则x 的值为________
[答案] π－arccos 2
3
[解析] ∵x ∈[0，π]，且cos x ＝－23，∴x ∈[π
2，π]，
∴x ＝arccos(－23)＝π－arccos 2
3
.
6．对于反三角函数式arccos 5π4，arcsin(log 34)，arcsin(2－1)2
，arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan π3，
有意义的式子的个数为________个．
[答案] 1
[解析] ∵arcsin x 、arccos x 中x ∈[－1,1]， 又
5π4
>1，log 34>1，(2－1)2
∈(0,1)， tan π3>1，故只有arcsin(2－1)2
有意义．
三、解答题 7．已知cos α＝－
3
2
，试求符合下列条件的角α. (1)α是三角形的内角； (2)0≤α<2π； (3)α是第三象限角． [解析] (1)∵cos α＝－3
2
，α是三角形的内角， ∴α＝5π6.
(2)∵cos α＝－32，0≤α<2π，∴α＝5π6或7π6. (3)∵cos α＝－
3
2
，α是第三象限角， ∴α＝2k π＋7π
6
，k ∈Z .
8．已知tan α＝－2，根据下列条件求角α. (1)α∈(－π2，π
2)；(2)α∈[0,2π]; (3)α∈R .
[解析] (1)由正切函数在开区间(－π2，π
2
)上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，
即α＝arctan(－2)．
(2)∵tan α＝－2<0， ∴α是第二或第四象限的角．
又∵α∈[0,2π]，且正切函数在区间(π2，π]、(3π
2，2π]上是增函数，
∴符合tan α＝－2的角有两个．
∵tan(α－π)＝tan(α－2π)＝tan α＝－2， 且arctan(－2)∈(－π
2
，0)，
∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)． (3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z )． 9．已知cos α＝a (－1≤a ≤1)，求角α.
[解析] (1)a ＝－1时，角α的终边落在x 轴非正半轴上，此时α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )． (2)a ＝1时，角α终边落在x 轴非负半轴上，∴α＝2k π(k ∈Z )． (3)a ＝0时，角α终边落在y 轴上，∴α＝k π＋π
2(k ∈Z )．
(4)－1<a <0时，角α终边落在第二、三象限．
首先满足cos α1＝|a |的锐角α1＝arccos|a |＝arccos(－a )，在[0,2π)内对应的第二、三象限角分别为π－arccos(－a )和π＋arccos(－a )，
∴α＝(2k ＋1)π±arccos(－a )(k ∈Z )．
(5)0<a <1时，角α的终边落在第一、四象限，同上可求得α＝2k π±arccos a (k ∈Z )．。